1、考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x21)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 y(x)dx为( )（A）一 ln3（B） ln3（C）（D）2 微分方程 y“一 y一 6y=(x+1)e 一 2x 的特解形式为( )（A）(ax+b)e 一 2x（B） ax2e 一 2x（C） (ax2+bx)e 一 2x（D）x 2(ax+b)e 一 2x3 微分方程 y“一 4y=x+2 的通解为( )二、填空题4 微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为_
2、5 设函数 (u)可导且 (0)=1，二元函数 z=(x+y)exy 满足 =0，则 (u)=_6 连续函数 f(x)满足 f(x)=30xf(x 一 t)dt+2，则 f(x)=_7 设 y=y(x)可导， y(0)=2，令 y=y(x+x)一 y(x)，且 y= 其中 是当x0 时的无穷小量，则 y(x)=_8 的通解为_9 微分方程 xy一 yln(xy)一 1=0 的通解为_10 微分方程 y2dx+(x2 一 xy)dy=0 的通解为_11 设连续函数 f(x)满足 f(x)=02x dt+ex，则 f(x)=_12 微分方程(2x+3)y“=4y的通解为_13 yy“=1+y2 满
3、足初始条件 y(0)=1，y(0)=0 的解为_14 微分方程 y“+4y=4x 一 8 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求微分方程 xy+(1 一 x)y=e2x(x0)满足 =1 的特解，16 求微分方程 xy= 的通解17 求微分方程 xy“+2y=ex 的通解18 设 x0 时，f(x)可导，且满足：f(x)=1+ 1xf(t)dt，求 f(x)19 求微分方程(y+ )dx 一 xdy=0 的满足初始条件 y(1)=0 的解20 求微分方程(y 一 x3)dx 一 2xdy=0 的通解21 求微分方程 y2dx+(2xy+y2)dy=0 的通解22
4、求微分方程 cosy 一 cosxsin2y=siny 的通解23 求微分方程 一 x2+y2 满足初始条件 y(e)=2e 的特解24 求微分方程 x2y+xy=y2 满足初始条件 y(1)=1 的特解25 求微分方程 的通解26 求微分方程 的通解27 设 y=ex 为微分方程 xy+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解28 设 f(x)一 ex 一 0x(x 一 t)f(t)dt，其中 f(x)连续，求 f(x)29 求微分方程 ry“+3y=0 的通解考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一
5、个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 2xydx+(x21)dy=0 得 =0，积分得 ln(x2 一 1)+lny=lnC，从而 y= 由 y(0)=1 得 C=一 1，于是 y= 故选(D)【知识模块】 常微分方程与差分方程2 【正确答案】 C【试题解析】 因为原方程的特征方程的特征值为 1=一 2， 2=3，而一 2 为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为 x(ax+b)e 一 2x，选(C) 【知识模块】 常微分方程与差分方程3 【正确答案】 D【试题解析】 微分方程 y“一 4y=0 的特征方程为 2 一 4=0，特征值为一 2，2，则方程 y“一 4y=0 的
6、通解为 C1e 一 2x+C2e2x，显然方程 y“一 4y=x+2 有特解，选(D) 【知识模块】 常微分方程与差分方程二、填空题4 【正确答案】 (x+C)cosx【试题解析】 通解为 y=cosxetanrdxdx+Ce 一tanxdx =(x+C)cosx【知识模块】 常微分方程与差分方程5 【正确答案】 【试题解析】 令 x+y=u，则 =(u)exy+x(u)exy， =2(u)exy+u(u)exy，由 =0 得 2(u)+u(u)=0 或 (u)+ =0解得 (u)=再由 (0)=1 得 C=1，故 (u)=【知识模块】 常微分方程与差分方程6 【正确答案】 2e 3x【试题解
7、析】 由 0xf(x 一 t)dt x0f(u)(一 du)=0xf(u)du 得 f(x)=30xf(u)du+2，两边对 x 求导得 f(x)一 3f(x)=0，解得 f(x)=Ce 一3dx =Ce3x，取 x=0 得 f(0)=2，则C=2，故 f(x)=2e3x【知识模块】 常微分方程与差分方程7 【正确答案】 【试题解析】 由y=0，解得 y=，再由 y(0)=2，得 C=2，所以 y=【知识模块】 常微分方程与差分方程8 【正确答案】 +ce2y【试题解析】 由 一 2x 一 y2，则 x 一(y 2，e 一 2dydy+C)e 一 一2dy=(y2e 2ydy+C)e2y= +
