1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 277 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知函数 f(x)=lnx1，则 ( )2 曲线 的渐近线有 ( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条3 设 F(x)=xx+2esintsintdt，则 F(x) ( )（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数4 过点 P(2，0，3)且与直线 垂直的平面的方程是 ( )（A）(x 2)2(y0)+4(z 3)=0（B） 3(x2)+5(y 0) 2(z3)=0（C） 16(x2)+14(y 0)+11(z3)=0（D）16(x+2)+14(y
2、0)+11(z3)=05 已知等边三角形ABC 的边长为 1，且 则a.b+b.c+c.a=( )6 函数 z=x3+y33x 23y 2 的极小值点是 ( )（A）(0 ，0)（B） (2，2)（C） (0，2)（D）(2 ，0)7 设 ( )（A）与 L 的取向无关，与 a，b 的值有关（B）与 L 的取向无关，与 a，b 的值无关（C）与 L 的取向有关，与 a，b 的值有关（D）与 L 的取向有关，与 a，b 的值无关8 设函数 f(t)连续，且 02x+3y+1f(t)dt=4x2+9y2+12xy 2，并设点 0(0，0)，A(1，3)，l为连接 O 与 A 的逐段光滑曲线，则曲线
3、积分 Lxy2f(xy)dx+x2yf(xy)dy 的值 ( )（A）为 9（B）为 4（C）为 3（D）与曲线 l 有关9 微分方程 y6y+8y=e x+e2x 的一个特解应具有形式 (其中 a，b 为常数) ( )（A）ae x+be2x（B） aex+bxe2x（C） axex+be2x（D）axe x+bxe2x二、填空题10 设 y=ln(1+3x )，则 dy=_11 设 f(ex)=1+x，则 f(x)=_12 =_13 已知 F=x3i+y3j+z3k，则在点 (1，0，1)处的 div F 为_14 设 S 为椭球面 已知 S 的面积为 A，则第一型曲面积分(2x+3y)2
4、+(6z1) 2dS=_15 设 f(x)在区间， 上连续且满足 f(x+)=f(x)，则 f(x)的傅里叶系数a2n=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 计算极限17 求极限18 已知 求 f(1)19 设 f(x)，g(x) 在a，b 上二阶可导，且 f(a)=f(b)=g(a)=0，证明：存在 (a，b)，使f()g()+2f()g()+f()g()=020 设 (当 x0)，且 f(x)在 x=0 处连续求 f(0)的值并求曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程21 已知 f(x)连续， 0x t(x t)dt=1cos x，求 的值22 直线 y=x
5、将椭圆 x2+3y2=6y 分为两块，设小块面积为 A，大块面积为 B，求的值23 确定下列直线与平面的位置关系(垂直、平行、在平面上)：(1)：x+y 6=0；(2)：2xy3z+7=0 ； (3)：2xy+z+1=024 设 h(t)为三阶可导函数，u=h(xyz)，h(1)=f xy(0，0)，h(1)=f yx(0，0)，且满足x2y2z2h(xyz)，求 u 的表达式，其中25 计算 x2dS，其中 S 为圆柱面 x2+y2=a2 介于 z=0 和 z=h 之间的部分26 判别下列级数的敛散性(k1，a1) ：27 设 的收敛半径、收敛区间与收敛域28 求微分方程 xy+y=xex
6、满足 y(1)=1 的特解29 求解微分方程考研数学一（高等数学）模拟试卷 277 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 应当把绝对值函数写成分段函数，当 x1 时，故选 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 曲线 y=f(x)有水平渐近线曲线 y=f(x)有铅直渐近线 x=0 曲线y=f(x)无斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 因 esinxsinx 是以 2 为周期的周期函数，所以xx+2esintsintdt=02esintsintdt 02esintcos2
7、tdt，又 esinxcos2x0，故选 A【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 所求平面丌的法向量，l 可取为已知直线的方向向量s=(1，2，4)(3，5，2)=(16，14，11)，故 的方程为16(x2)+14(y0)+11(z3)=0【知识模块】 向量代数与空间解析几何5 【正确答案】 D【试题解析】 而a=1，b =1，类似地可得，所以应选 D【知识模块】 向量代数与空间解析几何6 【正确答案】 B【试题解析】 由 =3x26x=0 和 =3y26y=0 ，可以得到 4 个驻点(0，0)，(2，2)，(0，2)，(2，0) 在(0，2)点和(2，0)点，均有
