1、考研数学三（多元函数的微分与应用）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知曲面 z=4 一 x2 一 y2 上点 P 处的切平面平行于平面 2x+2y+z 一 1=0，则点 P的坐标是( ) （A）(1 ，一 1，2)（B） (一 1，1，2)（C） (1，1，2)（D）(一 1，一 1，2)2 已知平面 平行于直线 及 2x=y=z，并与曲面 z=x2+y2+1 相切，则 的方程为( ) （A）16x+8y 一 16z=0 （B） 2x+3y 一 4x+5=0（C） 16x+8y 一 16z+11=0 （D）8x 一 3y+4z+7=0
2、3 设 f(x，y)为区域 D 内的函数，则下列各种说法中不正确的是( )（A）若在 D 内，有 则 f(x，y)= 常数（B）若在 D 内的任何一点处沿两个不共线方向的方向导数都为零，则 f(x，y)=常数（C）若在 D 内，有 df(x，y)=0，则 f(x，y)基常数（D）若在 D 内，有 则 f(x，y)= 常数4 可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，下列结论正确的是 ( )（A）f(x 0，y)，)在 y=y0 处的导数等于零（B） f(x0，y)在 y=y0 处的导数大于零（C） f(xy0，y) ，)在 y=y0 处的导数小于零（D）f(xy 0， y)在 y
3、=y0 处的导数不存在5 已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 则( ) 。（A）点(0 ，0) 不是 f(x，y)的极值点（B）点 (0，0)是 f(x，y)的极大值点（C）点 (0，0)是 f(x，y)的极小值点（D）以上都不对6 设函数 z=z(x，y)存在二阶偏导数，且在 M0(X0， y0)处取得极大值，则( )（A）（B）（C）（D）7 下列说法中正确的是( )（A）若 z=f(x，y)在 M0 点任一方向的方向导数都存在，则 z 在该点存在偏导数（B）若 z=f(x，y)在 M0 点可微，则它在 M0 点的一阶偏导数连续（C）若 z=f(x，y)在 M0 点存
4、在二阶偏导数，则它在 M0 处的一阶偏导数连续（D）若 z=f(x，y)在 M0 点不连续，则它在 M0 点不可微8 （A）2xe -x （B） (一 x2+2x)e-x（C） e-x （D）(2x 一 1)e-x9 球面 x2+y2+z2=a2 含在 x2+y2=ax 内部的面积 S=( )（A）（B）（C）（D）10 设 f(x)是连续的奇函数，则 f(0)=0， 其中 D 为：0x1，0y1（A）（B） 0（C）（D）11 下列积分中积分值为 0 的是( )（A）（B）（C）（D） D 由 y=x,y=-1,x=1 所围成12 在变力 =(x2+y2+z2) 的作用下，一质点从球面 x2
5、+y2+z2=a2 上的一点A(x1， y1，z 1)沿一简单光滑曲线 L 运动到球面 x2+y2+z2=b2 上的一点 B(x2，y 2，z 2)，ba0则变力 对质点所作的功( )（A）与点 A、B 的位置有关，与曲线 L 无关（B）与点 A、B 的位置无关，与曲线 L 有关（C）与点 A、B 的位置，曲线 L 都无关（D）与点 A、B 的位置，曲线 L 都有关13 设平面区域 D 由 x=0， y=0，x+y= ，x+y=1 围成则 I1，I 2，I 3，之间关系为( )（A）I 123 （B） I321（C） I132 （D）I 312二、填空题14 通过直线 且与球面 x2+y2+z
6、2=4 相切的平面方程为_15 曲线 在点(1，1，3)处的切线方程为_.16 设曲线 f(x) 则曲线在 处的切线方程为_17 函数 u=ln(x2+y2+z2)在点 M(1，2，一 2)处的梯度 graduI M_18 由方程 所确定的函数 z=z(x，y)在点(1，0，一 1)处的全微分出 dz=_19 设 f(x，y， z)=exyz2，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则fz(0，1，一 1)=_20 设函数 z=z(x，Y)由方程 F(x 一 az，ybz)=0 所给出，其中 F(u，v)任意可微。则 .21 设 u=sinx+(sinx+cosy)
