1、考研数学三（微积分）模拟试卷 141 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 x0 时，（1+sinx ） x1 是比 xtanxn 低阶的无穷小，而 xtanxn 是比（ 1）ln（1+x 2）低阶的无穷小，则正整数 n 等于（ ）（A）1（B） 2（C） 3（D）42 设函数 则 f（x）在 x=0 处（ ）（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导3 已知函数 y=y（x）在任意点 x 处的增量 且当x0 时， 是x的高阶无穷小，y（0）=，则 y（1）等于（ ）（A）2（B） （C）（D）4 设函数 f（x）在（一，+）
2、上有定义，则下述命题中正确的是（ ）（A）若 f（x）在（一， +）上可导且单调增加，则对一切 x（一 ，+），都有 f（x） 0（B）若 f（x）在点 x0 处取得极值，则 f（x 0）=0（C）若 f“（x 0）=0，则（ x0，f （x 0）是曲线 y=f（x）的拐点坐标（D）若 f（ x0）=0 ，f“（x 0）=0，f“ （x 0）0，则 x0 一定不是 f（x）的极值点5 设某商品的需求函数为 Q= 160 2P，其中 Q，P 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（ ）（A）10（B） 20（C） 30（D）406 设 f（ x）在a，b连续，则
3、 f（x）在a，b非负且在a ，b的任意子区间上不恒为零是 F（x）= axf（t）dt 在a，b 单调增加的（ ）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件7 考虑二元函数 f（x，y）的四条性质：f （x，y）在点（x 0，y 0）处连续，f（x，y）在点（x 0，y 0）处的两个偏导数连续， f（x，），）在点（x 0，y 0）处可微，f（x，y）在点（ x0，y 0）处的两个偏导数存在。则有（ ）8 设 Dk 是圆域 D=（x， y）|x 2+y21位于第 k 象限的部分，记 Ik= （y x）dxdy（A）I 10（B） I20（C） I30（D
4、）I 409 设 f（ x，y）连续，且 f（x，y）=xy+ f（u， ）dud，其中 D 是由y=0，y=x 2， x=1 所围区域，则 f（x，y）等于（ ）（A）xy（B） 2xy（C）（D）xy+110 设 a 是常数，则级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 a 的取值有关11 设线性无关的函数 y1，y 2，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+p（x）y+q （x）y=f（x）的解，C 1，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（ ）（A）C 1y1+C2y2+）y 3（B） C1y1+C2y2 一（C 1+C2）y 3（C） C1y1+C2y2 一（1
5、一 C1C2）y 3（D）C 1y1+C2y2+（1 一 C1C2）y 3二、填空题12 13 sin（x 一 t） 2dt=_。14 设 f（x）= 则 f（x）的极值为_，f（x）的拐点坐标为_。15 16 设函数 f（x）= 且 0，则 xf（x）dx=_。17 已知极坐标系下的累次积分 I= d0acosf（rcos，rsin）rdr，其中 a0 为常数，则 I 在直角坐标系下可表示为_。18 设连续函数 z=f（x，y）满足 =0，则 dz|（1，0）=_。19 设幂级数 anxn 的收敛半径为 3，则幂级数 nan（x 一 1） n+1 的收敛区间为_。20 微分方程 y+ytan
6、x=cosx 的通解 y=_。21 微分方程 y“一 4y=e2x 的通解为 y=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 设数列x n满足 0x 1 ，x n+1=sinxn（n=1，2，）。（）证明 xn 存在，并求该极限；（）计算23 求方程 karctanxx=0 不同实根的个数，其中 k 为参数。24 设函数 f（x）在0 ，+）上可导，f（0）=0 且 f（x）=2，证明：（）存在a0，使得 f（a ）=1；（）对（）中的 a，存在 （0，a），使得 f（）=25 设函数 f（x）在0 ，3 上连续，在（0，3）内存在二阶导数，且 2f（0）=02f（ x）dx=
7、f（2）+f（3 ）。 （）证明存在 （0，2），使 f（）=f（0）； （）证明存在 （0，3），使 f“（）=0 。26 设 z= z（x，y）是由方程 x2+y2z=（x+y +z ）所确定的函数，其中 具有二阶导数且 1。（）求 dz；27 计算二重积分 （x+y） 3dxdy，其中 D 由曲线 x= 与直线 x+ =0 及=0 围成。28 求下列积分。 （）设 f（x）= 1xey2dy，求 01x2f（x）dx； （）设函数f（x）在 0， 1上连续且 01f（x）dx=A，求 01dxf（x）f（y）dy。29 求幂级数 n（x 一 1） n 的收敛域及其在收敛域内的和函数。考研
