1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 284 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 f(x)在 x0 点可导，则f(x) 在 x0 点 ( )（A）必可导（B）连续，但不一定可导（C）一定不可导（D）不连续2 曲面 x2+4y2+z2=4 与平面 x+z=a 的交线在 yOz 平面上的投影方程是 ( )3 曲线 S： 在点(1，一 1，0)处的切线方程为( )4 设为球面 x2+y2+z2=1 的外侧，则下面 4 个结论：其中正确的个数为 ( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个5 若 an(x1) 2 在 x=1 处收敛，则在 x=2
2、处是 ( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不确定6 下列结论正确的是 ( )（A） anxn 在收敛域上必绝对收敛（B） anxn 的收敛半径为 R，则 R 一定是正常数（C）若 anxn 的收敛半径为 R，则其和函数 S(x)在(R，R)内必可微（D） 都是幂级数7 设线性无关的函数 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)均是方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C 1，C 2是任意常数，则该方程的通解是 ( )（A）C 1y1+C2y2+y3（B） C1y1+C2y2(C 1+C2)y3（C） C1y1+C2y2(1C 1C 2)y3（D）C 1y1+C2y2
3、+(1C 1C 2)y3二、填空题8 设 f(x0)=2，则 =_9 =_10 =_11 设 F(u，v)对其变元 u，v 具有二阶连续偏导数，并设=_12 设 y1=ex，y 2=x2 为某二阶齐次线性微分方程的两个特解，则该微分方程为_13 设当 x0 时，f(x)有连续的二阶导数，并且满足 f(x)=1+x+2 0x(xt)f(t)f(t)dt ，则 f(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 判断“分段函数一定不是初等函数” 是否正确，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系15 计算16 设曲线 f(x)=xn 在点(1，1)处的切线与 n 轴的交点为(
4、x 0，0)，计算17 设 试确定常数a，b，c，使 f(x)在 x=0 点处连续且可导18 在区间0 ，a上f(x)M，且 f(x)在(0，a)内取得极大值求证：f(0)+f(a) Ma18 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导19 叙述并证明一元函数微分学中的拉格朗日中值定理；20 若 f(x)不是一次式也不为常函数，试证明至少存在一点 (a，b)使21 计算22 计算23 设 f(x)在a，b上连续且严格单调增加，证明： (a+b) abf(x)dx2 abxf(x)dx24 求经过直线 L： 且与椭球面 S：x 2+2y2+3z2=21 相切的切平面方程25 设函数 z=z
5、(x，y)是由方程 x 26xy+10y 22yz z2+32=0 确定，讨论函数z(x， y)的极大值与极小值26 计算三重积分 围成27 求柱体 x2+y22x 被 x2+y2+z2=4 所截得部分的体积28 设球体 x2+y2+z22az(如图 161)中任一点的密度与该点到坐标原点的距离成正比，求此球体的重心29 求幂级数 的和30 求微分方程 y2ye 2x=0 满足条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解考研数学一（高等数学）模拟试卷 284 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(x)=x 在 x=0 处
6、可导，但f(x)= x在 x=0 处不可导，排除 A函数 f(x)=x2 在 x=0 处可导，f(x) = x 2在 x=0 处也可导，排除C，D 关于选项 B，因为 f(x)在 x0 点可导，故在 x0 点连续当 xx 0 时，f(x) f(x 0)f(x)f(x 0)0，故f(x)也在 x0 处连续选 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意，曲面与平面的交线在 yOz 平面上的投影应在 yOz 平面上，故 x=0，因而选项 B 和 D 不对又曲面与平面的交线在 yOz 平面上的投影柱面方程应不含变量 x，故选项 C 也不对应选 A【知识模块】 向量代数与空
7、间解析几何3 【正确答案】 D【试题解析】 曲面 x2+y2+z2=2 在点(1，1，0)处的法向量为 n1=(2，2，0)，平面 x+y+z=0 的法向量为 n2=(1，1，1) ，于是，曲线 在点(1， 1，0) 处的切向量为 =n1n2=(2，2，4) ，故所求切线方程为【知识模块】 向量代数与空间解析几何4 【正确答案】 C【试题解析】 由对称性得由高斯公式得 (由积分区域的对称性及被积函数的奇偶性)同理可证【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 由 an(x1) n 在 x=1 处收敛，可知收敛半径R11=2而 x=2 处因21=1 R，所以 x=2 在收敛区间
8、内，即原级数在 x=2 处绝对收敛，故应选 B【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 C【试题解析】 由幂级数 anxn 的和函数 S(x)性质可知，命题 C 正确命题 A 错误：如 收敛域为(1，1，但在 x=1 处， 条件收敛命题 B 错误：因为收敛半径可能为 R=0 或 R=+命题 D 错误：由幂级数的定义可知 不是幂级数【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 D【试题解析】 由于 C1y1+C2y2+(1C 1C 2)y3=C1(y1y 3)+C2(y2y 3)+y3，其中y1y 3 和 y2y 3 是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解，又 y3 是原方程的一个特解，所以选项(D)
9、 是原方程的通解【知识模块】 常微分方程二、填空题8 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 0【试题解析】 被积函数 是2，2上的奇函数，故在对称区间2， 2上积分为零【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 由于方程结构已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可 由于 y=ex 与 y：=x 2 线性无关，故该二阶齐次线性微分方程的通解为 y=C1ex+C2x2， y=C 1ex+2C2x，
