1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 83 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，e x-(ax2+bx+1)是比 x2 高阶的无穷小，则( )（A）a= ， b=1。（B） a=1，b=1。（C） a= ，b=-1。（D）a=-1，b=1 。2 ln(1+t)dt=( )（A） ln(1+lnx)-2ln(1+2x)。（B） ln(1+lnx)-ln(1+2x)。（C） ln(1+lnx)-ln(1+2x)。（D）ln(1+lnx)-2ln(1+2x) 。3 设 ，则在 x=a 处( )（A）f(x)的导数存在，且 f(a)0。（B） f(x)
2、取得极大值。（C） f(x)取得极小值。（D）f(x)的导数不存在。4 曲线 r=aeb的(a0，b0) 从 =0到 =(0)的一段弧长为( )5 直线 L1： 之间的关系是( )（A）L 1L2。（B） L1 与 L2 相交但不垂直。（C） L1 上 L2 且相交。（D）L 1，L 2 是异面直线。6 设为球面 x2+y2+z2=R2，cos，cos ，cos 为该球面外法线向量的方向余弦，则(x3cos+y3cos+z3cos)ds等于( )（A）4R 3。（B） 21R3。（C） 3R4。（D）7 设 0an (n=1，2，)，则下列级数中一定收敛的是( )8 若 y=xex+x 是微分
3、方程 y-2y+ay=bx+c 的解，则( )（A）a=1 ，b=1，c=1。（B） a=1，b=1，c=-2 。（C） a=-3，b=-3，c=0。（D）a=-3，b=1 ，c=1 。二、填空题9 =_。10 已知 =_。11 =_。12 点 A(4，-3，1)在平面 ：x+2y-z-3=0 上的投影是_。13 设 f(x，y)= 在点(0，0)处连续，则 a=_。14 设 L 为曲线 y= 上从 O(0，0)到 的曲线段，则 cosy2dx-2xysiny2dy=_。15 无穷级数 的收敛区间为_。16 微分方程 y-2y+2y=ex 的通解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
4、算步骤。17 设 f(x)= ，求常数 a 与 b 的值，使 f(x)在(-，+)上处处连续。18 设 g(x)= 其中 f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=f(0)=1。 ()a、b 为何值时，g(x)在 x=0 处连续； ()a 、b 为何值时，g(x)在 x=0 处可导。19 假设函数 f(x)和 g(x)在 a，b上存在二阶导数，并且 g(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证： ()在开区间 (a，b)内 g(x)0；( )在开区间(a，b)内至少存在一点 ，使20 设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得21 设函数 z=f(
5、x，y)在点(1，1)可微，且 f(1，I)=1 ，f x(1，1)=2，f y(1，1)=3，(x)=f(x， f(x，x) ，求22 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4-x-y)在直线 x+y=6， x 轴与 y 轴围成的闭区域 D 上的最大值与最小值。23 求二重积分 ，其中 D 是由曲线 r=2(1+cos)的上半部分与极轴所围成的区域。24 计算 I= (y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz，其中 L 是平面 z+y+z=2 与柱面x+y =1 的交线，从 z 轴正向看去，L 为逆时针方向。25 求幂级数 的收敛域及和函数。考研数学一（高等数学）模拟试
6、卷 83 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因 ex=1+x+ +o(x2)，故 ex-(ax2+bx+1)=(1-b)x+ +o(x2)。显然要使上式是比 x2 高阶的无穷小(x0 时)，只要 故选A。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 故选 A。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 利用赋值法求解。取 f(x)-f(a)=-(x-a)2，显然满足题设条件，而此时f(x)为一开口向下的抛物线，必在其顶点 x=a 处取得极大值，故选 B。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题
7、解析】 利用极坐标表示曲线的弧长公式，故选 A。【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【试题解析】 直线 L1 与 L2 的方向向量分别为由于 ，即 l1l2，所以L1L2。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 由 0an 可知，0 收敛及正项级数的比较判别法知，级数 收敛，从而 绝对收敛。故选 D。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 y=xex+x 是方程 y-2y+ay=bx+c 的解，所以 xex 是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根 r1=r2=1，则 a=1； x 为非齐次方程
