1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (02 年 )设函数 f()在闭区间a，b 上有定义，在开区间(a ，b) 内可导，则 【 】（A）当 f(a)f(b)0 时，存在 (a，b)，使 f()0（B）对任何 (a，b)，有 f()f()0（C）当 f(a)f(b)时，存在 (a，b)，使 f()0（D）存在 (a，b) ，使 f(b)f(a) f()(ba) 2 (03 年 )设 f()为不恒等于零的奇函数，且 f(0)存在，则函数 g() 【 】（A）在 0 处左极限不存在（B）有跳跃间断点 0（C）在 0
2、处右极限不存在（D）有可去间断点 03 (04 年 )设 f()(1 )，则 【 】（A）0 是 f()的极值点，但(0，0)不是曲线 yf()的拐点（B） 0 不是 f()的极值点，但(0，0)是曲线 yf() 的拐点（C） 0 是 f()的极值点，且(0，0)是曲线 yf()的拐点（D）0 不是 f()的极值点，(0，0)也不是曲线 yf()的拐点4 (04 年 )设 f()在a，b上连续，且 f(a)0，f(b)0，则下列结论中错误的是 【 】（A）至少存在一点 0(a，b)，使得 f(0)f(a)（B）至少存在一点 0(a，b)，使得 f(0)f(b)（C）至少存在一点 0(a，b)，
3、使得 f(0)0（D）至少存在一点 0(a，b)，使得 f(0)05 (05 年 )当 a 取下列哪个值时，函数 f()2 39 212a 恰有两个不同的零点 【 】（A）2（B） 4（C） 6（D）86 (05 年 )设 f()sincos，下列命题中正确的是 【 】（A）f(0)是极大值，f( )是极小值（B） f(0)是极小值， f( )是极大值（C） f(0)是极大值， f( )也是极大值（D）f(0)是极小值，f( )也是极小值7 (05 年 )以下四个命题中，正确的是 【 】（A）若 f()在(0 ，1)内连续，则 f()在(0，1)内有界（B）若 f()在(0，1) 内连续，则
4、f()在(0，1)内有界（C）若 f()在(0，1) 内有界，则 f()在(0，1)内有界（D）若 f()在(0 ，1)内有界，则 f()在(0，1)内有界8 (06 年 )设函数 yf()具有二阶导数，且 f()0，f()0， )为自变量 )在点 0 处的增量， y 与 dy 分别为 f()在点 0 处对应的增量与微分，若 0，则 【 】（A）0dyy（B） 0 ydy（C） ydy0（D）dyy09 (06 年 )设函数 f()在 0 处连续，且 1，则 【 】（A）f(0)0 且 f (0)存在（B） f(0)1 且 f (0)存在（C） f(0)0 且 f (0)存在（D）f(0)1
5、且 f (0)存在10 (07 年) 设函数 f()在 0 处连续，下列命题错误的是 【 】（A）若 存在，则 f(0)0（B） 存在，则 f(0)0（C）若 存在，则 f(0)存在（D）若 存在，则 f(0)存在11 (07 年) 曲线 y ln(1e )渐近线的条数为 【 】（A）0（B） 1（C） 2（D）312 (07 年) 设某商品的需求函数为 Q1602p其中 Q，P 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是 【 】（A）10（B） 20（C） 30（D）4013 (10 年) 设函数 f()，g()具有二阶导数，且 g()0若 g(0)a 是 g(
6、)的极值，则 f(g()在 0 取极大值的一个充分条件是 【 】（A）f(a) 0（B） f(a)0（C） f(a)0（D）f(a) 0二、填空题14 (03 年) 设 f() 其导函数在 0 处连续，则 的取值范围是_15 (03 年) 已知曲线 y 33a 2b 与 轴相切，则 b2 可以通过 a 表示为b2_16 (06 年) 设函数 f()在 2 的某邻域内可导，且 f()e f()，f(2)1，则 f(2)_17 (07 年) 设函数 y ，则 y(n)(0)_18 (09 年) 设某产品的需求函数为 QQ(p) ，其对价格 P 的弹性 p02，则当需求量为 10000 件时，价格增
7、加 1 元会使产品收益增加_19 (10 年) 设某商品的收益函数为 R(p)，收益弹性为 1P 3，其中 P 为价格，且R(1) 1，则 R(p)_20 (10 年) 若曲线 y 3a 21 有拐点(1，0)，则 b_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 (03 年) 设 f() 试补充定义 f(1)使得 f()在 ，1上连续22 (03 年) 设函数 f()在0，3上连续，在(0，3) 内可导，且 f(0)f(1) f(2)3，f(3)1试证必存在 (0，3)使 f()023 (04 年) 求24 (04 年) 设某商品的需求函数为 Q1005P，其中价格 P(0，20)
