1、考研数学三（微积分）模拟试卷 100 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=3x2+x2x，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n=（A）0（B） 1（C） 2（D）32 设 f(x)在 x=0 的某邻域连续且 f(0)=0， 则 f(x)在 x=0 处（A）不可导（B）可导且 f(0)0（C）有极大值（D）有极小值3 若 x f(x)+3xf(x)2=1 一 e-x 且 f(x0)=0(x00)，则（A）(x 0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点（B） f(x0)是 f(x)的极小值（C） f(x0)不是 f(x)的极值， (x0，
2、f(x 0)也不是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(x 0)是 f(x)的极大值4 曲线 渐近线的条数是（A）1（B） 2（C） 3（D）45 曲线的拐点有（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、填空题6 设 y=aretanx，则 y(4)(0)=_7 74 的极大值点是 x=_，极小值点是x=_8 设 f(x)=xex，则 f(n)(x)在点 x=_处取极小值 _9 曲线 y=x2e-x2 的渐近线方程为_10 曲线 的渐近线方程为_11 曲线(x 一 1)3=y2 上点(5，8)处的切线方程是_12 曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_13 设某商品
3、的需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q=aPb，其中 a 和 b 是常数，且a0，则该商品需求对价格的弹性 =_14 设某商品的需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q=1005P若商品的需求弹性的绝对值大于 1，则该商品价格 P 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求函数 F(x)=01(1 一 t)x 一 tdt(0x1)的凹凸区间16 证明：17 设 f(x)=2x3+3x2 一 12x+k，讨论 k 的取值对函数零点个数的影响18 设当 x0 时，方程 有且仅有一个解，求 k 的取值范围19 设 f(x)在a，+)上连续，在 (a，+)内可导，且
4、求证：存在 (a，+) ，使 f()=020 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0求证：如果 f(x)在(0，1)内不恒等于零，则必存在 (0，1)，使得 f()f()0 21 设 p(x)在区间 0，+)上连续且为负值y=y(x)在0，+)上连续，在(0，+)内满足 y+p(x)y0 且 y(0)0，求证：y(x)在0，+)单调增加22 证明23 设 x(0，1)，证明不等式 xln(1+x)+aretanx 2x24 已知以 2 为周期的周期函数 f(x)在(一 ，+) 上有二阶导数，且 f(0)=0设 F(x)=(sinx 一 1)2f(x)，证明存在 使得
5、 F(x0)=025 设 ba0，f(x)在a，b上连续，在(a ，b)内可导，f(a)f(b) ，求证：存在， (a，b)使得26 设 0x 1x 2，f(x)在x 1，x 2可导，证明：在(x 1，x 2)内至少存在一个 c，使得27 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二次可导，且求证：存在 (a，b)，使 f()028 设 f(x)在a，+)有连续导数，且 f(x)k0 在(a，+)上成立，又 f(a)0，其中 k 是一个常数求证：方程 f(x)=0 在 内有且仅有一个实根29 设 f(x)在 x=0 的某邻域内有连续的一阶导数，且 f(0)=0，f(0) 存在求证：30 设
6、a0，试确定方程 e2x=ax2 实根的个数及每个根所在的区间31 设生产某产品的固定成本为 c，边际成本 C(Q)=2aQ+6，需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q= (dP)，其中 a，b，c，d，e 都是正的常数，且 db求：(I)产量 Q 为多少时，利润最大?最大利润是多少?( )这时需求对价格的弹性是多少?()需求对价格的弹性的绝对值为 1 时的产量是多少?32 设某商品的需求量 Q 是单价 P(单位：元)的函数 Q=1200080P；商品的总成本C 是需求量 Q 的函数 C=25000+50Q；每单位商品需要纳税 2 元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额33 求下列函数
7、带皮亚诺余项型至括号内所示阶数的麦克劳林公式：(I)f(x)=e xcosx(3阶)；()34 求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：(I) ()f(x)=xln(1 一 x2)35 确定下列无穷小量当 x0 时关于戈的阶数：考研数学三（微积分）模拟试卷 100 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因 3x2 在(一，+)具有任意阶导数，所以 f(x)与函数 g(x)=x2x具有相同最高阶数的导数因 从而综合即得类似可得综合即得 g(0)存在且等于 0，于是 由于 g(x)在 x=0 不可导，从而 g(x)存在的最高阶导数
