1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (07 年 )如图，连续函数 yf()在区间3，2，2，3上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周，在区间2，0，0，2 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周设 F() 0f(t)dt，则下列结论正确的是 【 】（A）F(3) F(2)（B） F(3) F(2)（C） F(3) F(2)（D）F(3) F(2)2 (08 年 )如图，曲线段的方程为 yf()，函数 f()在区间0，a上有连续的导数，则定积分 0af()d 等于 【 】（A）曲边梯形 ABOD 的面积（B）梯
2、形 ABOD 的面积（C）曲边三角形 ACD 的面积（D）三角形 ACD 面积3 (09 年 )设函数 yf()在区间1，3上的图形为 则函数 F() 0f(t)dt 的图形为 【 】4 (09 年 )使不等式 ln 成立的 的范围是 【 】（A）(0 ，1)（B） (1， )（C） ( ，)（D）(，)5 (11 年 )设 I lnsind，J lncotd，K lncosd，则 I，J，K 的大小关系为 【 】（A）IJK（B） IKJ（C） JIK（D）KJI二、填空题6 (04 年 )设 f() 则 f(1)d_7 (08 年 )设 f( ) ，则 f()d_ 8 (10 年 )设可导
3、函数 yy()由方程 0sint2dt 确定，则 _9 (10 年 )设位于曲线 y (e)下方， 轴上方的无界区域为 G，则 G 绕X 轴旋转一周所得空间区域的体积为_10 (11 年) 曲线 y ，直线 2 及 轴所围的平面图形绕 z 轴旋转所成的旋转体的体积为_11 (12 年) 由曲线 y 和直线 y 及 y4 在第一象限中围成的平面图形的面积为_12 (13 年) _13 (14 年) 设 D 是由曲线 y10 与直线 y0 及 y2 围成的有界区域，则 D的面积为_14 (14 年) 设 ，则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 (01 年) 已知抛物线 y
4、p 2q(其中 P0，q0)在第一象限内与直线 y5相切，且抛物线与 轴所围成的平面图形的面积为 S (1)问 P 和 q 为何值时，S达到最大值? (2)求出此最大值16 (01 年) 设 f()在0，1 上连续，在(0，1) 内可导，且满足 f(1)k e1 f()d (k1) 证明至少存在一点 (0，1)，使得 f()(1 -1)f()17 (02 年) 求极限18 (02 年) 设 f(sin2) ，求19 (02 年) 设 D1 是由抛物线 y2 2 和直线 a，2 及 y0 所围成的平面区域；D2 是由抛物线 y2 2 和直线 y0， a 所围成的平面区域，其中 0a2 (1)试求
5、 D1 绕 轴旋转而成的旋转体体积 V1；D 2 绕 y 轴旋转而成的旋转体体积 V2； (2)问当 a 为何值时， V1 2 取得最大值? 试求此最大值20 (02 年) 设函数 f()，g()在a，b上连续，且 g()0利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点 a，b，使 abf()g()df() abg()d21 (04 年) 设 f()，g()在a，b上连续，且满足 af(t) dtag(t)dt，a ，b； abf(t)dt abg(t)dt 证明： abf()dabg()d22 (05 年) 设 f()，g()在0，1上的导数连续，且 f(0)0，f()0，g()0证明：对任何 a0
6、， 1，有 0ag()f()d 01f()g()df(a)g(1)23 (06 年) 在 Oy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M(1，0)，其上任意点 P(，y)(0)处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 a(常数 a0) ()求 L 的方程； ()当L 与直线 ya 所围成平面图形的面积为 时，确定 a 的值24 (08 年) 设 f()是周期为 2 的连续函数 ()证明对任意的实数 t，有 tt+2f()d 02f()d； ()证明 G() 02f(t) tt+2f(s)dsdt 是周期为 2 的周期函数25 (09 年) 计算不定积分 ln(1 )d(0)26 (10 年)()比较
7、 01lnt ln(1t) ndt 与 01tnlnt dt(n 1，2，)的大小，说明理由； () 记 un 01lntln(1 t) ndt (n1，2， )，求极限 27 (11 年) 求不定积分28 (13 年) 设 D 是由曲线 y ，直线 a(a 0)及 轴所围成的平面图形，V，U y 分别是 D 绕 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积若 Vy10V ，求 a 的值29 (14 年) 设函数 f()，g()在区间a，b上连续，且 f()单调增加，0g()1证明：()0 ag(t)dt(a)，a ，b () f()dabf()g()d考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 7 答案与解
8、析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 根据定积分的几何意义知， 则 F(3)故应选 C 也可用排除法：由定积分的几何意义知 也可利用 f()是奇函数，则 F() 0f(t)dt为偶函数，从而 F(3)F(3) ，F(2) F(2) 则选项 A、B、D 均不正确，故应选 C【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 0af()d 0adf()f() 0a 0af()d af(a) 0af()d 其中 af(a)应等于矩形 ABOC 的面积， 0af()d应等于曲边梯形 ABOD 的面积，则 0af()d应等于曲边三角形 ACD
9、 的面积【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知，当 (1，0) 时 F()f() ，而当 )(1，0)时 f()1 0，即 F()0，从而 F()单调增显然 A 选项是错误的，因为 A 选项中 F()在(1 ，0) 中单调减 解析：由题设知，当 (1，0)时 F()f()，而当 )(1，0)时 f()10，即 F()0，从而 F()单调增显然 A 选项是错误的，因为 A 选项中 F()在(1， 0)中单调减 由于 F() 0(t)dt，则 F(0)0，显然 C 选项错误 由于当 (2，3时 f()0，则当 (2，3时 F() 0f(t)dt 02(t)dt 2f(t)d