8、，Q 为需求量 ( )求需求量对价格的弹性 Ed(Ed0)； ()推导 Q(1 E d)(其中 R 为收益)，并用弹性 Ed 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加25 (05 年) 求26 (06 年) 证明：当 0a b 时，bsinb2cosb6asina2cosaa27 (07 年) 设函数 yy()由方程 ylnyy0 确定，试判断曲线 yy()在点(1，1)附近的凹凸性28 (07 年) 设函数 f()，g()在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，又 f(a)g(a)，f(b) g(b)，证明：()存在 (a，b) ，使得 f()g() ；()存在
9、 (a，b)，使得 f() g()29 (09 年)()证明拉格朗日中值定理：若函数 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b) ，使得 f(b)f(a) f()(ba) ()证明：若函数 f()在 0 处连续，在(0 ，)(0)内可导，且 f()A，则 f (0)存在，且 f (0)A 考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f()在(a ，b) 内可导 (a，b)，则 f()在 点可导，因而在 点连续，故 f()f()0【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D
10、【试题解析】 由于 f()为奇函数，则 f(0)0，从而 又 g() 在 0 处无定义，则 0 为 g()的可去间断点【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f()(1) 知，f(0)0，而当 0，或 01 时，f()0，由极值的定义知 f()在 0 处取极小值又 则当 0 时，f()20；当 01 时，f()20，则(0，0)是曲线 yf() 的拐点，故应选C【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 由以上分析知，由 f(a)0 知，存在 0(a，b)使 f(0)f(a)；由f(b) 0 知，存在 0(a， b)，使 f(0)f(b)，则选项 A、B 均不能选又
11、 f(a)0，f(b) 0，且 f()在a，b上连续，由零点定理知，存在 0(a，b)，使 f(0)0，则 C 也不能选，故应选 D【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 f()6 218126( 232)6(1)(2) 令 f()0，得11， 22 f(1)5a，f(2) 4a 当 a4 时，f(1) 10，f(2)0即 2 为f()的一个零点，由 f()6(1)(2)知 当 1 时，f() 0，f()严格单调增，而 f(1)10， f()，则 f()在(，0)内有唯一零点 当12 时，f()0，f()单调减，又 f(2)0，则当 12 时，f()0，此区间内无零点 当 2 时
12、，f()0，f(2) 0则 2 时 f()0，即在此区间内 f()无零点故应选 B【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 f()sincossincos，f()cossin f(0)0，f (0)10，则 f(0)是极小值 ， 则 是极大值 故应选 B【知识模块】 微积分7 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f()在(0 ，1)内有界，则存在 M0，使对任意 (0，1)，f()M，对任意的 (0，1)，由拉格朗日中值定理知 f()f( )f()()， (0，1) 从而右 f() 则 f()在(0，1)内有界【知识模块】 微积分8 【正确答案】 A【试题解析】 由于 dyf( 0
13、) yf( 0) f( 0)f() ( 0 0) 由f()0，则 f()单调增，又0，且 f()0，则 0dy y 故应选 A【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 由 1，知 f(h2)0，又 f()在 0 连续，则 f(h2)f(0)0 则 故应选 C【知识模块】 微积分10 【正确答案】 D【试题解析】 由 存在及 f()在 0 处的连续性知，f(0)0，从而有f(0)，所以，命题 A 和 C 是正确的； 由 存在， 0 知， (f()f()2f(0)0，则 f(0)0，所以，命题 B 也是正确的 事实上，命题 D 是错误的例如，令 f()，显然 0，但 f()在 0 处不
14、可导，即 f(0)不存在故应选 D【知识模块】 微积分11 【正确答案】 D【试题解析】 由于 ，则 0 为原曲线的一条垂直渐近线 而ln1 0，则 y0 为原曲线的一条水平渐近线 则 y 为原曲线的一条斜渐近线，由此可知原曲线共有三条渐近线所以，本题应选 D【知识模块】 微积分12 【正确答案】 D【试题解析】 由题设可知，该商品的需求弹性为 由 1 知 p40故应选 D【知识模块】 微积分13 【正确答案】 B【试题解析】 令 ()fg()，则 ()fg()g() ( 0)fg( 0)g(0)0 ()fg()g 2()fg()g() ( 0)fg( 0)g( 0)f(a)g( 0) 若 f
