1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 82 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 x0 时 ax2+bx+c-cosx 是比 x2 高阶的无穷小，其中 a，b，c 为常数，则( )（A）a= ， b=0，c=1。（B） a= ，b=0，c=0。（C） a= ，b=0，c=1。（D）a= ， b=0，c=0。2 设函数 f(x)在(-，+)上存在二阶导数，且 f(x)=f(-x)，当 x0 时有 f(x)0，f(x)0，则当 x0 时，有( )（A）f(x)0，f(x) 0。（B） f(x)0，f(x)0。（C） f(x)0，f(x)0。（D）f(x)0，f
2、(x) 0。3 函数 y=f(x)在(- ，+)上连续，其二阶导函数的图形如图 1-2-2 所示，则 y=f(x)的拐点个数是( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。4 由曲线 y=1-(x-1)2 与直线 y=0 围成的图形(如图 1-3-1 所示)绕 y 轴旋转一周而成的立体的体积 1V 是( )5 设有直线 L： 及平面：4x-2y+z-2=0，则直线 L( )（A）平行于。（B）在 上。（C）垂直于 。（D）与刀斜交。6 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）f(x 0，y)在 y=y0 处的导数大于零。（B） f(x0，
3、y)在 y=y0 处的导数等于零。（C） f(x0，y)在 y=y0 处的导数小于零。（D）f(x 0，y)在 y=y0 处的导数不存在。7 设有曲线 从 x 轴正向看去为逆时针方向，则 ydx+zdy+xdz等于( )8 下列命题成立的是( )9 设线性无关的函数 y1，y 2，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C1，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是( )（A）C 1y1+C2y2+y3。（B） C1y1+C2y2-(C1+C2)y3。（C） C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3。（D）C 1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3。二、
4、填空题10 =_。11 已知 =_。12 曲线 xy=1 在点 D(1，1)处的曲率圆方程是_。13 =_。14 经过平面 1：x+y+1=0 与平面 2：x+2y+2z=0 的交线，并且与平面 3：2x-y-z=0 垂直的平面方程是_。15 已知曲线 L 的方程为 y：1-x，x -1，1，起点是 (-1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分 xydx+x2dy=_。16 无穷级数 的收敛区间为_。17 设 y=ex(asinx+bcosx)(a，b 为任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设函数 f(x)在 x=
5、1 的某邻域内连续，且有19 设奇函数 f(x)在-1 ，1上具有二阶导数，且 f(1)=1，证明：()存在 (0，1) ，使得 f()=1；()存在 (-1，1)，使得 f()+f()=1。20 设函数 f(x)在0，上连续，且 。试证明在(0，)内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)=f(2)=0。21 设 其中 f 和 g 具有一阶连续偏导数，且 gz(x，y，z)0，求22 设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面，其底部所占的区域为D=(x，y) x2+y2-xy75，小山的高度函数为 h(x，y)=75-x 2-y2+xy。 ()设M(x0，y 0)为区域 D 上
6、的一点，问 h(x，y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为 g(x0，y 0)，写出 g(x0，y 0)的表达式； ()现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说，要在 D 的边界线 x2+y2-xy=75 上找出使()中 g(x，y)达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。23 设 f(x)=24 已知积分 与路径无关，f(x)可微，且 ()求f(x)；()对()中求得的 f(x)，求函数 u=u(x，y)使得 du=(x+xysinx)dx+ ()对( )中的 du 求积分，其中积分路径为从 A(，1)到 B(2，0) 的任意
7、路径。25 求幂级数 的收敛区间与和函数 f(x)。考研数学一（高等数学）模拟试卷 82 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由题意得 (ax2+bx+c-cosx)=0，则 c=1。又因为所以 b=0，a= 。故选 C。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)=f(-x)可知，f(x) 为偶函数，因偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数，即 f(x)为奇函数，f(x) 为偶函数，因此当 x0 时，有 f(x)0，f(x)0，则当 x0 时，有 f(x)0，f(x)0。故选 C。【知识模块】
8、高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 只需考查 f(x)=0 的点与 f(x)不存在的点。 f(x 1)=f(x4)=0，且在x=x1， x4 两侧 f(x)变号，故凹凸性相反，则(x 1，f(x 1)，(x 4，f(x 4)是 y=f(x)的拐点。x=9 处 f(0)不存在，但 f(x)在 x=0 连续，且在 x=0 两侧 f(x)变号，由此(0，f(0)也是 y=f(x)的拐点。 虽然 f(x3)=0，但在 x=x3 两侧 f(x)0，y=f(x) 是凹的。(x3，f(x 3)不是 y=f(x)的拐点。因此总共有三个拐点。故选 C。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】
9、 根据选项需把曲线表成 x=x(y)，于是要分成两部分所求立体体积为两个旋转体的体积之差，其中【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L 的方向向量为 =-28i+14j-7k=-74，-2，1，平面 的法向量 n=4，-2，1 ，显然 s 与 n 平行，因此直线 L 与平面 垂直，故选C。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 B【试题解析】 因可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，故有 fx(x0，y 0)=0， f(x0，y 0)=0。又由 fx(x0，y 0)= ，可知 B 正确。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 取为平面