7、( 为可微函数)，且当 x=0 时，u=sin 2y 则 _.22 设 ,dz_.23 已知24 设25 力场 F=yz，一 2xz，2xy沿曲面 与平而 yz=0 的交线自A(a，0，0)到点 B(一 a，0，0)所作的功为_26 设平面曲线 L 为下半圆周 则曲线积分27 向量场 u(x，y，z)=xy 2i+yexj+xIn(1+z2)k 在点 P(1，1，0)处的散度 divu=_28 更换二次积分 的积分顺序，变为_.29 均匀的半球面 的重心的坐标为_.30 由椭圆柱面 z=z2+2y2 与抛物柱而 z=2 一 x2 所围立体的体积为 _31 星形线 绕 Ox 轴旋转所得旋转曲面的
8、而积为 _.32 由而(z 一 a)(x)+(z 一 b)(y)=0 与 x2+y2=1，z=0 所围立体的体 V=_(其中 为连续正值函数，a0，b0)33 设 其中为 x2+y2+z2=R2，则 f(x，y)=_.34 35 曲面 被 x2,y2=2az 所截在此曲面上方部分的面积等于 _。考研数学三（多元函数的微分与应用）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 即求曲面 S：F(x，Y，z)=0，其中 F(x，y，z)=z+x 2+y2 一 4，上点 P使 S 在该点处的法向量 n 与平面 ：2x+2x+z
9、一 1=0 的法向量 n0=2，2，1 平行S 在 P(x，y，z)处的法向量 为某常数，即 2x=2，2y=2 ，1=即 z=1，y=1，又点 P(x，y，z) Sz=4-x 2-y2) (x,y)=(1,1)=2 故求得 P(1，1，2)(P 不在给定的平面上)，因此，应选 C【知识模块】 多元函数的微分与应用2 【正确答案】 C【试题解析】 依题设可设平面 的法线向量为 又设曲面 z=x2+y2+1 在(x n，y n，z n)处的切平面法向量为2x 0，2y 0，一 1则由得 即所求平面 的方程为亦即 16x+8y-16z+11=0【知识模块】 多元函数的微分与应用3 【正确答案】 D
10、【试题解析】 由排除法：A,B,C,正确，故选 D显然 A 是正确的，在区域D，df(x，y) 所以 C 也是正确的，现在考虑 B，设(x 0，y 0)D 为任意一点，它存在两个不共线的方向：I i=(cosi，cos i) (i=1，2)使得由于 l1，l 2 不共线，所以 由线性方程组理论。 所以 f(x，y)暑常数，故 B 正确，因此选 D【知识模块】 多元函数的微分与应用4 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知，(x，y)可微且 f(x，y)在(x 0，y 0)处取得极小值，所以 f(x0，y 0)=f(x0，y 0)=0对该二元可微函数固定 x=x0，则 f(x0，y) 是一元可导
11、函数且它在 y=y0 处取得极小值，故 f(x0，y)在 y=y0 处的导数等于零因此选 A【知识模块】 多元函数的微分与应用5 【正确答案】 A【试题解析】 由极限与无穷小的关系，在点(0，0)的充分小的邻域内有 f(x，y)=xy+(1+a)(x2+y2)2，其中 ，即 f(x，y)=xy+(x 2+y2)2+a(x2+y2)2 所以在点(0，0)的足够小的邻域内，在 xy0 处 f(x，y)O，在 xy【知识模块】 多元函数的微分与应用6 【正确答案】 C【试题解析】 当 z=f(x，y) 在 M0 点取得极大值时，函数 z=f(x，y 0)和 z=f(x0，y)也在帆点取得极大值，由一
12、元函灵敏取得极值的第二二充分条件知 C 成立【知识模块】 多元函数的微分与应用7 【正确答案】 D【试题解析】 设 f(x，y)= ，则 f(x，y)在点(0，0)处的任一一方向的方向导数 但由于f(0，0)不存在，故 A 错设则其在点(0，0)可微，但在点(0，0)不连续，故 B 不正确由于二元函数在某点处存在偏导数与函数在该点处是否连续之间没关系，所以二阶偏导数存在与一一阶偏导数在该点处是否连续无关，故 C 不对事实上，若 z=f(x，y)在 M0 点可微，则它在 M0 点必连续，故 D 对【知识模块】 多元函数的微分与应用8 【正确答案】 C【试题解析】 一方面，另一方面，比较两个计算结
13、果可知应选 C.【知识模块】 多元函数的微分与应用9 【正确答案】 A【试题解析】 球面 x2+y2+z2=a2 含在柱面 x2+y2=ax 内的部分在 xOy 平面上的投影区域为 D：x 2+y2ax,故【知识模块】 二重积分10 【正确答案】 B【试题解析】 设 t=xy，则设 u=yx，则【知识模块】 二重积分11 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)一 f(一 x)为奇函数知 x2f(x)一 f(一 x)为奇函数，所以【知识模块】 二重积分12 【正确答案】 C【试题解析】 变力 F 对质点所作的功为故选 C【知识模块】 二重积分13 【正确答案】 C【试题解析】 当 时，可知