10、t 02f(t)dt 20dtF(2) 则选项 B 是错误的，D 是正确的【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 要使 ln，只要 即：只要 0 由于 0，t(0，1)，则 (0，1)时， 0， 故当 (0，1)时， ln 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 当 (0， )时，sincos1cot，而 ln为单调增的函数，则 lnsinlncoslncot (0 ， ) 故应选 B【知识模块】 微积分二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 令 1t，则【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 1【试题解析】 由
11、0sintdt 知，0 时 y0，且 (1y) 0sintdt sin 将 0 和 y0 代入上式得 1y(0)0 y(0)1【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 V 12y2d 12(21)d【知识模块】 微积分11 【正确答案】 4ln2【试题解析】 曲线 y 和直线 y 及 y4 在第一象限围成的平面域如图，则所围面积为【知识模块】 微积分12 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 ln2【试题解析】 用二重积分计算面积，即【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 由题设知
12、 0，则 a 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 依题意，抛物线如图 27 所示 求得它与 轴交点的横坐标为： 10 ， 2 面积 S 因直线 y5 与抛物线 ypq 相切，故它们有唯一公共点由方程组 得 p(q1)50，其判别式必等于零即 (q1) 220p0 p (1q) 2 将 P 代入(*)式得 得驻点q3当 0q3 时，S(q)0；当 q3 时，S(q)0于是当 q3 时，S(q)取极大值，即最大值 此时 p ，从而最大 S 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 F()e 1-f()，则 F(1)f(1) 由积分中值定理得
13、k e1-f()dce 1-cf(c) 0c 1 由原式 f(1)k e1-f()d 知 F(c)F(1) 从而 F()在c， 1上满足罗尔定理条件，则存在 (c，1)使 F()0即 e1-f()(1 -1)f()0 而 e1-0，故 f()(1 -1)f()0 即 f()(1 -1)f()【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 (1)根据条件作图 28，则 V1 a2(22)2d (32a 5) V2a 2.2a2 2a 4a 4a 4 (2)设 VV 1V 2 (32a 5)a 4 由V4a 3(1a) 0 得
14、区间(0，2) 内的唯一驻点 a1 当 0a1 时，V 0；当a1 时，V 0因此 a1 是极大值点即最大值点 此时 V1V 2 取得最大值，等于 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 因为 f()，g() 在a ，b上连续，且 g()0，由最值定理，知 f()在a ，b上有最大值 M 和最小值 m，即 mf()M 故 mg()f()g()Mg() abmg()dab()g()dabMg()d 由介值定理知，存在 a，b，使 即 ab()g()df() abg()d【知识模块】 微积分21 【正确答案】 令 F()f()()，G() aF(t)dt， 由题设知 G()0， a，b，G(a)G
15、(b) 0，G()F() 从而 abF()d abdG()G() ab abG()d abG()d 由于 G()0，a ，b，故有 abG()d0， 即 abF()d0 因此abf()dabg()d【知识模块】 微积分22 【正确答案】 设 F() 0g(t)f(t)dt 01f(t)g(t)dtf()g(1)， 0，1 则 F()在0，1上的导数连续，并且 F() g()f() f()g(1)f()g()g(1) 由于0，1时，f()0，g(0)0，因此 F()0，即 F()在0，1上单调递减 注意到 F(1) 01g(t)f(t)dt 01f(t)g(t)dtf(1)g(1) 而 01g(
16、t)f(t)dt 01g(t)dt(t) g(t)f(t) 01 01f(t)g(t)dt f(1)g(1) 01f(t)g(t)dt 故 F(1)0 因此 0，1时，F()0，由此可得对任何 a0，1有 g()f()df()g()出f(a)g(1)【知识模块】 微积分23 【正确答案】 () 依题意得 y ya 求得其通解为 y a 2C 将1，y0 代入上式得 Ca从而 L 的方程为 ya 2a ()L 与直线 ya的交点坐标为(0，0) 和(2，2a) ，那么 L 与直线 ya 围成平面图形的面积 S(a) 02(aa 2a)d 02(2aa 2)d 于是由题设知 ，从而 a2【知识模块
17、】 微积分24 【正确答案】 () 由积分的性质知，对任意的实数 t， tt+2f()d t0f()d 02f()d 2t+2f()d 令 s2，则有 2t+2f()d 0tf(s2)ds 0tf(s)ds t0f()d 所以 tt+2f()d t0f()d 02f()d t0f()d 02f()d ()由于 tt+2f(s)ds 02f(s)ds 记 02f(s)dsa 则 G()2 0f(t)dta 因为对任意的 ， G(2) G()2 0 2f(t)dta( 2)2 0f(t)dta 2 2 f(t)dt2a2 02f(t)dt2a 0， 所以，G()是周期为 2 的周期函数【知识模块】
18、 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 () 当 0t1 时，因为 ln(1t)t，所以 lntln(1t)ntnlnt， 因此lntln(1t) ndt01tnlnt dt ()由() 知0un 01lntln(1 t) ndt01tnlntdt 因为 ，所以 从而 0【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 由 Vy10V ，即 ，解得 a7【知识模块】 微积分29 【正确答案】 () 由 0g()1 得 0 0g(t)dt01dt(a) a，b ()令 F(u)f()g()d f()d 只要证明 F(b)0，显然 F(a)0，只要证明 F(u)单调增，又 F(u)f(u)g(u) f(a aug(t)dt)g(u) g(u)f(u)f(a aug(t)dt) 由()的结论0ag(t)dt(a)知，aa ag(t)dt，即 aa aug(t)dtu 又 f()单调增加，则 f(u)f(a aug(t)dt)，因此，F(u)0，F(b)0 故 f()dab()g()d【知识模块】 微积分
