1、考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 其中D=(x，y)|x 2+y21，则( )（A）I 3I 2 I1（B） I1I 2I 3（C） I2I 1 3（D）I 3I 1 I22 已知 fx(x0， y0)存在，则（A）f x(x0， y0)（B） 0（C） 2fx(x0，y 0)（D）3 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在点(0，0)处( )（A）两个偏导数都不存在（B）两个偏导数存在但不可微（C）偏导数连续（D）可微但偏导数不连续4 已知 为某二元函数 u(x，y)的全微分，则 a 等于( )（A
2、）0（B） 2（C） 1（D）一 15 函数 f(x,y)在(0，0)点可微的充分条件是 ( )6 设函数 f(t)连续，则二次积分 =( )7 设区域 D=(x，y)|x 2+y24，x0，y0,f(x)为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 =( )（A）ab （B）（C） (a+b)（D）8 设 z=f(x,y)在点(x 0，y 0)处可微， z 是 f(x，y)在点 (x0，y 0)处的全增量，则在点(x0，y 0)处( )（A）z=dz（B） z=fx(x0,y0)x+fy(x0，y 0)y（C） z=fx(x0，y 0)dx+fy(x0，y 0)dy（D）z=dz+o()9
3、设 则 f(x，y)在点(0，0)处( )（A）不连续（B）连续但两个偏导数不存在（C）两个偏导数存在但不可微（D）可微10 已知 du(x，y)=(axy 3+cos(x+2y)dx+(3x2y2+bcos(x+2y)dy，则( )（A）a=2 ，b=一 2（B） a=3，b=2（C） a=2，b=2（D）a= 一 2，b=211 设函数 u(x，y)=(x+y)+(x 一 y)+x-yx+y(t)dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有( )12 设 f(x，y)为连续函数，则 等于( )二、填空题13 设 f(x，y， z)=ex+y2z，其中 z=z(x，y)是由方程 x+
4、y+z+xyz=0 所确定的隐函数，则 fx(0，1，一 1)=_14 设 f(x，y)= 在点(0，0) 处连续，则 a=_15 设16 设函数 f(u，v)由关系式 fxg(y)，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则17 设 z=z(x，y) 由方程 z+ez=xy2 所确定，则 dz=_18 设函数 f(u)可微，则 f(2)=2，则 z=f(x2+y2)在点(1，1)处的全微分 dz|(1,1)=_19 设 f(u，v)为二元可微函数，z=f(x y，y x)，则20 设 f, 具有二阶连续导数，则21 设 z=xg(x+y)+y(xy)，其中 g、 具有二
5、阶连续导数，则22 设二元函数 z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则 dz|(1,0)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 设 u=f(x， y，z)，(x 2，e y，z)=0，y=sinx，其中 f， 都具有一阶连续偏导数，且24 设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(exsiny)满足方程 求f(u)25 设 y=y(x)， z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y， z)=0 所确定的函数，其中 f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求26 设 其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求27 求 ，其中 D 是由
6、圆 x2+y2=4 和(x+1) 2+y2=1 所围成的平面区域(如图 41 所示) 28 设 f(u)具有二阶连续导数，且 g(x，y)=29 计算二重积分 其中 D 是由直线 y=x，y=1，x=0 所围成的平面区域30 设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且=0 (2)若 f(1)=0,f(1)=1，求函数 f(u)的表达式31 设 z=z(x，y)是由方程 x2+y2 一 z=(x+y+z)所确定的函数，其中 具有二阶导数且 一 1 时 (1)求 dz； (2)记 u(x，y)=32 求二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值考研数学三（多元函数微积分学）模
7、拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 在区域 D=(x，y)|x 2+y21上，有 0x2+y21，从而有由于 cosx 在 上为单调减函数，于是故应选 A【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 故选C【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由偏导数定义，有由对称性知 fy(0，0)=0 ，而上式极限不存在 事实上， 故 f(x，y)在(0，0)点不可微故应选 B【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 以上两式分别对 y，x 求偏导得【知识模
8、块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 由 且 可知,f(x，y)的两个一阶偏导数 fx(x，y)和 fy(x，y)在(0，0)点可微，故选 D【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 因为曲线 r=2 在直角坐标系中的方程为 x2+y2=4，而 r=2cos 在直角坐标中的方程为 x2+y2=2x 或者(x 一 1)2+y2=1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可知 故选 B【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 D【试题解析】 由轮换对称性，有故应选 D【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 D【试题解析】 由于 x=f(x，