8、数学三（微积分）模拟试卷 141 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时， （1+sinx ） x1 = exln（l+sinx）1xln（1+sinx）xsinxx 2， （e sin2x1）ln（1+x 2） sin 2x x 2x 4， 而xtanxnxx n=xn+1。因此 2n+14，则正整数 n=2，故选 B。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 显然 f（0）=0，对于极限是无穷小量， 为有界变量，故由无穷小量的运算性质可知， 因此 f（x）在x=0 处连续，排除 A、B 。又因为 不
9、存在，所以 f（x）在 x=0 处不可导，故选 C。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 因为函数 y= y（x）在任意点 x 处的增量故由微分定义可知 此为一阶可分离变量的微分方程，分离变量得 两边积分，得 ln|y|=arctanx+C1，即 y= Cearctanx，由 y（0）= 得 C=，于是 y（x）=e arctanx。因此 y（1）=earctan1= 。故选 D。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 若在（一，+）上 f（x）0，则一定有 f（x）在（一 ，+ ）上单调增加，但可导函数 f（x）在（一，+）上单调增加，可能有 f（x）0。例如
10、f（ x）=x 3 在（一，+ ）上单调增加，f（0）=0。故不选 A。 f（x）若在x0 处取得极值，且 f（x 0）存在，则有 f（x 0）=0 ，但当 f（x）在 x0 处取得极值，在 x0 处不可导，就得不到 f（x 0）=0，例如 f（x）=|x|在 x0=0 处取得极小值，它在 x0=0 处不可导，故不选 B。 如果 f（x）在 x0 处二阶导数存在，且（x 0，f（x 0）是曲线的拐点坐标，则 f“（x 0）=0，反之不一定，例如 f（x）=x 4 在 x0=0 处，f“（0）=0 ，但 f（x）在（一，+）没有拐点，故不选 C。由此选 D。【知识模块】 微积分5 【正确答案】
11、D【试题解析】 商品需求弹性的绝对值等于 因此得 P= 40，故选 D。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 已知 g（x）在a，b上连续，在（a ，b）内可导，则 g（x）在a，b单调增加 g（x）0 （x（a，b），在（a，b）内的任意子区间内g（x）0。因此，F（x）= 0f（t）dt（在a，b可导）在a，b单调增加F（x）= f（x）0（x（a，b）且在（a，b）内的任意子区间内 F（x）=f（x）0。故选 C。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f（x，y）的两个偏导数连续是可微的充分条件，而 f（x，y）可微是其连续的充分条件，因此正确选项为
12、 A。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 B【试题解析】 根据极坐标系下二重积分的计算可知所以 I1=I3=0，I 2= ，I 4= ，应该选 B。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 等式 f（x，y）=xy+ f（u，）dud 两端积分得【知识模块】 微积分10 【正确答案】 C【试题解析】 由于发散，则发散。故选 C。【知识模块】 微积分11 【正确答案】 D【试题解析】 因为 y1，y 2，y 3 是二阶非齐次线性微分方程 y“+p（x）y+g（x）y=f（x）线性无关的解，所以（y 1 一 y3），（y 2 一 y3）都是齐次线性微分方程y“+p（x）y+q （x）
13、y=0 的解，且（y 1 一 y3）与（y 2 一 y3）线性无关，因此该齐次线性微分方程的通解为 y=C1（y 1 一 y3）+C 2（y 2 一 y3）。比较四个选项，且由线 性微分方程解的结构性质可知，选 D。【知识模块】 微积分二、填空题12 【正确答案】 0【试题解析】 因为 x0 时，【知识模块】 微积分13 【正确答案】 sinx 2【试题解析】 令 xt=u，则【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 对 f（x）求导，并令 f（x）= 2x =0，得 x=0，且当 x0 时，f（x）0；当 x0 时， f（x）0，所以极小值点为 x=0，极小值为 f（0）=0。又
14、因 f“（x） = （1 4x 4）=0，可得 x=【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 已知 x0 时，函数值恒为 0，因此可得 +xf（x）dx= 0+xexdx=一 0+xd（e x）= xex|0+ 0+exdx【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 先将 I 表示成 I= f（x，y）d，用 D 的极坐标表示因此可知区域 D:（x ） 2+y2（ ） 2。如图 1410 所示：如果按照先 y 后 x 的积分次序，则有【知识模块】 微积分18 【正确答案】 2dxdy【试题解析】 根据 以及函数 z 的
