1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 = ( )2 = ( )3 设 f(x)在a ，b上非负，在(a，b) 内 f(x)0，f(x)0I 1= f(b)+f(a)，I2=abf(x)dx，I 3(ba)f(b) ，则 I1、I 2、I 3 的大小关系为 ( )（A）I 1I2I3（B） I2I3I1（C） I1I3I2（D）I 3I2I14 设 f(x)=0sinxsin2tdt，g(x)= 02xln(1+t)dt则当 x0 时，f(x)与 g(x)相比是( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）
2、高阶无穷小（D）低阶无穷小5 设 N=aa x2sin3xdx，P= aa (x3 1)dx ，Q= aa cos2x3dx，a0 ，则 ( )（A）NPQ（B） NQP（C） QPN（D）PNQ二、填空题6 已知函数 F(x)的导数为 f(x)= ，且 F( )=0，则 F(x)=_7 8 9 10 若 f(x2)= (x0)，则 f(x)=_11 x2sin2xdx=_12 13 14 函数 F(x)=1x(1ln )dt(x0)的递减区间为_15 已知 01f(x)dx=1，f(1)=0，则 01xf(x)dx=_16 设 =1，a 为常数，则 f(t)dt=_三、解答题解答应写出文字说
3、明、证明过程或演算步骤。17 求18 求不定积19 求下列积分20 计算下列积分：(1) 1 2xmax1，e x dx，其中， x表示不超过 x 的最大整数(2) 03（x1+x2）dx(3)设 求 13f(x2)dx(4)已知 求 2n2n+2f(x 2n)ex dx，n=2 ，3，21 求22 设 f(sin2x)=23 计算定积分24 计算定积分25 设函数 x=x(y)由方程 x(yx) 2=y 所确定，试求不定积分26 计算27 计算 0xf(t)g(xt)dt(x0)，其中，当 x0 时，f(x)=x，而28 已知 f(x)连续， 0xtf(xt)dt=1 cosx，求 f(x)
4、dx 的值29 计算30 设 In= (n1)证明：(1)I n+In2 = ，并由此计算 In；(2)31 计算 ，其中 f(x)=32 对于实数 x0，定义对数函数 lnx= 依此定义试证：(1)ln =lnx(x0)；(2)ln(xy)=lnx+1ny(x0,y 0)考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 如图 13-1 所示，I 1 是梯形 AabB 的面
5、积，I 2 是曲边梯形 AabB的面积，I 3 是长方形 A1abB 的面积由于 f(x)0，f(x)0，y=f(x)单调减少且图形为凹由图 13-1 可知 I3I2I1【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 需要计算 f(x)与 g(x)比值的极限(x0 时，ln(1+2x)2x)故当 x0 时，f(x)与 g(x)是同阶但非等价无穷小【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 x 22sin3x 是奇函数，故 N=0，x 3 是奇函数，故 P=a a(1)dx=2a0，Q=2 0acos2x3dx0，所以 PNQ【知识模块】 一元函数积分学二、填空题
6、6 【正确答案】 【试题解析】 由题意 F(x)=f(x)= ，故【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 +C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 +C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 +C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 2 +C，其中 C 为任意常数【试题解析】 令 x= ，t=x 2，则 f(t)=f(t)dt= +C，因此 f(x)=2 +C【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 +C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】
7、 一元函数积分学12 【正确答案】 +C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 此极限属“ ”型，用洛必达法则原极限=【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 e 2，+)【试题解析】 需要考虑 F(x)的导函数 F(x)=1ln 令 F(x)0，即得 xe2【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 -1【试题解析】 此积分的计算要用分部积分法， 01xf(x)dx=01xdf(x)=xf(x) 01 01f(x)dx=1【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 a【试题解析】 f(x)是抽象函数，不能具体地计算积分，
8、要用积分中值定理，然后再计算极限 xx+a=f(x).a(x 介于 x 和 x+a 之间），所以【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 设 x=tanu，则 dx=sec2udu，原式=arctan(sinu)+C=arctan+C【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 令 t= ，有 x= ，dx=tdt，于是dx=tetdt=tete tdt=(t-1)et+C= +C【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 (1)本题考查的知识点是不定积分的分部积分法，关键是选好 u 和dv =cotx.ln(sinx)+(csc2
9、x1)dx=cotx.ln(sinx)cotxx+C(2)本题考查典型的有理函数的不定积分，首先凑微分，然后将分母配方(3)因 x=(1x) 1，从而可用凑微分法 (4)本题考查定积分的性质和定积分的计算，由于是对称区间上的定积分，一般利用奇函数，偶函数在对称区间上积分性质简化计算，本题还用到了华里士公式(5)此题计算量大些，考虑用分部积分法然后分部积分，留 arccosx，移 到 d 后面，即(6)由于(x lnx)1lnx，分子分母同时除以 x得 I= ，注意到(7)一般会想到如下解法：用牛顿莱布尼茨公式，令 t=tanx，则 x=arctant，dx= ，则这当然是错的，错在哪里呢?因为
10、当 t1，0时，x=arctant 之值不落在原积分区间 上事实上，补救的办法是将积分区间拆开，【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 (1)因分段函数则由定积分的分段可加性得 1 2xmax1，e x dx= 1 0(1)e x dx+010dx+121dx=2e (2)因分段函数x1+x2= 则由定积分的分段可加性得 03(x1 +x2)dx= 01(32x)dx+ 12dx+23(2x3)dx=5 (4)令 t=x2n,则由定积分的分段可加性与分部积分得， 2n2n+2f(x 2n)ex dx=02f(t)et2n dt=e2n 01tet dt+e2n 12(2t)e t dt
11、=(1e 1 )2e2n 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 令 u=sin2x，则有 sinx= ，x=arcsin ，f(x)= 于是【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 令 1x=sint，则【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 令 yx=t，则(yt)t 2=y，故得t33t=A(t 3+t2t1)+B(t 2+2t+1)+C(t3t 2t+1)+D(t 22t+1)=(A+C)t 3+(A+BC+D)t2+(A+2B C2D)tA+B+C+D比较 t 的同次
12、幂的系数得解出 A=C=D= ，所以【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 令 t= ，则 x=t2，dx=2tdt，故【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 令 x=ut，则 g(x)=g(ut)= 于是当 tx +t 时，有 x tx 所以0x 时，有 0xf(t)g(x t)dt=0xtsin(xt)dt= 0xtdcos(xt)=tcos(xt) 0x 0xcos(xt)dt=x+sin(x t) 0x=xsinx当 x 时，有 0xf(t)g(xt)dt= f(t)g(xt)dt=tcos(xt)+sin(xt) =x1当 x 时，有 0xf(t)g(xt)dt= f
13、(t)g(xt)dt=tcos(xt)+sin(xt) =x1【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 令 xt=u，有 0xtf(xt)dt= 0x(xu)f(u)du于是 x 0xf(u)du 0xuf(u)du=1cosx两边对 x 求导，得 0xf(u)du=sinx在上式中，令 x= ，得f(x)dx=1【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 (1)I n+In2 当 n=2k 时，I2K 当 n=2k+1 时，I 2k+1=其中(2)由 x(0， )时，0tanx1，于是【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 由分部积分法可知又因为 f(1)=0，f(x)= ，故I=2 01 dx= 01ex dx=ex 01=e1 1【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 (1)令 = ，则有(2)令 t=x，则有【知识模块】 一元函数积分学
