1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 35 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则在 x=1 处 f(x)( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但不是连续可导（D）连续可导2 若 f(-x)=-f(x)，且在(0，+) 内 f(x)0，f“(x) 0，则在(一 ，0) 内( )（A）f(x)0，f“(x)0（B） f(x) 0，f“(x)0（C） f(x) 0，f“(x)0（D）f(x)0，f“(x)03 设 f(x)=|x3 一 1|g(x)，其中 g(x)连续，则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( )（A）充分条件（B）
2、必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件4 设 f(x)连续，且 则 F(x)=( ) 5 设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，则( ) 二、填空题6 设 f(x)为奇函数，且 f(1)=2，则7 设 且 f(0)存在，则a=_，b=_，c=_.8 设 f(x)在 x=2 处可导，且 则 f(2)=_，f(2)=_9 设 f(x)二阶连续可导，且 则10 设 f(u)可导，y=f(x 2)在 x0=一 1 处取得增量x=005 时，函数增量 y 的线性部分为 015，则 f(1)=_11 设 则12 设 则 f(n)(x)=_13 设 f(x)=ln(2x2 一 x 一
3、1)，则 f(n)(x)=_14 设 其中 f 连续，则 “(x)=_15 设 f(x)连续，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 求 f(n)(x)17 设 求 f“(x)18 设 f(x)连续，且对任意的 x，y (一 ，+) 有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f(0)=1，求f(x)19 设 讨论函数 f(x)在 x=0 处的可导性20 设 f(x)在 x=a 处二阶可导，证明：21 设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)=1，求22 设 f(x)连续，且 求 g(x)23 举例说明函数可导不一定连续可导23 设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对
4、任意的 x，ya，b，有 |f(x)一 f(y)|M|xy|k24 证明：当 k0 时，f(x)在a ，b上连续；25 证明：当 k1 时，f(x)常数26 设 处处可导，确定常数 a，b，并求 f(x)27 设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，且当 x0，1时 f(x)=x(x2 一 1)，讨论函数 f(x)在 x=0 处的可导性28 设 求 f(x)并讨论其连续性29 设 确定 y 为 x 的函数，求29 设 f(x)二阶可导，f(0)=0，令30 求 g(x)；31 讨论 g(x)在 x=0 处的连续性32 设 求 f(x)33 求常数 a， b 使得考研数学三（一元函数微分学
5、）模拟试卷 35 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 所以 f(x)在x=1 处连续 因为 所以 f(x)在 x=1 处可导 当 x1 时，f(x)=2x+1，因为 所以 f(x)在 x=1 处连续可导，选(D)【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)为偶函数，故在( 一 ，0)内有 f(x)0因为 f“(x)为奇函数，所以在(一 ，0)内 f“(x)0，选(C) 【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 设 g(1)=0，因为 f-(1)
6、=f+(1)=0，所以 f(x)在 x=1 处可导 设 f(x)在 x=1 处可导， 因为 f-(1)=f+(1)=0，所以 g(1)=0，故 g(1)=0 为 f(x)在 x=1 处可导，选(C) 【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 选A【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学二、填空题6 【正确答案】 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)为偶函数， 【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 f(0)=2， f(0 一 0)=c， 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(0+0)=f(0)=f(0 一 0)
7、， 从而 a=2，c=2，即因为 f(x)在 x=0 处可导，即 f+(0)=f-(0)，故 b=一 2【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 因为 所以 再由 f(x)在 x=2 处的连续性得 f(2)=0 由 得 f(2)=8【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 由 得 f(0)=0，f(0)=1， 于是【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 由 dy=2xf(x2)x 得 dy|x=-1=一 2f(1)005=一 01f(1)，因为y的线性部分为 dy，由一 01f(1)=015 得【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学12 【
8、正确答案】 令 解得A=3，B= 一 2，即 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 f(x)=ln(2x+1)(x 一 1)=ln(2x+1)+ln(x 一 1)，【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 令 由 A(2x+1)+B(x 一 2)=4x 一 3 得 解得 A=1，B=2， 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 当 x=y=0 时，f(0)=2f(0)，于是 f(
9、0)=0 对任意的 x(一，+) ， 则 f(x)=x2+x+c，因为 f(0)=0，所以 C=0，故 f(x)=x+x2【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 因为 故f(x)在 x=0 处连续 由 得 f-(0)=1， 再由得 f+(0)=0， 因为 f-(0)f+(0)，所以 f(x)在 x=0处不可导.【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 令 当 x0 时，当 x=0 时， 即因为 不存在，而 f(0)=0，所以 f(x)在x
10、=0 处可导，但 f(x)在 x=0 处不连续【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 对任意的 x0Ea，b，由已知条件得 再由 x0 的任意性得 f(x)在a ，b上连续【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 对任意的 b0a，b，因为 k1， 所以由夹逼定理得 f(x0)=0，因为 x0 是任意一点，所以 f(x)0，故 f(x)常数【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 由 f(x)在 x=0 处连续，得 b=0 由 f(x)在 x=0 处可导，得a=2， 【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 当 x一 1，0 时， 因为 f
11、-(0)f+(0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 当 x0 时， 当 x0 时，f(x)=cosx，由得 f(0)=1，则 容易验证 所以 f(x)连续.【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 等式两边对 x 求导，得 于是【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 因为 所以g(x)在 x=0 处连续 当 x0 时， 当 x=0 时，由【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 因为所以 g(x)在 x=0 处连续【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 当|x|1 时， 当 x1 时，f(x)=1； 又则 f(x)在 x=一 1 处不连续，故也不可导 由 f(1+0)=f(1 一 0)=(1)=0 得 f(x)在 x=1 处连续 因为所以f(x)在 x=1 处也不可导， 故【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 因为 f(x)在 x=0 处可导，所以 f(x)在 x=0 处连续，从而有 f(0+0)=2a=f(0)=f(0 一 0)=3b， 由 f(x)在 x=0 处可导，则 3+2a=10+6b，解得【知识模块】 一元函数微分学