10、 y=C 1ex+2C2 三式联立消去 C1 与 C2 便得如上所填【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 【试题解析】 两边对 x 求导两次，得 f(x)=2f(x)f(z)初始条件为 f(0)=1，f(0)=1上述方程可改写为 f(x)=(f(x)2，两边积分得 f(x)=f(x)2+C1，由初始条件得出 C1=0于是 f(x)=f(x)2分离变量后积分得 再由初始条件得出 C2=1，即得解如上【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 不正确初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式子表示的函
11、数分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定不能用一个表达式表示，因此，分段函数可能是初等函数，也可能不是初等函数，如 (x)=x，通常写成分段函数的形式但也可以写成一个表达式： 它是由初等函数 和 u=x2 复合而来，所以函数 (x)= x是初等函数而不是初等函数【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 由导数几何意义，曲线 f(x)=xn 在点 (1，1) 处的切线斜率 k=f(1)=nxn1 x x=1=n，所以切线方程为 y=1+n(x1)，令 y=0 解得 因此【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 因为及 c 为任意
12、值时， f(x)在 x=0 处连续又因为令 f (0)=f+(0)，可得 时，f(0)存在故当 a=2， 时，f(x)在 x=0 处连续且可导【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设在点 x=c 处取到，则 f(c)=0f(x)在0，c与c，a上分别使用拉格朗日中值定理， f(c)f(0)=cf( 1)，1(0， c)， f(a)f(c)=(ac)f( 2)， 2(c，a)， 所以 f(0)+ f(a)=cf( 1)+(ac)f( 2) cM+(ac)M=aM【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 拉格朗日中值
13、定理：设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则至少存在一点 (a，b)，使 f(b) f(a)=f()(ba)证明：令则有：(x)在a，b上连续，在(a ，b) 内可导，且 (a)=f(a)，(b)=f(a) ，故 (a)=(b)，所以 (x)在a，b上满足罗尔定理条件，从而知至少存在一点 (a，b)使 ()=0，即 即 f(b)f(a)=f()(ba)证毕【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 作 易知 F(a)=F(b)=0由于 f(x)不是一次式也不为常函数，则 F(x)不为常数所以至少有一点x1(a，b)使 F(x 1)0，或至少有一点 x2(a，b)使 F(x2
14、)0，于是有由拉格朗日中值定理知，至少存在一点 (a，b)，使 F()0，即有如果 f(b)=f(a)0，那么由上式便有如果 f(b)f(a)0，证明是类似的【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 因 k 值不同，故分情况讨论：当 k1 时，即积分收敛；当k=1 时， 即积分发散；当k1 时， 即积分发散【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 令 F(t)=(a+t)atf(x)dx2 atxf(x)dx，则 F(t)= atf(x)dx+(a+t)f(t)2tf(t) =atf(x)dx(ta)f(t)= atf(x)dx at
15、f(t)dx =atf(x)f(t)dx 因为 axt，且 f(x)在a， b上严格单调增加，所以 f(x)f(t)0，于是有 F(t)= atf(x)f(t)dx0， 即 F(t)单调减少，又 F(a)=0，所以 F(b)0，从而(a+b) abf(x)dx2 abxf(x)dx0， 即(a+b)abf(x)dx2 abxf(x)dx【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 设切点为 M(x0，y 0，z 0)，于是 s 在点 M 处的法向量n=(2x0，4y 0，6z 0)，切平面方程为 2x 0(xx 0)+4y0(yy 0)+6z0(zz 0)=0再利用 S的方程化简得 x 0x
16、+2y0y+3z0z=21在 L 上任取两点，例如点代入上式得 6x0+6y0+ z0=21，4x 0+4y0+ z0=21再由S 的方程 z02+2y02+3z02=21，联立解得切点(3，0，2)与(1，2，2)，故得切平面方程为 z+2z=7 和 x+4y+6z=21【知识模块】 向量代数与空间解析几何25 【正确答案】 将 x26xy+10y 22yz z 2+32=0 两边分别对 x、对 y 求偏导数，有为求驻点，令 联立方程得 再与原方程 x 26xy+10y 22yz z 2+32=0，联立解得点(12，4，4) 1 与(12，4，4) 2将(*)与(*)对 x，y 求偏导数，得
17、再将 将点(12，4，4) 1 代入得所以 z=4 为极小值 将点(12，4，4) 2 代入得所以 z=4为极大值【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 这里 A(x)为截面椭圆 的面积，所以【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 其中 D=(x，y)x 2+y22x，y0)，用极坐标计算，在极坐标下 于是【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 由于所给球体的质量分布关于 z 轴对称，所以它的重心位于 z 轴上，而密度是 其中 k 是比例常数，因此可得 x G=yG=0，采用球坐标计算这两个三重积分，将 x=rsincos，y=rsinsin，z=rcos 代入球体的不
18、等式，得 0r2acos，且02， 则故所给球体的重心坐标为 xG=yG=0，【知识模块】 多元函数积分学29 【正确答案】 =x 3，当x1 时，幂级数收敛；当x1 时，幂级数发散；当 x=1 时，级数为发散所以，幂级数的收敛域为(一 1，1 记1x1，则(0)=0，S(0)=1 ，且 1x1因为【知识模块】 无穷级数30 【正确答案】 齐次方程 y2y=0 的特征方程为 r22r=0，由此求得特征根r1=0，r 2=2对应齐次方程的通解为 =C1+C2e2x，设非齐次方程的特解为y*=Axe2x，则 (y*)=(A+2Ax)e2x，(y *)=4A(1+x)e2x，代入原方程，求得于是，原方程通解为将 y(0)=1 和 y(0)=1 代入通解求得从而，所求特解为【知识模块】 常微分方程
