1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 以下四个命题中，正确的是（A）若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界.（B）若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界（C）若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1)内有界（D）若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1) 内有界2 设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f“(x)0，令 un=f(n)(n=1，2，) ，则下列结论正确的是（A）若 u1u 2，则u n必收敛（B）若 u1u 2，
2、则u n必发散（C）若 u1u 2，则u n必收敛（D）若 u1u 2，则u n必发散3 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax0 仅有零解的充分条件是 ( ) （A）A 的列向量线性相关（B） A 的行向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的列向量线性无关4 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 为 A 的转置矩阵，则对于线性方程组(I)AX 0 和()ATAx0 必有( ) （A）() 的解是 (I)的解，(I)的解也是()的解（B） (I)的解是 ()的解，但 ()的解不是(I)的解（C） (I)的解不是 ()的解， ()的解也不是(I)的解（D）() 的解是 (I)的解，
3、但(I)的解不是()的解5 若函数 yf(x)有 f(x0)12，则当x0 时，该函数在 xx 0 点外的微分 dy 是( ) （A）与x 等价的无穷小（B）比 x 低阶的无穷小（C）比 x 高阶的无穷小（D）与x 同阶的无穷小6 A 是 n 阶矩阵，且 A30，则( ) （A）A 2AE 与 A2AE 均可逆（B） A 可逆，EA 也可逆（C） A 不可逆，且 A2 必为 0（D）A 不可逆，EA 也不可逆7 设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵(1/3 A 2 )-1 有一个特征值等于（A）4/3（B） 3/4（C） 1/2（D）1/48 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是
4、n 阶可逆矩阵已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 A 的特征向量，则矩阵(P -1 AP)T 属于特征值 A 的特征向量是（A）P -1（B） PT （C） P（D）(P -1 )T二、填空题9 y=2x 的麦克劳林公式中 xn 项的系数是_.10 设生产函数为 Q=ALK，其巾 Q 是产出量，L 是劳动投入量，K 是资本投入量，而 A、 均为大于零的参数，则 Q=1 时 K 关于 L 的弹性为_.11 设某商品的需求函数为 Q=160-2p，其中 Q，P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是_.12 设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，其对价格 P
5、的弹性 P=2，则当需求量为 10000件时，价格增加 1 元会使产品收益增加_元13 设某商品的收益函数为 R(P)，收益弹性为 1+P3，其中 P 为价格，且 R(1)=1，则R(P)=_.14 设函数 f(u)可导，yf(x 2)当自变量 x 在 x1 处取得增量x01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f(1)( )15 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12，x 22，x 32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换 x=Py可化成标准形 f=6y12，则 a=_16 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的秩为 1，A 的各行元素之和为
6、 3，则 f 在正交变换 x=Qy 下的标准形为_ 17 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2。的秩为_.18 求一个正交变换，化二次型 f=x 12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x2-8x2x3 为标准形19 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+3x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，则 f 的正惯性指数为_.20 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式 2A =-48，则 =_.21 设 A，B 为 3 阶矩阵，且 A =3， B =2， A -1+B=2，则 A+B -1 =_.22 设 A 为
7、 3 阶矩阵，A=3，A *为 A 的伴随矩阵若交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，则BA *=_23 若 a1，a 2，a 3， 1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式a 1，a 2，a 3， 1=m，a 1，a 2， 2，a 3=n ，则 4 阶行列式a 1，a 2，a 3， 1+2=24 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A =2， B=-3，则2A *B-1=_25 若 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式B -1-E =_.26 设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是_.27 设 A 为 2
8、 阶矩阵， 1， 2 为线性无关的 2 维列向量，A 1=0，A 2=21+2， 则A 的非零特征值为_.28 设向量 =(1， 2， n)T ，=(b 1，b 2，b n)T 都是非零向量，且满足条件T =0，记 n 阶矩阵 A=T 求：A 2 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。29 设(x 0，y 0)是抛物线 yax 2bxc 上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是_30 已知向量组(I)： 1， 2， 3；()： 1， 2， 3， 4；( )：1， 2， 3， 4， 5如果各向量组的秩分别为 r(I)=r(II)=3，r()=4证明向量组1， 2， 3，
9、5-4 的秩为 4考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学二、填空题9 【正确答案】 ln n2/n!【知识模块】 一元函数微分学10 【正确
10、答案】 -/【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 40【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 4000【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 Pe 1/3(P3-1)【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 0.5【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 2【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 3y 12【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 2【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 f=9y 32【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 2【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 -1【知识模块】 一元函数微分学21
11、 【正确答案】 3【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 -27【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 n-m【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 -2 2n-1/3【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 24【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 n-n-1【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 1【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 由 A=T 和 T=0，有 A2=(T)(T)=a(T)T=OT=0【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。29 【正确答案】 y2axb，y(xo) 2ax 0
12、b，过(x 0，y 0)点的切线方程为 yy 0(2ax 0b)(x x 0)，即 y(ax 02bx 0c) (2ax 0b)(xx 0)， 此切线过原点，把 xy0 代入上式，得ax 02bx 0c -2ax 02bx 0， 即 ax02c ，所以系数应满足的关系式为 ca0 或 ax02c，b 任意【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 因为 r(I)=r(II)=3，所以 1， 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4线性相关，因此 4 可由 1， 2， 3 线性表出，设为 4=l1+l2+l3 若k11+k22+k33+k4(5-4)=0， 即(k 1-l1k4)1+(k2-l2k4)2+(k3-l3k44)3+k45=0， 由于r()=4，即 1， 2， 3， 5 线性无关故必有 解出 k4=0，k 3=0，k 2=0，k 1=0 于是 1， 2， 3， 5-4 的秩为 4【知识模块】 一元函数微分学
