1、考研数学三（微积分）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 ，则下列正确的是( ) （A）x=0 是 f(x)的零点（B） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极大点（D）x=0 是 f(x)的极小点2 设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是( )3 设曲线 y=x2+ax+b 与曲线 2y=xy3 一 1 在点(1，一 1)处切线相同，则( )（A）a=1 ，b=1（B） a=一 1，b=一
2、1（C） a=2，b=1（D）a= 一 2，b=一 14 设 f(x)在( 一，+)上有定义，x 00 为函数 f(x)的极大值点，则( )（A）x 0 为 f(x)的驻点（B）一 x0 为一 f(一 x)的极小值点（C） x0 为一 f(x)的极小值点（D）对一切的 x 有 f(x)f(x0)5 设 f(x0)=f“(x0)=0，f“(x 0)0，则下列正确的是( )（A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极大值（C） f(x0)是 f(x)的极小值（D）(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点6 设 f(x)=x3+ax2+bx 在 x=1 处有极小值一
3、2，则( )（A）a=1 ，b=2（B） a=一 1，b=一 2（C） a=0，b=一 3（D）a=0 ，b=3二、填空题7 设 f(x)二阶连续可导，且8 设 f(u)可导，y=f(x 2)在 x0=一 1 处取得增量x=005 时，函数增量 y 的线性部分为 015，则 f(1)=_9 设10 设11 设 f(x)=ln(2x2 一 x 一 1)，则 f(n)(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 证明不等式：xarctanx ln(1+x2)13 求 y= (1 一 t)arctantdt 的极值14 设 PQ 为抛物线 y= 的弦，它在此抛物线过 P 点的法线
4、上，求 PQ 长度的最小值15 证明：当 0x1 时，(1+x)ln 2(1+x)x 216 证明：对任意的 x，yR 且 xy，有 17 设 ba0，证明：18 证明：19 证明方程 x+p+qcosx=0 有且仅有一个实根，其中 p，q 为常数，且 0q120 证明方程 在(0，+)内有且仅有两个根21 设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点22 设 ，讨论 f(x)的单调性、凹凸性、拐点、水平渐近线23 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得 24 设 f(x)
5、在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：(1)存在 (a，b)，使得 f()=2f()(2)存在 (a，b) ，使得 nf()+f()=025 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，证明：存在 (1，2) ，使得f()一 f()=f(2)一 2f(1)26 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，且 f(x)0，证明：存在， (1，2)，使得 。考研数学三（微积分）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 【
6、知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由 y=x2+ax+b 得 y=2x+a，2y=xy 3 一 1 两边对 x 求导得2y=y3+3xy2y，解得 ，因为两曲线在点(1，一 1)处切线相同，所以，应选 B【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 y=f(一 x)的图像与 y=f(x)的图像关于 y 轴对称，所以一 x0 为f(一 x)的极大值点，从而一 x0 为f( 一 x)的极小值点，选 B【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f“(x0)0，所以存在 0，当 0xx 0 时，从而当 x(x0 一 ，x 0)时，f“(x)0；当 x(
7、x0，x 0+)时，f“(x)0，即(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点，选 D【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)=3x 2+2ax+b，因为 f(x)在 x=1 处有极小值一 2， 所以，解得 a=0,b=一 3，选 C。【知识模块】 微积分二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 由 dy=2xf(x2)x 得 dy x=1=一 2f(1)005=一 01f(1)，因为y的线性部分为 dy，由一 01f(1)=015 得 f(1)=一 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微
8、积分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 令 f(x)=xarctanx 一，所以 x=0 位 f(x)的极小值点，也为最小值点，而 f(0)=0，故对一切的 x，有 f(x)0，即 xarctanx ln(1+x2)【知识模块】 微积分13 【正确答案】 令 y=(1x)arctanx=0，得 x=0 或 x=1，y“=一 arctanx+ ，因为 y“(0)=1 0，y“(1)= 一 0，所以 x=0 为极小值点，极小值为 y=0；x=1 为极大值点，
9、极大值为 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 f(x)=x2 一(1+x)ln 2(1+x)，f(0)=0；f(x)=2xln 2(1+x)一 2ln(1+x)，f(0)=0； 故当 0x1 时，(1+x)ln 2(1+x)x 2【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 f(t)=et，因为 f“(t)=et0，所以函数 f(t)=et 为凹函数，根据凹函数的定义，对任意的 x，yR 且 xy，有【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 令 f(x)=x+p+qcos
10、x，因为 f(x)=1qsinx0，所以 f(x)在(一，+)上单调增加，又因为 ，所以 f(x)有且仅有一个零点，即原方程有且仅有一个实根【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 f(x)的定义域为(0 ，+)， 由 f(x)=lnx+1=0，得驻点为 为 f(x)的极小值点，也为最小值点，最小值为 ， (1)当 k 时，函数 f(x)在(0，+)内没有零点； (2)当 k= 时，函数 f(x)在(0，+) 内有唯一零点 x= ； (3)当 时，函数 f(x)在(0，+)内有两个零点，分别位于 内【知识模块】 微积分22 【正确答案】 因为 ，所以 f(
11、x)在(一，+)上单调增加 因为，当 x0 时，f“(x)0；当 x0 时，f“(x)0，则 y=f(x)在(一，0)的图形是凹的，y=f(x)在(0 ，+)内是凸的，(0，0)为 y=f(x)的拐点 因为f(一 x)=一 f(x)，所以 f(x)为奇函数 由为曲线 y=f(x)的两条水平渐近线【知识模块】 微积分23 【正确答案】 令 (x)=(b 一 x)af(x)，显然 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0， 由 (x)=(b 一x)a1(b 一 x)f(x)一 af(x)得 (b 一 )a1(b 一 )f(
12、)一 af()且(b 一 )a10，故 f()=【知识模块】 微积分24 【正确答案】 (1)令 (x)= f(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0， 而 (x)=，故 f()=2f() (2)令 (x)=xf(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0， 而 (x)=xf(x)+f(x)，故 nf()+f()=0【知识模块】 微积分25 【正确答案】 令 ， 则 (x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 (1)=(2)=f(2)一 f(1)， 由罗尔定理，存在 (1，2)，使得 ()=0， 而 ，故 f()一 f()=f(2)一 2f(1)【试题解析】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 令 F(x)=lnx，F(x) 0，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得【知识模块】 微积分