9、y)在点(x 0，y 0)处可微，则 z=fx(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y+o()=dz+o()， 故选 D【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 D【试题解析】 f(x，y)一 f(0，0)+2xy=o()(当(x，y)(0，0)时) ，即 f(x，y)一 f(0，0)=一 2x+y+o()，由微分的定义可知 f(x， y)在点(0，0)处可微，故选 D【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 C【试题解析】 由 du(x，y)=(axy 3+cos(x+2y)dx+(3x2y2+bcos(x+2y)dy 知以上两式分别对 y，x 求偏导得即 3axy2 一2s
10、in(x+2y)=6xy2 一 bsin(x+2y)，则 a=2，b=2 ，故选 C【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 B【试题解析】 先分别求出 再比较结果【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查将极坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分 由题设可知积分区域 D 如图 42 所示，则原式= 故选 C【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题13 【正确答案】 1【试题解析】 已知 f(x，y，z)=e x+y2z，那么有 fx(x，y，z)=e x+y2zx 等式x+y+z+xyz
11、=0 两端对 x 求偏导可得 1+zx+yz+xyzx=0 取 x=0，y=1，z=一 1，可得zx=0 故 fx(0，1，一 1)=e0=1【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 0【试题解析】 因为 利用夹逼原理知， 又知 f(0，0)=a，则 a=0【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知： 则【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 【试题解析】 令 u=xg(y)，v=y，则 f(u，v)=【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 4(dx+dy)【试题解析】
12、由题干可知，dz=f(x 2+y2)(2xdx+2ydy)， 则 dz| (1,1)=f(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 f 1.yxy-1+f2.yxlny【试题解析】 利用复合函数求偏导公式，有【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 yf”(xy)+(x+y)+y”(x+y)【试题解析】 由题干可得：【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 g(x+y)+xg”(x+y)+2y(xy)+xy 2”(xy)【试题解析】 由题干可知，【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 2edx+(e+2)dy【试题解析】
13、 于是 dz|(1,0)=2edx+(e+2)dy【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 等式 u=f(x，y，z)的两端同时对 x 求导数，得到如下等式而 =cosx，再在等式 (x2，e y，z)=0 的两端同时对 x 求导数，得到 解得【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 代入方程得到 f”(u)一 f(u)=0，解得 f(u)=C1eu+C2e-u(其中 C1，C 2 为任意常数)【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 分别在 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 的两端对 x 求导，得【知识模块】
14、 多元函数微积分学26 【正确答案】 根据复合函数的求导公式，有【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 令 D1=(x，y)|x 2+y24，D 2=(x，y)|(x+1) 2+y21，【知识模块】 多元函数微积分学28 【正确答案】 由已知条件可得【知识模块】 多元函数微积分学29 【正确答案】 为根号下的函数为关于 x 的一次函数，“先 x 后 y”积分较容易，所以【知识模块】 多元函数微积分学30 【正确答案】 由 f(1)=1 可得 C1=1所以有 f(u)= ，两边积分得 f(u)=lnu+C 2， 由 f(1)=0 可得C2=0，故 f(u)=lnu【知识模块】 多元函数微积分学31 【正确答案】 (1)对已知方程两边同时求导 2xdx+2ydydz=(x+y+z).(dx+dy+dz)，于是有 (+1)dz=(一 +2x)dx+(一 +2y)dy， 即【知识模块】 多元函数微积分学32 【正确答案】 令 f x(x，y)=2x(2+y 2)=0， f y(x，y)=2x 2y+lny+1=0，因为fxx“0 ，且(f xy“)2 一 fxx“fyy“0所以二元函数 f(x，y)存在极小值【知识模块】 多元函数微积分学