8、的阶数 n=2，即 f(x)存在的最高阶导数的阶数也是 n=2故应选 C【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 因 ，由极限的保号性质知， 由于 1cosx0当 0x时 f(x)0，又 f(0)=0，故 f(x)在 x=0 取得极小值故应选 D【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知 又由 f(x)存在可知 f(x)连续，再由 在 x=x00 附近连续可知 f(x)在 x=x0 附近连续，于是由f(x0)=0 及 f(x0)0 可知 f(x0)是 f(x)的极小值故应选 B【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 令 f(x)的定义域是(一，一
9、2)U(一 2，1)U(1，+)，因 从而 x=1 与 x=一 2 不是曲线 y=f(x)的渐近线又因 故 是曲线 y=-f(x)的水平渐近线综合知曲线 y=f(x)有且只有一条渐近线选 A【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)的定义域为( 一，一 1)(一 1， 1)(1，+)，且在定义域内处处连续由令 f(x)=0，解得 x1=0，x 2=2；f(x)不存在的点是 x3=一 1，x 4=1(也是 f(x)的不连续点)现列下表：由上表可知，y 在 x1=0 与 x2=2 的左右邻域内凹凸性不一致，因此它们都是曲线y=f(x)的拐点，故选 B【知识模块】 微积分二、填空
10、题6 【正确答案】 0【试题解析】 因 y=arctanx 是奇函数，且 y 具有任何阶连续导数，从而 y，y是偶函数，y，y (4)是奇函数，故 y(4)(0)=0【知识模块】 微积分7 【正确答案】 极大值点 x=0；极小值点为【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 x 0 一(n+1)为 f(n)(x)的极小值点；极小值为 f(n)(x0)=一 e-(n+1)【试题解析】 由归纳法可求得 f(n)(x)=(n+x)ex，由 f(n+1)(x)=(n+1+x)ex=0 得 f(n)(x) 的驻点 x0=一(n+1)因为 f (n+2)(x) x=x0=(n+2+x)ex x=x
11、0=ex00， 所以 x0 一(n+1)为f(n)(x)的极小值点；极小值为 f(n)(x0)=一 e-(n+1)【知识模块】 微积分9 【正确答案】 y=0【试题解析】 函数 y=x2e-x2 的定义域是(一，+)，因而无铅直渐近线又因故曲线y=x2e-x2 有唯一的水平渐近线 y=0【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 本题中曲线分布在右半平面 x0 上，因故该曲线无垂直渐近线又其中利用了当 故曲线仅有斜渐近线【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 由隐函数求导法，将方程(x 一 1)3=y2 两边对 x 求导，得 3(x 一 1)2=2yy令 z=5，y=8
12、 即得 y(5)=3故曲线(x 一 1)3=y2 在点(5，8)处的切线方程是【知识模块】 微积分12 【正确答案】 y=x1【试题解析】 与直线 x+y=1 垂直的直线族为 y=x+c，其中 c 是任意常数，又因y=lnx 上点(x 0，y 0)=(x0，lnxn)(x 00)处的切线方程是从而，切线与 x+y=1 垂直的充分必要条件是 即该切线为 y=x 一 1【知识模块】 微积分13 【正确答案】 b【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 10P20【试题解析】 从而 P 的取值范围是 10P20【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【
13、正确答案】 因当 0x1 时，F(x)= 01(1 一 t)x 一 tdt= 0x(1 一 t)(x 一 t)dt+x1(1 一 t)(t 一 x)dt=x0x(1 一 t)dt0x(1 一 t)tdt+x1t(1 一 t)dt 一 xx1(1 一 t)dt从而 F(x)=0x(1 一 t)dt+x(1 一 x)一(1 一 x)x 一 x(1 一 x)一 x1(1 一 t)dt+x(1 一 x)=0x(1 一 t)dt 一 x1(1 一 t)dt，F(x)=1 一 X+(1 一 x)=2(1 一 x)0， 由 F (x)在0,1上连续，在 (0,1)内内 F(x)0故反间0，1上 y=F(x)
14、的图像是凹弧【知识模块】 微积分16 【正确答案】 引入函数 ，则 f(x)在(一，+)上具有连续导数，且 f(0)=0，又从而当 x(一，+)时 f(x)f(0)=0，即【知识模块】 微积分17 【正确答案】 f(x)=6x 2+6x 一 12=6(x+2)(x 一 1)，由 f(x)=0 得驻点 x1=一2，x 2=1，且 f(一 2)为极大值，f(1)为极小值又函数的单调性与极值如下表：要使 f(x)只有一个零点，则需极大值小于零或极小值大于零，即 f(一 2)=一16+12+24+k0一 20；或 f(1)=2+3 12+k0k7故当 k一 20 或 k7时，f(x)只有一个零点；当
15、k=一 20 或后=7 时，f(x)有两个零点；当一 20k7 时，f(x)有三个零点【知识模块】 微积分18 【正确答案】 设 ，则(I)当 k0 时，f(x)0，f(x)单调减少，又故 f(x)此时只有一个零点( )当 k0，由 f(x)=0，得是极小值点，且极小值为当极小值为零时，即当时，有 此时方程有且仅有一个根；当时，方程无根或有两个根因此，k 的取值范围为 k0 及【知识模块】 微积分19 【正确答案】 若 f（x)f(a)，则结论显然成立，下设 f(x)f(a)，于是 ，使得 f(x0)f(a)为确定起见，无妨设 f(x0)f(a)( 否则用一 f(x)代替 f(x)进行讨论)令