10、x+y+z=0 包含球面 x2+y2+z2=a2 内的部分，法线方向按右手法则，由斯托克斯公式得 其中cos，cos，cos 为平面 x+y+z=0 法线向量的方向余弦，且 cos=cos=cos= 则，故选 C。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 C【试题解析】 若 中至少有一个不成立，则级数 中至少有一个发散，故选 C。【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 D【试题解析】 因为 y1，y 2，y 3 是二阶非齐次线性方程 y+p(x)y+g(x)y=f(x)线性无关的解，所以 y1-y3，y 2-y3 都是齐次线性方程 y+p(x)y+g(x)y=0 的解，且 y1-y3 与y2-y
11、3 线性无关，因此该齐次线性方程的通解为 y=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)。比较四个备选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，应选 D。【知识模块】 高等数学二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 (x-2) 2+(y-2)2=2【试题解析】 由题干可知，那么 D 点处的曲率 设 D点曲率中心的坐标为(，) ，那么因此所求方程为(x-2)2+(y-2)2=2。【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 3x+4y+2z+2=
12、0【试题解析】 平面 1 与 2 的交线方程为 其方向向量点 P0(0，-1，1)在交线 L 上。所求平面过点 P0，交线 L 的方向向量 s 与平面 3 的法向量，n=(2，-1，-1)垂直，因此故的方程为 3x+4y+2z+2=0。【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 0【试题解析】 令【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 在原级数中令 =t，原级数可化为 的收敛半径和收敛区间即可。对于级数 ，由于 所以的收敛半径为 1，收敛区间为(-1，1)。由于的收敛区间为【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 y-2y+2y=0【试题解析】 由通解的形式可知，特征方程的两个根
13、是 r1,2=1i，特征方程为 (r-r1)(r-r2)=r2-(r1+r2)r+r1r2=r2-2r+2=0， 故所求微分方程为 y-2y+2y=0 。【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 由已知条件得 fx+1)+1+3sin2x=0，因此有 f(x+1)+3sin2x=f(1)+0=0，故 f(1)=0。 又因为在 x=0 的某空心邻域内 f(x+1)+3sin2x0，现利用等价无穷小替换：当 x0 时， ln1+f(x+1)+3sin 2xf(x+1)+3sin 2x，【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 () 令 F(x)=f
14、(x)-x，则 F(0)=f(0)=0，F(1)=f(1)-1=0， 由罗尔定理知，存在 (0，1)使得 F()=0，即 f()=1。 ()令 G(x)=exf(x)-1，由()知，存在 (0，1)，使 C()=0，又因为 f(x)为奇函数，故 f(x)为偶函数，知 G(-)=0，则存在 (-，) (-1，1)，使得 G()=e(f()-1)+ef()=0， f()+f()=1。【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 令 F(x)= ，0x，则有 F(0)=0，F()=0。又因为所以存在 (0，)，使 F()sin=0，不然，则在(0 ，)内 F(x)sinx 恒为正或恒为负，与 矛盾，但当
15、 (0，) 时 sin0，故 F()=0。 再对 F(x)在区间0，上分别用罗尔定理知，至少存在 1(0，) ， 2(，)，使得 F(1)=F(2)=0，即 f(1)=f(2)=0。【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 本题确定两个因变量，三个自变量。由第一个方程来看，u 是因变量，x，y，t 是自变量，由第二个方程来看，z 是因变量。因此确定 x，y，t 为自变量，u，z 为因变量。于是将方程组对 x 求偏导数得同理，将方程组对 y 求偏导数可得【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 () 函数 h(x，y) 在点 M 处沿该点的梯度方向()求g(x，y)在条件 x2+y2-xy-75
16、=0 下的最大值点与求 g2(x，y)=(y-2x) 2+(x-2y)2=5x2+5y2-8x)，在条件 x2+y2-xy-75=0 下的最大值点等价。这是求解条件最值问题，用拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数 L(x，y，)=5x 2+5y2-8xy+(x2+y2-xy-75)，则有联立(1)，(2)解得y=-x，=-6 或 y=x，=-2。 若 y=-x，则由(3) 式得 3x2=75，即 x=5，y=5。 若y=x，则由 (3)式得 x2=75，即 。 于是得可能的条件极值点 M1(5，-5)，M 2(-5，5)， 。 现比较 f(x，y)=g2(x，y)=5x 2+5y2-8xy 在这些
17、点的函数值，有 f(M1)=f(M2)=450，f(M 3)=f(M4)=150。 因为实际问题存在最大值，而最大值又只可能在 M1，M 2，M 3，M 4 中取到。所以 g2(x，y)在 M1，M 2 取得边界线 D 上的最大值，即 M1，M 2 可作为攀登的起点。【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 () 由题意可得这是一阶线性微分方程，通解为 f(x)=x(sinx-xcosx+C)。由初始条件 ，得 C=-1，于是 f(x)=x(sinx-xcosx-1)。( )由( )中结论可得 du=(x+xysinx)dx+ =(x+xysinx)dx+(sinx-xcosx-1)dy，则 =x+xysinx，两边对 x 积分得 u= -xycosx+ysinx+(y)，于是 =-ccosx+sinx+(y)=sinx-xcosx-1，因此 (y)=-1，两边对 y 积分得 (y)=-y+C，u= -xycosx+ysinx-y+C，其中 C 为任意常数。()由于积分与路径无关，所以【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设 an= ，则当 x21 时，原级数绝对收敛，当 x21 时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为 1，收敛区间为(-1，1)。【知识模块】 高等数学