8、的解，将 y=x代入方程 y-2y+y=bx+c，得 b=1，c=-2，故选 B。【知识模块】 高等数学二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 应用等价无穷小因子代换。因为【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 ln2【试题解析】 原式整理得【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 (5，-1 ，0)【试题解析】 根据题意，由点 A 向平面作垂线 L，其参数方程为：x=t+4，y=2t-3，z=-t+1，代入到平面的方程得(t+4)+2(2t-3)-(-t+1)-3=0，解得 t=1。故 L 与平面 的交点是 (5，-1，0)，即投影
9、点是 (5，-1，0)。【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 0【试题解析】 因为 利用夹逼原理知。又知 f(0，0)=a，所以当 a=0 时，f(x，y)在点(0，0)处连续。【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 -1【试题解析】 因为 (-2xysiny2)=-2ysiny2，则该曲线积分与路径无关。又 cosy2dx-2xysiny2dy=d(xcosy2)，则【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 幂级数的系数为 an= ，根据收敛半径的判断方法，有【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 y=C 1excosx+C2exsinx+ex【试题解析】 对应的特征方
10、程为 r2-2r+2=0，解得其特征根为 r1,2=1i。 由于 =1不是特征根，可设原方程的特解为 y*=Aex，代入原方程解得 A=1。 因此所求的通解为 y=C 1excosx+C2exsinx+ex。【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 当x1 时,f(x)= 当 x=1 时，f(x)= 当 x=-1 时,f(x)= 当x1 时，f(x)=所以 解得 a=0，b=1。【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 ()若要 g(x)在 x=0 处连续，必须 =g(0)，即 b=-1。故 b=-1，a 为任意实数时，g(x) 在x=0 处连
11、续。()若 g(x)在 x=0 处可导，则 g(x)在 x=0 处连续(b=-1)，且 g-(0)=g+(0)，所以当 a= f(0)-1，b=-1 时，g(x)在 x=0 处可导。【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 () 利用反证法。假设存在 c(a，b)，使得 g(c)=0，则对 g(x)在a， c和 c，b上分别应用罗尔定理，可知存在 1(a，c) 和 2(c，b)，使得 g(1)=g(2)=0 成立。 再对 g(x)在区间 1， 2上应用罗尔定理，可知存在 1(1， 2)，使得 g(3)=0 成立，这与题设条件 g(x)0矛盾，因此在开区间(a，b)内，g(x)0。 ()构造函数
12、 F(x)=f(x)g(x)-g(x)f(x)，由题设条件得函数 F(x)在区间a ，b上是连续的，在区间(a，b)上是可导的，且满足 F(a)=F(b)=0。根据罗尔定理可知，存在点(a， b)，使得 F()=0。即 f()g()-f()g()=0， 因此可得【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 由已知 因为f(x)连续，所以 f(x)在0 ， a上存在最小值 m 和最大值 M，则 m(a-x)(a-x)f(x)M(a-x)，故 ，再由介值定理可知，至少存在一点0， a，使得【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 由已知得 (1)=f(1，f(1，1)=f(1，1)=1，而 =32(1
13、)(1)=3(1)。由复合函数求导法则可得 (x)=f1(x，f(x，x)+f 2(x，f(x，x)(1)=f1(1，1)+f 2(1，1)f 1(1，1)+f 2(1，1)。又因所以 (1)=2+3(2+3)=17，=317=51。【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 先求在 D 内的驻点，即令因此在 D 内只有驻点(2 ，1)相应的函数值为 f(2，1)=4 。 再求 f(x，y)在 D 边界上的最值： (1)在x 轴上 y=0，所以 f(x，0)=0。 (2)在 y 轴上 x=0，所以 f(0，y)=0。 (3)在 x+y=6 上，将 y=6-x 代入 f(x，y)中，得 f(x，y
14、)=2x 2(x-6)=g(x)， 则由 g(x)=6x2-24x=0，得x=0(舍)，x=4，此时 y=2。相应的函数值 f(4，2)=-64。 综上所述，最大值为f(2，1)=4，最小值为 f(4，2)=-64。【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 积分区域 D 如图 1-6-7 所示，D 的极坐标表示是： 0，0r2(1+cos)，【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 记为平面 x+y+z=2 上 L 所围部分。由 L 的定向，按右手法则知取上侧，的单位法向量 由斯托克斯公式得 由 z=2-x-y 可得按第一类曲面积分化为二重积分得：其中 D 为 在 xOy 平面上的投影区域x+y1(如图 1-6-13 所示)。由 D 关于 x，y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 因为 所以当 x21，即-1x1 时，原幂级数绝对收敛。当 x=1 时，级数为 ，显然收敛，故原幂级数的收敛域为-1，1。因为又 f(0)=0，所以 故收敛域为-1，1，和函数 s(x)=xarctanx。【知识模块】 高等数学