16、 则 f(x)mf(x 0)由 f(x)在a，x 0上连续知，使 f()=m又因 ，从而，使 f(x1)m ，由 f(x)在x 0，x 1上连续，且 f(x0)m f(x 1)知，使 f()=m综合可得，f(x) 在区间 ，上连续且可导，又f()=f()，故由罗尔定理可知， ，使得 f()=0【知识模块】 微积分20 【正确答案】 因 ，结合 f(0)=0，故只需考察 是否在(0，1 上有取正值的点因 f(x)在(0，1)上不恒等于零，从而必存在 x0(0， 1)使 f(x0)0，即 设，则 F(x)在0，x 0上连续，在 (0，x 0内可导，且 F(0)=0，F(x 0)0。由拉格朗日中值定
17、理知 ，使【知识模块】 微积分21 【正确答案】 因设，则 F(x)0 当 x0 时成立，故 F(x)当 x0 时单调增加，即 有设 x2x 10，由 F(x)单调增加F(x 2)F(x 1)由于 ，代入即得 y(x2)y(x 1) ( x2 x10)这表明 y(x)当 x0 时单调增加【知识模块】 微积分22 【正确答案】 首先证明：当 x0 时 ln(1+x)x ln(1+x)一 x0引入函数f(x)=ln(1+x)一 x，f(x)在0，+) 可导，且从而 f(x)在0，+)上单调减少，必有 f(x)f(0)=0，即当 x0 时 ln(1+x)x 成立其次证明：当 x0 时引入函数 g(x
18、)=g(x)在0，+)上可导，且从而 g(x)在0，+)上单调增加， 必有 g(x)g(0)=0即当 x0 时成立综合即得【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由于 x(0，1) ，所以欲证不等式可等价变形为令 f(x)=In(1+x)+arctanx，则 f(0)=0由于对，f(x)在0，x上满足拉格朗日中值定理的条件，于是有其中 (0，x)C(0，1)并且由在0，1上的连续性与单调性可得所以故欲证不等式成立【知识模块】 微积分24 【正确答案】 显然 于是由罗尔定理知，存在使得 F(x1)=0又对 F(x)应用罗尔定理，由于 F(x)二阶可导，则存在 使得 F(x0*)=0注意到 F(x
19、)以 2 为周期，F(x)与 F(x)均为以 2 为周期的周期函数，于是存在 x0=2+x0*，即 使得 F(x0)=F(x0*)=0【试题解析】 首先，因 f(x)是周期为 2 的周期函数，则 F(x)也必为周期函数，且周期为 2，于是只需证明存在 ，使得 F(x0*)=0 即可【知识模块】 微积分25 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在(a， b)，使 令 g(x)=x2，由柯西中值定理知， ，使将式代入 式，即得【知识模块】 微积分26 【正确答案】 注意当 0x 1x 2 时，在区间x 1，x 2上对函数 F(x)=e-xf(x)与 G(x)=
20、e-x 用柯西中值定理知，(x1，x 2)，使得【知识模块】 微积分27 【正确答案】 由罗尔定理知 使 f()=0又由因 f(x)在，上满足拉格朗日中值定理的条件，于是 ，使最后，因 f(x)在区间 ，上满足拉格朗日中值定理的条件，故 ，使【知识模块】 微积分28 【正确答案】 因 f(x)在区间 上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理可得 ，使得由于 f(x)在区间 ，由连续函数的介值定理知 使 f()=0，又由 f(x)0，f(x)在(a，+)上单调增加可知，f(x)在 内的零点唯一【知识模块】 微积分29 【正确答案】 当 x(一 1，+) 时因为 ln(1+x)x，故由拉格
21、朗日中值定理可知，存在 (x)(ln(1+x)，x)，使得【知识模块】 微积分30 【正确答案】 方程 函数 g(x)=x2e-2x的定义域为(一，+)，且 g(x)=2x(1 一 x)e-2x，其驻点为 x=0 与 x=1，且列表讨论 g(x)的单调性与极值，可得由 y=g(x)的图像 (图 22)可知，当 即 0ae 2 时 有且只有一个负根 x1；当 即 a=e2 时 恰有二根 x10 和 x2=1；当即 ae 2 时 恰有三个根 x1 0，0x 21 及 x31【知识模块】 微积分31 【正确答案】 (I)由题设可得总成本函数 C(Q)=c+00(2at+b)dt=aQ2+6Q+c，从
22、而总利润函数 L(Q)=PQC(Q)=(deQ)Q 一 aQ2 一 bQc=一(a+e)Q 2+(d 一 b)Qc，令L(Q)=db 一 2(a+e)Q=0 可得出唯一驻点 且 L(Q0)=一 2(a+e)0，可知上述驻点是 L(Q)的极大值点，而且 L(Q)也在该点取得最大值，故最大利润 ()这时需求对价格的弹性()【知识模块】 微积分32 【正确答案】 因 Q=1200080P，C=25000+50q=25000+50(1200080P)=6250004000P，故总利润函数 L=PQC 一 2Q=(P 一 2)QC=(P 一 2)(1 200080P)一 625000+4000P=一 80P2+16160P 一 649000，计算可得由此可见当 P=101(元)时获利最大，且最大利润 maxL=L(101)=167080(元)。【知识模块】 微积分33 【正确答案】 (I)()【知识模块】 微积分34 【正确答案】 (I)()把 t=一 x2 代入已知的麦克劳林公式【知识模块】 微积分35 【正确答案】 (I)利用麦克劳林公式()利用麦克劳林公式 可得【知识模块】 微积分
