1、考研数学三（微积分）模拟试卷 154 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列说法正确的是( ) 2 设f(x)dxx 2C，则xf(1x 2)dx 等于( )（A） (1x 2)2C（B） (1x 2)2C（C） 2(1x 2)2C（D）2(1 x 2)2C3 若 f(x)f(x)，且在(0，)内 f(x)0，f(x) 0，则在( ，)内( )（A）f(x)0，f(x) 0（B） f(x)0，f(x)0（C） f(x)0，f(x)0（D）f(x)0，f(x) 04 设 f(x)连续且 F(x) axf(t)dt，则 F(x)为( )（A）a 2（B）
2、 a2f(a)（C） 0（D）不存在二、填空题5 _6 若 f(x) 在 x0 处连续，则 a_7 设 (x) (x2t)f(t)dt，其中 f 连续，则 (x)_8 设 f(x)连续，则 0xxf(xt)dt_9 设 f(x，y)在点(0，0)的邻域内连续， F(t) f(x，y)d ，则 _10 设 yy(x) 过原点，在原点处的切线平行于直线 y2x1，又 yy(x)满足微分方程 y6y9ye 3x，则 y(x)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求 12 求下列极限：13 设 an ，证明：a n收敛，并求 an14 设 f(x) ，求 f(n)(x)15 设 f
3、(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)f(1)，证明：存在， (0，1)，使得 f()f() 0 16 证明：当 x0 时，arctanx 17 求 18 (x) sinxcos2xln(1t 2)dt，求 (x)19 求 013x2arcsinxdx20 设 yf(x)为区间0，1上的非负连续函数(1)证明：存在 c(0，1)，使得在区间0， c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c ，1上以 yf(x) 为曲边的曲边梯形的面积；(2)设 f(x)在(0 ，1)内可导，且 f(x) ，证明(1)中的 c 是唯一的21 设 ze x2y2 sinxy，求 22 改变积分次序并
4、计算 23 判断级数 的敛散性24 求幂级数 的收敛域25 求微分方程 的通解考研数学三（微积分）模拟试卷 154 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 ，选(B)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)为偶函数，故在(，0)内有 f(x)0因为 f(x)为奇函数，所以在( ，0)内 f(x)0，选(C)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知
5、识模块】 微积分6 【正确答案】 2【试题解析】 因为 f(x)在 x0 处连续，所以 1 a，故 a2【知识模块】 微积分7 【正确答案】 2 0x2f(t)dt4x 2f(x2)【试题解析】 (x) x 20x2f(t)dt 0x2tf(t)dt， (x)2x 20x2f(t)dt2x 3f(x2)2x 3f(x2)2x 0x2f(t)dt (x)2 0x2f(t)dt4x 2f(x2)【知识模块】 微积分8 【正确答案】 0xf(u)duxf(x)【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 2f(0,0)【试题解析】 F(t) f(x,y)df(，)t 2，其中 (，) D，D
6、：x 2y 2t2【知识模块】 微积分10 【正确答案】 2xe 3x x2e3x【试题解析】 由题意得 y(0)0，y(0) 2，y6y9ye 3x 的特征方程为2690，特征值为 1 23，令 y6y9ye 3x 的特解为 y0(x)ax 2e3x 代入得 ，故通解为 y(C 1C 2x)e3x x2e3x由 y(0)0，y(0) 2 得C10，C 22，则 y(x)2xe 3x x2e3x【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 显然a n)单调增加，现证明：a
7、 n3，当 n1 时，a 1 3，设nk 时，a k3，当 nk1 时，a k1 3，由归纳法原理，对一切的自然数n，有 an3，所以 an 存在 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 令 f(x) ，由 A(2x1)B(x2)4x3 得 解得A1,B2， 即 f(x) 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 存在 ，使得 因为 f(0)f(1)，所以 f()f()，即 f()f() 0【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 f(x)arctanx ，因为 f(x) 0(x0)，所以 f(x)在(0， )内单调递减，又因为 ，所以 f(x) ，即 arctanx 【知识模块】 微积分17
8、 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 (x)2ln(1cos 22x)sin2xln(1sin 2x)cosx【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 (1)S 1(c) cf(c)，S 2(c) c1f(t)dt 1cf(t)dt，即证明 S1(c) S 2(c)，或 cf(c) 1cf(t)dt0令 (x)x 1xf(t)dt，(0)(1)0，根据罗尔定理存在c(0，1)，使得 (c)0，即 cf(c) 1cf(t)dt0，所以 S1(c)S 2(c)，命题得证 (2)令 h(x)xf(x) x1f(t)dt，因为 h(x)2f(x)
9、xf(x)0，所以 h(x)在0，1上为单调函数所以(1)中的 c 是唯一的【知识模块】 微积分21 【正确答案】 2xe x2 y2sinxyye x2y2 cosxy； 2ye x2y2 sinxyxe x2y2 cosxy； 4xyex2y2 sinxy2x 2ex2y2 cosxye x2y2 cosxy2y 2ex2y2 cosxyxye x2y2 sinxye x2y2 3xysinxy(2x 22y 21)cosxy【知识模块】 微积分22 【正确答案】 改变积分次序得【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由 得收敛半径为 R4，当 x4 时，因为 ，所以幂级数的收敛域为(一 4，4) 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分
