1、考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设数列x n和y n满足 =0，则当 n时，y n必为无穷小量的充分条件是( )（A）x n是无穷小量（B） 是无穷小量（C） xn有界（D）x n单调递减2 以下 3 个命题： 若数列 un收敛于 A，则其任意子数列u ni必定收敛于A； 若单调数列 xn的某一子数列x ni收敛于 A，则该数列必定收敛于A； 若数列 x2n与x 2n+1都收敛于 A，则数列x n必定收敛于 A 正确的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 f(x)是偶函数，(x)是奇
2、函数，则下列函数( 假设都有意义 )中，是奇函数的是( )（A）f(x)（B） ff(x)（C） f(x)（D）(x)4 设 f(x)=sin(cosx)，(x)=cos(sinx)，则在区间(0， )内 ( )（A）f(x)是增函数，(x) 是减函数（B） f(x)，(x)都是减函数（C） f(x)是减函数， (x)是增函数（D）f(x)，(x)都是增函数5 设在区间(，+)内 f(x)0，且当 k 为大于 0 的常数时有 f(x+k)= ，则在区间( ，+)内函数 f(x)是 ( )（A）奇函数（B）偶函数（C）周期函数（D）单调函数6 设 f(x)= ，则 ( )7 设 f(x)=u(x
3、)+v(x)，g(x)=u(x) v(x)，并设 与 都不存在，下列论断正确的是 ( )（A）若 不存在，则 必存在（B）若 不存在，则 必不存在（C）若 存在，则 必不存在（D）若 存在，则 必存在8 两个无穷小量比较的结果是 ( )（A）同阶（B）高阶（C）低阶（D）不确定二、填空题9 设 f(x)是奇函数，且对一切 x 有 f(x+2)=f(x)+f(2)，又 f(1)=a，a 为常数，n 为整数，则 f(n)=_10 对充分大的一切 x，给出以下 5 个函数：100 x，log 10x100，e 10x， ，则其中最大的是_11 =_12 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
4、算步骤。13 14 15 (1)求函数 f(x)= 的表达式，x0 ；(2) 讨论函数 f(x)的连续性16 求17 求下列极限18 设 f(x)=x2+ax+b，证明：f(1) ，f(3)， f(5)中至少有一个不小于 219 求极限20 求极限21 求极限22 求极限23 求极限24 求极限25 求极限26 求极限27 求极限28 求极限 ，a i0，且 ai1，i=1 ，2，n，n229 求极限考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 若 是无穷小量，则 =0，故(B)正确若取
5、0，且x n在 n时是无穷小量、有界量、单调递减，但y n不是无穷小量，排除(A)，(C) ，(D)【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 对于命题，由数列收敛的定义可知，若数列 un收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 nN 时，恒有u nA，则当 niN时，恒有 因此数列 也收敛于 A，可知命题正确对于命题，不妨设数列 xn为单调增加的，即 x1x2x n，其中某一给定子数列 收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 niN 时，恒有由于数列x n为单调增加的数列，对于任意的 nN，必定存在 ninni+1，有 从而 x n A 可知数列x
6、 n收敛于 A 因此命题正确对于命题 ，因，由极限的定义可知，对于任意给定的 0，必定存在自然数 N1，N 2：当 2nN 1 时，恒有x 2nA；当 2n+1N 2 时，恒有x 2n+1A 取 N=maxN 1，N 2，则当 nN 时，总有x nA 因此 =A 可知命题正确故答案选择(D)【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 D【试题解析】 令 g(x)=(x)，注意 (x)是奇函数，有g(x)=( x)=(x)=(x)=g(x)因此 (x)为奇函数，同理可得 f(x)，ff(x)， f(x)均为偶函数答案选(D)【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 B【试题解析】 注意
7、在 内，sinx 是增函数，cosx 是减函数任取 x1，x 2，且 x1x 2，有 cosx1cosx 2，所以 sin(cosx1)sin(cosx 2)，即 f(x)是减函数；由于 sinx1sinx 2，所以 cos(sinx1)cos(sinx 2)，即 (x)是减函数【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x+2k)= =f(x)，故 f(x)是周期函数【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 C【试题解析】 令 ，当 x0 时可排除(A)；令 u(x)=v(x)= ，当x0 时
8、可排除(B)；令 ，当 x0 时可排除(D)【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 D【试题解析】 如 (x)= ，(x)=x ，当 x0 时，都是无穷小但不存在，故 (x)和 (x)无法比较阶的高低【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题9 【正确答案】 na【试题解析】 令 x=1，则 f(1)=f(1)+f(2)，因 f(x)是奇函数，得到f(2)=f(1)f(1)=2f(1)=2a再令 x=1，则 f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用数学归纳法证明 f(n)=na当 n=1，2，3 时，已知或者已证假设 nk 时，有 f(k)=ka当 n=k+1 时，f(k+1
9、)=f(k1)+f(2)=(k1)a+2a=(k+1)a ，故对一切正整数 n，有 f(n)=na令 x=0，则 f(2)=f(0)+f(2)，即 f(0)=0=0a，又 f(x)是奇函数，故对一切负整数 n 有f(n)=f(n)=(na)=na 所以对一切整数 n，均有 f(n)=na【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 【试题解析】 当 x 充分大时，有重要关系：【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【
10、正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 本题同样考查分段函数的复合方法下面用解析法求解首先，广义化为 fg(x)= 由 g(x)的表达式知， 当 g(x)0 时，即2e x10 x0或x 210x0，而 2e x10 x0=xln2 x0 = x ln2， x 210 x0=1x1)x0= 0x1 当 g(x)0 时，即2e x10x0或x 210x0) ，而 2e x10x0=xln2x0=ln2 x0， x 210x0= x1 或 x1 x0=x 1【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 (1)所以 f(x)在0，+) 上连续【知识模块】 函数、极限、连续1
11、6 【正确答案】 因为【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 (1)当 x0 时，tanx x，(2)当 x0 时，sinx x，e xe x =ex (e2x1) 2x，故原极限=2(3)当 x0 时，ln(1+x 4)x 4，(4)这是“1 ”型极限，可用公式 来计算，事实上 lnu=ln1+(u1)u1(u1) 故原式= (5)这是“”型未定式极限，首先通分变成 型未定式，然后使用洛必达法则求极限 或利用等价无穷小ex1x(当 x0)代换，则(6)是“1 ”型极限，可以使用洛必达法则求极限，也可以凑成第二个重要极限，还可以利用等价无穷小代换【知识模块】 函数、极限、连续18 【
12、正确答案】 用反证法设f(1)，f(3) ，f(5) 都小于 2.即f(1)=a+b+1 2，f(3) =3a+b+9 2，f(5) =5a+b+25 2，则f(1)2f(3)+f(5) f(1)+2f(3) +f(5) 2+22+2=8而事实上，f(1)2f(3)+f(5)=a+b+1-6a-2b-18+5a+b+25=8，与上面结论矛盾，故f(1)，f(3)，f(5)中至少有一个不小于 2【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【知
13、识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 为了在使用洛必达法则时使求导变得简单，先做变量代换，令 t=，从而原式=【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 此题为 型未定式，若用洛必达法则，则连续使用完两次法则，又回到了原点，法则失败，正确的做法是先对式子恒等变形，分子分母同乘 ex ，【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 原极限=【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 设函数 y=sint，在 内可导，满足拉格朗日中值定理的条件故【知识模块】 函数、极限、连续