14、1n(x+y)0又当 时，sinu3(x+y)sin3(x+y)(x+y)3 亦即从而 I132，故选 C【知识模块】 二重积分二、填空题14 【正确答案】 z=2【试题解析】 过直线的平面束方程为(2x+y)+(4x+2y+3z 一 6)=0，且 p(2+4)x+(1+2)y+3z 一 6A=0假定 =0 时，由方程所确定的平面与球面相切，则点 O(0，0，0) 到此平面的距离为 2即 解得 A0=，故所求平面的方程为 z=2【知识模块】 多元函数的微分与应用15 【正确答案】 【试题解析】 方程组两边对并求导将(1，1，3)代入得 切线的方向向量为 故切线方程为【知识模块】 多元函数的微分
15、与应用16 【正确答案】 【试题解析】 又所以因此，切线方程式为 即【知识模块】 多元函数的微分与应用17 【正确答案】 【试题解析】 直接计算【知识模块】 多元函数的微分与应用18 【正确答案】 【试题解析】 这是求隐函数在某点的全微分这里点(1，0，一 1)的含意是z=z(1，0)=一 1将方程两边求全微分，由一阶全微分形式不变性得再由全微分四则运算法则得令 x=1,y=0,z=-1 得 即 为所求【知识模块】 多元函数的微分与应用19 【正确答案】 1【试题解析】 设 F(x ，y， z)=z+y+z+xyz 则又 fx=exyz2+ey.2zzxfz(0,1,-1)=e0.1.(-1)
16、2+e0.1.2(-1).0=1【知识模块】 多元函数的微分与应用20 【正确答案】 1【试题解析】 因 故【知识模块】 多元函数的微分与应用21 【正确答案】 2(sinxsiny+cosysiny)【试题解析】 将 x=0，u=sin 2y 代入已知函数得：sin2y=(cosy)=1 一 cos2y 设 v=cosy，故 (u)=1 一 v2 (u)=-2v 则 (sinx+cosy)=一2(sinx+cosy)【知识模块】 多元函数的微分与应用22 【正确答案】 【试题解析】 可用两种方法求全微分 dz第一种方法是先求两个偏导数 然后再写出全微分出 dz；第二种方法是利用一阶全微分形式
17、不变性和全微分四则运算法则直接计算出 dz 因为由于 当 x 一y0 时连续，从而 z 当 xy0 时可微，故【知识模块】 多元函数的微分与应用23 【正确答案】 【试题解析】 首先求 由题设可得 再对 y求偏导数即得【知识模块】 多元函数的微分与应用24 【正确答案】 【试题解析】 由全微分与偏导数的关系可知，其中 dx 的系数就是 再对)，求偏导数，得【知识模块】 多元函数的微分与应用25 【正确答案】 【试题解析】 记 l 为曲面与平面的交线自点 A(a，0，0)到 8(一 a，0，0)的一段，即 1 为 于是【知识模块】 二重积分26 【正确答案】 【试题解析】 L 的方程又可写成 x
18、2+y2=1(y0)，被积函数在 L 上取值，于是原积分= =(半径为 1 的半圆周长)【知识模块】 二重积分27 【正确答案】 2【试题解析】 直接由散度计算公式得【知识模块】 二重积分28 【正确答案】 【试题解析】 关键是弄清积分区域由题设可知 D1: D2:【知识模块】 二重积分29 【正确答案】 【试题解析】 由对称性知 (其中D：x 2 十 y2R2)【知识模块】 二重积分30 【正确答案】 【试题解析】 积分区域如图所示 联立 解得此曲线在 zOy 平面上的投影为： 设 D：x 2+y21，则【知识模块】 二重积分31 【正确答案】 【试题解析】 因旋转曲面的面积为 化成参数方程为故【知识模块】 二重积分32 【正确答案】 【试题解析】 曲面的方程为： 故(D：x 2+y21)因 D：x 2+y21，对 x,y 具有轮换对称性，故 则【知识模块】 二重积分33 【正确答案】 x【试题解析】 设 ，则 由于：x 2+y2+z2=R2 关于 yoz 平面对称，且 x 是 x 的奇函数因此 从而有 A=0，f(x，y)=0+x=x。【知识模块】 二重积分34 【正确答案】 【试题解析】 变换积分次序得原式=【知识模块】 二重积分35 【正确答案】 【试题解析】 两曲面的交线 和 xOy 平面上的投影为：【知识模块】 二重积分
