1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在a，b有定义，在开区间(a，b) 内可导，则2 设 f(x)处处可导，则3 设函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 讨论曲线 y=4lnx+k 与 y=4x+ln4x 的交点个数5 求方程 karctanx-x=0 不同实根的个数，其中 k 为参数6 设函数 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1试证必存在 (0，3)，使 f()=07 已
2、知 f(x)存(-，+) 内可导， f(x-1)，求 c的值8 设函数 f(x)存闭区间0， 1上连续，在开区间(0，1) 内可导，且 f(0)=0，f(1)=1/3 证明：存在 (0，1/2)，(1/2，1)，使得 f()+f()=2+29 设函数 f(x)在闭区间-1，1上具有三阶连续导数，且 f(-1)=0，f(1)-1，f(0)=0，证明：在开区间(-1，1)内至少存在一点 ，使 f“()=39 设 f(x)在区间-a，a(a0)上有二阶连续导数，f(0)=010 写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；11 证明在-a，a上至少存在一点 ，使 a3f“()=11 设某商品的
3、需求函数为 Q=1005P，价格 P(0，20)，Q 为需求量12 求需求量对价格的弹性 Ed(Ed0)；13 推导 dR/dP=Q(1-Ed)(其中 R 为收益) ，并朋弹性 Ed 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加14 设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，收益函数为 R=pQ，其中 p 为产品价格，Q 为需求量(产品的产量) ，Q(p)为单调减函数，如果当价格为 p0，对应产量为 Q0 时，边际收益 =a0，收益对价格的边际效应 =cp=61，求 p0 和 Q015 设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定 t=0)就售出，总收人为 R0 元)如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售
4、，t 年末总收入为 假定银行的年利率为r，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大并求 r=006时的 t 值16 某商品进价为 a(元件 )，根据以往经验，当销售价为 b(元件)时，销售量为c 件，市场凋查表明，销售价每降 10，销售量增加 40，现决定一次性降价试问，当销售定价为多少时，可获得最大利润?并求出最大利润16 设某商品需求量 Q 是价格 p 的单调减少函数： Q=p(p)，其需求弹性 =2p2/(192-p2)0.17 设 R 为总收益函数，证明 dRD/DP=Q(1-)18 求 p=6 时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义19 曲线 的切线与 x 轴和 y
5、 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 a。试求切线方程和这个图形的面积当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?20 已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)其中 a(x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求曲线 y=f(x)在点(6,f(6)处的切线方程考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学3
6、【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 设函数 f(x)在0 ，3上连续，在(0，3) 内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1 试证必存在 (0，3)，使 f()=0因为 f(x)在0，3上连续，所以 f(x)在0， 2上连续，且在 0，2 上必有最大值 M 和最小值 m，于是 mf(0)M， mf(1)M， mf(2)M故 这表明 1/2f(0)+f(1)+f(2)是甬数 f(x)当 x0,2时的值域m，M上的
7、一个点由闭区间上连续函数的最大、最小值定理与介值定理知，至少存在一点 c 0，2，使因为 f(c)=1=f(3)，且 f(x)在在c, 3 上连续，在(c，3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在 (c，3) (0， 3)，使 f()=0【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 f()+f()= 2+2 f()-2=2-f()，由于 f()-2 是函数 F(x)=f(x)-x3/3的导函数 F(x)-f(x)-x2 在 处的值，而 2-f()是函数 G(x)=x3/3-f(x)的导函数 G(x)=x2-f(x)在 x= 处的值，可见需要在间0，1/
8、2,把拉格朗日中值定理用于函数 F(x)，在区间1/2，1 上把拉格朗日中值定理用于函数 G(x)即【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学
