1、考研数学三（微积分）模拟试卷 204 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 在(，+) 内连续，且 则( )（A）a0， b0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）以0，b02 设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f(x)0，f(x) 0，则当 x0 时有( )（A）f(x)0，f(x)0（B） f(x)0，f(x)0（C） f(x)0，f(x)0（D）f(x)0，f(x)03 设 f(x)在a，+)上二阶可导， f(a)0，f(a)=0，且 f(x)k(k0)，则 f(x) 在(a， +)内的零点个数为( )（A）0 个（B） 1
2、个（C） 2 个（D）3 个二、填空题4 设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f(0)0 ，则 =_5 设函数 y=y(x)由 确定，则 y=y(x)在 x=ln2 处的法线方程为_6 =_7 设 f(x)连续，且 0xtf(2xt)dt= arctanx2，f(1)=1 ，求 12f(x)dx8 设 y(x)为微分方程 y 4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解，则 01y(x)dx=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求极限9 设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1 证明：10 存在 c(0，1) ，使得 f(c)=
3、12c；11 存在 0，2，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()12 求函数 的反函数13 设 f(x)连续可导，14 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内二阶可导，且 又 f(2)= f(x)dx，证明：存在 (0，2)，使得 f()+f()=015 设 0a b，证明：16 求17 设18 设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f(x)0证明：19 令 f(x)=xx ，求极限20 设 讨论 f(x，y)在(0，0)处的连续性、可偏导性与可微性21 已知二元函数 f(x，y)满足 且 f(x，y)=g(u，v) ，若 =u2+v2，求 a，b22 计算 (x2+y2)d
4、xdy，其中 D=(x，y)x 2+y24，x 2+y22x23 交换积分次序并计算23 设24 求 的值；25 证明：对任意常数 0， 收敛26 设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且绝对收敛27 用变量代换 x=lnt 将方程 化为 y 关于 t 的方程，并求原方程的通解28 早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1 km，问降雪是什么时候开始的?考研数学三（微积分）模拟试卷 204 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 在(，
5、+)内连续，所以 a0，又因为所以 b0 ，选 C【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(x)= f(x)，f(x)=f(x)，f(x)=f(x)，即 f(x)为偶函数，f(x)为奇函数，故由 x0 时，有 f(x)0，f(x)0，得当 x0 时有 f(x)0，f(x) 0，选 A【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(a)=0，且 f(x)k(k0)，所以 f(x)=f(a)+f(a)(xa)+其中 介于 a 与 x 之间而再由 f(a)0 得 f(x)在(a，+) 内至少有一个零点又因为 f
6、(a)=0，且 f(x)k(k0)，所以 f(x)0(xa)，即 f(x)在a，+)单调增加，所以零点是唯一的，选 B【知识模块】 一元函数微分学二、填空题4 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 【试题解析】 当 x=ln2 时， t=1；当 t=1 时，y=0 (1)当 t=1 时，由0yeu2du+t21arcsinudu=0 两边对 t 求导数得2tarcsint 2=0，则(2)当 t=1 时，由 0yeu2du+t21arcsinudu=0 两边对 t 求导得2tarcsint 2=0，则即法线方程为【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案
7、】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 由 0xtf(2xt)dt x2x(2xu)f(u)(du) = x2x(2xu)f(u)du=2xx2xf(u)du x2xuf(u)du 得 2xx2xf(u)du x2xuf(u)du= arctanx2，等式两边对x 求导得 2 x2xf(u)du+2x2f(2x)f(x)4xf(2x)+xf(x)= 整理得 2 x2xfud(u)xf(x)= 取 x=1 得 212f(u)duf(1)=【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 y4y+4y=0 的通解为 y=(C1+C2x)e2x，由初始
8、条件 y(0)=1，y(0)=2得 C1=1，C 2=0，则 y=e2x，于是【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 令 (x)=f(x)1+2x，(0)=1，(1)=2，因为 (0)(1)0，所以存在 c(0，1)，使得 (c)=0，于是 f(c)=12c 【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 因为 f(x)C0，2，所以 f(x)在0，2上取到最小值 m 和最大值M，由 6m2f(0)+f(1)+3f(2)6M 得 由介值定理，存在 0，
9、2，使得 于是 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 令所以函数为奇函数，于是即函数 的反函数为 x=shy【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 由 0xf(x t)dt x0f(u)(du)= 0xf(u)du，【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 由 得 f(1)=1，又所以 f(1)=0由积分中值定理得 由罗尔定理，存在x0(c，2) (1，2)，使得 f(x0)=0 令 (x)=exf(x)，则 (1)=(x0)=0， 由罗尔定理，存在 (1，x 0) (0，2) ，使得 ()=0， 而 (x)=exf(x)
10、+f(x)且 ex0，所以 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 首先证明=(x)0(x a)，而 ba，所以 (b)0，即令 f(x)=lnx，则存在(a， b)，使得 其中 0a b，则【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 因为(x 2ex)=(x2+2x)ex，所以【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 a n+an+2=因为 tannx，tan n+2x 在 上连续，tan nxtann+2x，且 tannx，tan n+2x 不恒等，所以 即 ana n+2，于是【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 由泰勒公式得其中 介于 x
11、与 之间，因为 f(x) 0，所以有两边积分得 abf(x)dx(ba)f令 (x)= f(x)+f(a) axf(t)dt，且 (a)=0，其中 ax，因为 f(x)0，所以 f(x)单调不减，于是 (x)0(axb)，由得 (b)0，于是 abf(x)dx f(a)+f(b)，故【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 因为x+m=x+m( 其中 m 为整数)，所以 f(x)=xx是以 1 为周期的函数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nxn+1，则 0nf(x)dx0xf(x)dx0n+1f(x)dx，而 0nf(x)d
12、x=n01f(x)dx=n01xdx=显然当 x+时，n+，由夹逼定理得【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 0f(x，y)xy，因为=0f(0，0)，即 f(x，y)在(0，0)处连续由 得 fx(0，0)=0，同理 fy(0，0)=0，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导即 f(x，y)在(0，0)处可微【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 所以有 (a+b)(v 2u 2) +4(au2bv 2)=u2+v2【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 【知识模块】 重积分23 【正确答案】 【知识模块】 重积分【知识模块】 级数24 【正确答案】 【知识模块】 级
13、数25 【正确答案】 因为收敛【知识模块】 级数26 【正确答案】 由 得 f(0)=0，f(0)=00由泰勒公式得其中 介于 0 与 x 之间又f(x)在 x=0 的某邻域内连续，从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区间内有f(x)M ，其中 M0 为 f(x)在该闭区间上的界所以对充分大的 n，有因为 绝对收敛【知识模块】 级数27 【正确答案】 的通解为y=C1cost+C2sint，故原方程的通解为 y=C1cosex+C2sinex【知识模块】 常微分方程与差分方程28 【正确答案】 设单位面积在单位时间内降雪量为 a，路宽为 b，扫雪速度为 c，路面上雪层厚度为 H(t)，扫雪车前进路程为 S(t)，降雪开始时间为 T，则 H(t)=a(tT)，又 bH(t)s=ct，于是且 S(12)=0，S(14)=2 ，S(16)=3，由v=T2 26T+164=0，【知识模块】 常微分方程与差分方程
