1、考研数学三（微积分）模拟试卷 197 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 为 f(x)=arctanx 在0，a 上使用微分中值定理的中值，则 为( )2 下列说法正确的是( ) （A）f(x)在(a，b)内可导，若（B） f(x)在(a，b) 内可导，若（C） f(x)在(，+)内可导，若（D）f(x)在(，+)内可导，若3 设 ，则当 x0 时，两个无穷小的关系是( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶非等价无穷小（D）等价无穷小4 对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是( )（A）z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(
2、x，y)有一阶连续的偏导数（B）若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续（C）若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微（D）若 z=f(z，y) 的偏导数不连续，则 z=f(z，y)一定不可微5 累次积分 rf(rcos，rsin0)dr 等于( )6 设 则( )（A）r1（B） r1（C） r=1（D）r=1二、填空题7 =_8 设 在 x=0 处连续，则 a=_9 设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f(1)=2，则 =_10 设 则(x)dx=_11 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求13 设 f(x)在a，+)
3、上连续，且 存在证明：f(x)在a，+) 上有界14 设 f(x)连续，(x)= 0xf(xt)dt，且 求 (1)，并讨论 (x)在 x=0 处的连续性15 设 f(x)二阶可导，f(0)=0，且 f(x)0证明：对任意的 a0，b0，有 f(a+b)f(a)+f(b)16 设 f(x)在 x=x0 的邻域内连续，在 x=x0 的去心邻域内可导，且 证明： f(x 0)=M16 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0， abf(x)dx=0证明：17 存在 c(a，b)，使得 f(c)=0；18 存在 i(a，b)(i=1，2)，且 12，使得 f(i)
4、+f(i)=0(i=1，2)；19 存在 (a，b) ，使得 f()=f()；20 存在 (a，b)，使得 f()3f()+zf()=0 21 设 f(x)在0，1 上连续且f(x) M证明：22 设 z=0x2+y2，求23 计算 其中 D 为单位圆 x2+y2=1 所围成的第一象限的部分24 求 的和24 设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a 1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 a2f(a)f(1)若 求：25 f(x)26 f(x)的极值27 在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15gL，用管
5、子以 2Lmin的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2Lmin 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1Lmin 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程考研数学三（微积分）模拟试卷 197 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(a)f(0)=f()a，即选 C【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 设时，f(x)=0，其中 kZ，则 A 不对；设B 不对；设 f(x)=x，C 不对，选 D【知识模块】 一元函数微分学3 【正
6、确答案】 C【试题解析】 因为 所以两无穷小同阶但非等价，选 C【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 因为若函数 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数 f(x，y) 偏导数不连续不一定不可微，选 C【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1 ，选 D【知识模块】 重积分6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 一定不是正项或负项级数，故 r0若r 1，则 绝对收敛，矛盾；若r1，则 存在充分大的 N，当 nN 时，u n单调增加，v 发散，矛盾，故r=1，再由 r0 得
7、 r=1，选 C【知识模块】 级数二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 【试题解析】 因为函数 f(x)在x=0 处连续，所以【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 由【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 ln3【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 设 取 0=1，根据极限的定义，存在 X00，当xX 1 时， f(x)A1，
8、从而有 f(x) A+1 又因为 f(x)在a，X 0上连续，根据闭区间上连续函数有界的性质， 存在 k0，当 xa，X 0，有f(x)k 取 M=maxA+1，k) ，对一切的 xa，+)，有f(x)M 【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 当 x0 时，(x)= 01f(xt)dt= 01f(u)du，(x)= xf(x) 0xf(u)du当 x=0 时，(0)= 01(0)dt=0，所以 (x)在 x=0 处连续【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 不妨设 ab，由微分中值定理，存在 1(0，a) ， 2(b，a+b)，使得 两式相减得 f(a+b)f(a)f(b)
9、=f( 1)f( 1)a因为 f(x)0，所以 f(x)单调增加，而 1 2，所以 f(1)f( 2)，故 f(a+b)f(a)f(b)=f( 2)f( 1)a0，即 f(a+b)f(a)+f(b)【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)f(x 0)=f()(xx 0)，其中 介于 x0 与 x 之间，则，即 f(x0)=M【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dt，则 F(x)在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且F(x)= f(x)故存在 c(a，b)，使得 abf(x)dx=F(b)F(a
10、)=F(c)(ba)=f(c)(ba)=0，且 f(c)=0【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 令 h(x)=exf(x)，因为 h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理， 1 存在(a， c)， 2(c，b)，使得 h(1)=h(2)=0，而 h(x)=exf(x)+f(x)且 ex0，所以 f(i)+f(i)=0(i=1，2)【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 令 (x)=ex f(x)+f(x)，( 1)=(2)=0，由罗尔定理，存在(1， 2) (a，b) ，使得 ()=0，而 (x)=ex f(x)f(x)且 ex 0，所以 f()=f()【知识模块】
11、 一元函数微分学20 【正确答案】 令 g(x)=ex f(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0， 由罗尔定理，存在 1(a，c) ，2(c， b)，使得 g(1)=g(2)=0， 而 g(x)=ex f(x)f(x) 且 ex 0，所以 f(1)f( 1)=0,f(2)f( 2)=0 令 (x)=e2x f(x)f(x)，( 1)=(2)=0， 由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得 ()=0， 而 (x)=e2x f(x)3f(x)+2f(x)且e2x 0，所以 f()3f()+2f()=0【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确
12、答案】 =2ex2+y2+4x2ex2+y2， =2ex2+y2+4y2ex2+y2，则 =41+(x2+y2)ex2【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 令所以原式【知识模块】 重积分24 【正确答案】 令 S(x)= n(n=1)xn2 ，显然其收敛域为(1，1)，则【知识模块】 级数【知识模块】 常微分方程与差分方程25 【正确答案】 由题设知， 1af2(x)dx= a2f(a)f(1)，两边对 a 求导，得 3f2(a)=2af(a)+a2f(a)=【知识模块】 常微分方程与差分方程26 【正确答案】 因为又因为 为极大值【知识模块】 常微分方程与差分方程27 【正确答案】 设在任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m1(t)，m2(t)，在时间t ，t+dt内有 且满足初始条件 m1(0)=150，解得 在时间t ，t+dt 内有且满足初始条件m2(0)=150【知识模块】 常微分方程与差分方程