15、连续性可知 f（0，1）=1，从而已知的极限可以转化为 或者f（x， y） f （0，1）=2x （y1）+ 根据可微的定义，f（x， y）在点（0，1）处是可微的，且有 fx（0，1）=2，f y（0，1）= 1，dz| （0，1） =2dxdy。【知识模块】 微积分19 【正确答案】 （一 2，4）【试题解析】 根据幂级数的性质对原幂级数逐项求导后，得 anxn= nanxn1，其收敛半径不变，因此有 nan（x 一 1） n+1=（x 一 1） 2 nn（x 一 1） n1，其收敛区间为|x 一 1|3，即（一 2，4）。【知识模块】 微积分20 【正确答案】 （x+C ）cosx，C
16、是任意常数【试题解析】 直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知 y=etanxdxcosx etanxdxdx+C=（x+C）cosx，其中 C 是任意常数。【知识模块】 微积分21 【正确答案】 y=C 1e2x+（C 2+ ）e 2x，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 对应齐次微分方程的特征方程为 r2 一 4=0，解得 r1=2，r 2=一 2。故y“一 4y=0 的通解为 y1=C1e2x+C2e2x，其中 C1， C2 为任意常数。由于非齐次项为f（x） =e2x，=2 为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为 y*=Axe2x，代入原方程可求出 A= 。故所求通解为 y=
17、C1e2x+（C 2+ ）e 2x，其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 （）因为 0x 1，则 0x 2=sinx11 。可推得0x n+1=slnxn1，n=1，2，则数列x n有界。于是 1（因当x0 时，slnxx），则有 xn+1x n，可见数列x n单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限 xn 存在。设 xn=l，在 xn+1=sinxn 两边令 n，得l=sinl，解得 l=0，即 xn=0。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 令 f（x）=k arctanx 一 x，则 f（0）=
18、0，且当 k1 时，f（ x）0，f（x）在（一 ，+）单调递减，故此时 f（x）的图象与 x 轴只有一个交点，也即方程 k arctanxx=0 只有一个实根。当 k=1 时，在（一，0）和（0，+）上都有 f（x）0，所以f（x）在（一，0）和（0，+）上是严格单调递减的，又 f（0）=0，故 f（x）的图象在（一，0）和（0，+）与 x 轴均无交点。综上所述，k1 时，方程 karctan xx=0 只有一个实根；k1 时，方程 karctanxx=0 有三个实根。【知识模块】 微积分24 【正确答案】 （）设 F（x）=f （x）1，x0 。因为 f（x）=2，所以存在X0，当 xX
19、时，f（x）1，不妨令 x0X，则 f（x 0）1，所以 F（x 0）0。又因为 F（0） =10，根据零点定理，存在 a（0，x 0） （0，+），使得 F（a）=0 ，即 f（a）=1。（）函数在0，a 上连续，在（0，a ）内可导，由拉格朗日中值定理，存在 （0，a）使得【知识模块】 微积分25 【正确答案】 （）设 F（x）= 0xf（t）dt，x0，3 。由于 f（x）在0，3上连续，从而可知 F（x）在 0，3上可导。由拉格朗日中值定理可知 F（2） F（0）=F（）（20）， （0，2），所以 02f（x）dx=2f （ ），又因为 2f （0）= 02f（ x）dx，所以 f（
20、 ）=f（0）。（）因 f（2）+f（3）=2f （0），即= f（0），又因为 f（x）在2，3上连续，由介值定理知，至少存在一点12，3 使得 f（ 1）=f（ 0）。因 f（x）在0，上连续，在（0，）上可导，且f（0） =f（），由罗尔定理知，存在 1（0，），有 f（ 1）= 0。又因为 f（x）在， 1上是连续的，在（ ， 1）上是可导的，且满足 f（）=f（0）=f （ 1），由罗尔定理知，存在 2（ ， 1），有 f（ 2）=0 。又因为 f（x）在 1， 2上是二阶可导的，且 f（ 1）=f （ 2）=0，根据罗尔定理，至少存在一点 （ 1， 2），使得 f“（） =0。【知
21、识模块】 微积分26 【正确答案】 （）对方程两端同时求导得 2xdx+2ydy dz=（x+y+z）（dx+dy+dz ），【知识模块】 微积分27 【正确答案】 积分区域如图 1416 所示，D=D 1D2，其中 D1=（x，y）|0y1， D2=（x，y）| 一 1y0，由于 （x+y） 3dxdy = （x 3+3x2y+3xy2+ y3）dxdy，且区域 D 关于 x 轴是对称的，被积函数 3x2y+y3 是 y 的奇函数，所以（3x 2y+y3） dxdy=0。因此【知识模块】 微积分28 【正确答案】 （）令（x）= x1f（y） dy，则 （x）=一 f（x），于是 01dxx1f（x）f（y）dy=01x1f（y）dyf （x） dx=01（x）d （x）【知识模块】 微积分29 【正确答案】 由于 =1，所以|x 一 1| 1，即 0x2，当 x=0 和 x=2时幂级数变为 均发散，故原级数的收敛域为（0，2）。【知识模块】 微积分