8、ce2y【知识模块】 常微分方程与差分方程9 【正确答案】 Cx【试题解析】 令 xy=u，y+xy= 代入原方程得 =0，分离变量得积分得 lnlnu=1nx+lnC，即 lnu=Cx，原方程的通解为 ln(xy)=Cx【知识模块】 常微分方程与差分方程10 【正确答案】 【试题解析】 令 代入原方程得 两边积分得 u 一 lnu 一 Inx 一 lnC=0，解得 y=【知识模块】 常微分方程与差分方程11 【正确答案】 2e 2x 一 ex【试题解析】 02xf( )dt=20xf(t)dt，则 f(x)=02xf( )dt+ex 可化为 f(x)=20xf(t)dt+ex，两边求导数得
9、f(x)一 2f(x)=ex，解得 f(x)=exe一 2dxdx+Ce2dx=(一 e 一 x+C)e2x=Ce2x一 ex，因为 f(0)=1，所以 f(0)=C 一 1=1，C=2，于是 f(x)=2e2x 一 ex【知识模块】 常微分方程与差分方程12 【正确答案】 C1x3+6C1x2+9C1x+C2【试题解析】 令 y=p，则 ，两边积分得 lnp=1n(2x+3)2+lnC1，或y=C1(2x+3)2，于是 y= C1x3+6C1x2+9C1x+C2【知识模块】 常微分方程与差分方程13 【正确答案】 x【试题解析】 令 y=p，则 解得 ln(l+p2)=1ny2+lnC1，则
10、 1+p2=C1y2，由 y(0)=1，y(0)=0 得y= +C2=x，由 y(0)=1 得 C2=0，所以特解为【知识模块】 常微分方程与差分方程14 【正确答案】 C 1cos2x+C2sin2x+x 一 2【试题解析】 微分方程两个特征值为 1=一 2i， 2=2i，则微分方程的通解为y=C1cos2x+C2sin2x+x 一 2【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 原方程化为 通解为由 =1 得 C=一 1，故特解为 y=【知识模块】 常微分方程与差分方程16 【正确答案】 原方程化为变量分离得 积分得 In(lnu
11、一 1)=1nx+lnC，即 lnu 一 1=Cx，或 u=eCx+1，故原方程的通解为 y 一 xeCx+1【知识模块】 常微分方程与差分方程17 【正确答案】 xy+2y=e x 两边乘以 x 得 x2y“+2xy=xex，即(x 2y)=xex，积分得x2y=(x 一 1)ex+C1，即 y= 再积分得原方程通解为【知识模块】 常微分方程与差分方程18 【正确答案】 由 f(x)=1+ 1xf(t)dt 得 xf(x)=x+1xf(t)dt，两边对 x 求导得 f(x)+xf(x)=1+f(x)，解得 f(x)= ，f(x)=1nx+C ，因为 f(1)=1，所以 C=1，故 f(x)=
12、1nx+1【知识模块】 常微分方程与差分方程19 【正确答案】 由令 则原方程化为 ，积分得 即将初始条件 y(1)=0 代入得 C=1由即满足初始条件的特解为【知识模块】 常微分方程与差分方程20 【正确答案】 由(y 一 x3)dx 一 2xdy=0，得即原方程的通解为 (其中 C 为任意常数)【知识模块】 常微分方程与差分方程21 【正确答案】 由 y2dx+(2xy+y2)dy=0 得 令所以原方程的通解为y2(y+3x)=C【知识模块】 常微分方程与差分方程22 【正确答案】 由 一cosxsin2y=siny，令 u=siny，则 一 u=cosu 2，令 u 一 1=z，则 +z
13、=一 cosx，解得 z=(一 cosx)edxdx+Ce 一dx =一e xcosxdx+Ce 一 x【知识模块】 常微分方程与差分方程23 【正确答案】 由 =x2+y2，得 =x2+y2，令 z=y2，则=2x解得 =2x2ln|x|+Cx2，由初始条件得 C=2，则原方程的通解为 y2=x2lnx2+2x2【知识模块】 常微分方程与差分方程24 【正确答案】 由 x2y+xy=y2 得两边积分得因为 y(1)=1，所以 C=一1，再把 u= =Cx2 得原方程的特解为 y=【知识模块】 常微分方程与差分方程25 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程与差分方程26 【正确答案】 令 x
14、+y=u，则 一 1，于是有 变量分离得=dx，两边积分得 u 一 arctanu=x+C，所以原方程的通解为 y 一arctan(x+y)=C【知识模块】 常微分方程与差分方程27 【正确答案】 把 y=ex 代入微分方程 xy+P(x)y=x，得 P(x)=xe 一 x 一 x，原方程化为 y+(e 一 x 一 1)y=1，则 y=将 y(ln2)=0 代入 y=+ex 中得 C= ，故特解为 y= +ex【知识模块】 常微分方程与差分方程28 【正确答案】 由 f(x)=ex 一 0x(x 一 t)f(t)dt，得 f(x)=ex 一 x0xf(t)dt+0xtf(t)dt，两边对 x 求导，得 f(x)=ex 一 f(t)dt，两边再对 x 求导得 f“(x)+f(x)=ex，其通解为 f(x)=C1cosx+C2sinx+ ex在 f(x)=ex0x(x 一 t)f(t)dt 中，令 x=0 得 f(0)=1，在 f(x)=ex0xf(t)dt 中，令 x=0 得 f(0)=1，于是有 C1= ，C 2= ，故 f(x)= (cos+sinx)+ ex【知识模块】 常微分方程与差分方程29 【正确答案】 令 y=p，则 解得【知识模块】 常微分方程与差分方程