15、(a)0，则 ( 0)0，故 ()在 0 处取极大值【知识模块】 微积分二、填空题14 【正确答案】 2【试题解析】 当 0时 f() 当 0 时 f(0) 由上式可知，当 1 时，f(0)存在，且 f(0)0 又 由上式可知，当 2 时， f()0f(0) 即导函数在 0 处连续【知识模块】 微积分15 【正确答案】 4a 6【试题解析】 设曲线 y 33a 2b 在 0 处与 轴相切，则 3 023a 20 且033a 20b 0 即 02 a2 且 0(023a 2)b 从而可得 b24a 6【知识模块】 微积分16 【正确答案】 2e 3【试题解析】 由 f()e f()及 f(2)1
16、 知，f(2) e f()e f()f()f() 2，从而有f(2) e 2 f()2f()f()，则 f(2)2e 3【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 y (23) -1；y(1)(2 3)-2.2；y( 1).(2)(23) -3.22 则 y(n)(1) nn!(23) -(n+1).2n；y (n)(0)( 1) nn!3-(n+1).2n【知识模块】 微积分18 【正确答案】 8000【试题解析】 由于收益 RpQ(p) pQ(p) Q(p) 而 02 p 则pQ(p)(02)Q(p) 故 (02)Q(p) Q(p) 08Q(p)08100008000【知识模块】
17、 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 由题设知 1p 3 lnRlnp p3C 由 R(1)1 知，C lnRlnp R 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 3【试题解析】 曲线 y 3a 2b1 过点(1，0)，则 01ab 1， ab y 3b 2 b1 y3 22bb y62b y(1)62b0，则 b3【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 令 1y，则 由于 f()在 ，1)上连续，因此，定义f(1) ，就可使 f()在 ，1上连续【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由于 f()在0，3上连续，则 f()在0，2上连续，且
18、在0，2上必有最大值 M 和最小值 m，于是 由介值定理知，至少存在一点 c0，2，使显然 f()在c，3上满足罗尔定理条件，故存在 (c，3) (0，3)，使 f()0【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 ()E d ()由 RPQ ，得 又由 Ed 1，得P10 当 10P 20 时， Ed1，于是 0 故当 10P 20 时，降低价格反而使收益增加【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 设 f()sin2cos， 0，则 f()sincos 2sincossinf()cossincossin0， (0，)故
19、 f()在0，上单调减少，从而 f()f()0，(0，)因此 f()在 0，上单调增加，当 0a b 时f(b)f(a)即 bsinb2cosbb asina2cosaa【知识模块】 微积分27 【正确答案】 等式 ylnyy0 两边对 求导得 ylnyy1y0 在点(1， 1)附近 y0，则曲线 yy()是凸的【知识模块】 微积分28 【正确答案】 令 ()f()g()，以下分两种情况讨论： 1)若 f()和 g()在(a， b)内的同一点处 c(a，b)取到其最大值，则 (c)f(c)g(c)0，又 (a)(b)0，由罗尔定理知 1(a，c) ，使 (1)0； (c，b)，使 (2)0 对
20、()在 1， 2上用罗尔定理得， (1， 2)，使 () 0 2)若 f()和 g()在(a， b)内不在同一点处取到其最大值，不妨设 f()和 g()分别在 1 和 2(1 2)取到其在(a，b)内的最大值，则 ( 1)f( 1)g( 1)0，( 2)f( 2)g( 2)0 由连续函数的介值定理知， c(1， 2)，使 (c)0【知识模块】 微积分29 【正确答案】 () 取 F()f() (a)， 由题意知 F()在a ，b上连续，在(a ，b)内可导，且 根据罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F()f() 0，即 f(b)f(a)f()(ba) ()对于任意的 t(0，)，函数 f()在0，t上连续，在(0，t) 内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理 ， 其中 (0，)t 由于 f(t)A，且当 t0 +时，0 +，所以 f()A，故 f+(0)存在，且f+(0)A【知识模块】 微积分