8、B2AC0，因此这两个点不是极值点；在(0，0)点，B2AC=36 0，且 A=60，所以点(0，0)是极大值点；在 (2，2)点，B2AC=36 0，且 A=6 0，所以点(2，2)是极小值点故选 B【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 因 故在以 L 为边界的区域 D 内，有偏导数不存在的点(0， 0)，可取 C 为包含原点且含于L 内部并与 L 同向的曲线在 L 与 C 所围区域 D1 上应用格林公式，有当 L+C 为 D1 正向闭曲线时，取“+”号，否则取“”号因为在 D1 上，此积分与 C 的方向即 L 的方向有关，但与 a，b 无关【知识模块】 多元函数积分
9、学8 【正确答案】 A【试题解析】 由 02x+3y+1f(t)dt=4x2+9y2+12xy2，两边对 x 求偏导数，有 2f(2x+3y+1)=8x+12y=4(2x+3y)，所以 f(2z+3y+1)=2(2x+3y)，f(t)=2(t 1) lxy2f(xy)dx+x2yf(xy)dy=lxyf(xy)d(xy)=(0，0) (1，3) 2xy(xy1)d(xy)【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 B【试题解析】 由原方程对应齐次方程的特征方程 r26r+8=0 得特征根r1=2，r 2=4又 f1(x)=ex， =1 非特征根，对应特解为 y1*=aex；f 2(x)=e2
10、x，=2 为单重特征根，对应特解为 y2*=bxe2x故原方程特解的形式为 aex+bxe2x，选 B【知识模块】 常微分方程二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 复合函数求导【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 xlnx+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 设 u=ex，则 x=lnu，由 f(ex)=1+x，得 f(u)=1+lnu，f(u)=(1+lnu)du=ulnu+C， 因此 f(x)=xlnx+C【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 6【试题解析】 设向量场 F=Pi+Qj+Rk，则在点
11、M(x0，y 0，z 0)处div F=(3x2+3y2+3z2) (1，0， 1)=6【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 37A【试题解析】 (2x+3y) 2+(6z1) 2=4x2+9y2+36z2+12xy12z+1，由于 S 关于三个坐标平面分别对称，所以 又在 S 上 4x2+9y2+36z2=36，所以【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 0【试题解析】 a n= 0f(x)cos nxdx+0f(x)cos nxdx第一个积分令 x+=t，所以x=t，则 an= 0f(t)cos n(t)dt+ 0f(x)cos nxdx = 0f(x)cosn(x)+f
12、(x)cos nxdx = 1(1) n0f(x)cos nxdx，所以 a2n=0(n=0，1，2，)【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 因为由夹逼准则，得【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 令 F(x)=f(x)g(x)，在 x=a 点展开泰勒公式F(x)=F(a)+F(a)(xa)+F()(xa) 2(az) 令 x=b，代入 式，则 F(b)=F(a)+F(a)(ba)+ F()(b a)2(ab) 因 f(a)=f(b
13、)=g(a)=0，则 F(a)=F(b)=0，且 F(a)=0，代入式，得 F()=0，即 f()g()+2f()g()+f(【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 由 f(0)的定义，所以切线方程为 ye 2=2e 2x【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 令 xt=u，有 0xtf(xt)dt 0x(xu)f(u)du于是 x0xf(u)du 0xuf(u)du=1cosx两边对 x 求导，得 0xf(u)du=sinx在上式中，令【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 直线与椭圆的交点为(0，0)， 则 A=I1I 2，令y1=int，则【知识模块】 一元函数积
14、分学23 【正确答案】 (1)直线 L 的方向向量为 s=(1， 1，2)(1 ，1，0)=(2，2，0)，而平面 的法向量 n=(1，1，0)，故 s=2n，所以 sn，即直线 L 与平面 垂直(2) 直线 L 的方向向量 s=(1，2，3)(2，6，0)=(18，6，10)，平面 的法向量 n=(2，1，3)，所以 s.n=182+6(1)+10(3)=0，故 sn，即直线 L平面 取直线上一点，令 z=0，则代入平面方程中，得到： 因此直线 L 与平面 平行，但不在平面 上(3)直线 L 的方向向量为 s=(1，0，2)，而平面 的法向量 n=(2，1，1)，则 s.n=12+0(1)+
15、21=0，即 sn，所以直线 L 与平面 平行，而直线上一点(1 ，1，2)代入平面方程 2xy+z+1=0 中，有：211+( 2)+1=0，所以直线与平面不仅平行，而且重合，即直线在平面内【知识模块】 向量代数与空间解析几何24 【正确答案】 因为 u x=yzh(xyz)u xy=zh(xyz)+xyz2h“(xyz)， u xyz=h(xyz)+xyzh(xyz)+2xyzh(xyz)+x2y2z2h(xyz)，所以 3xyzh(xyz)+h(xyz)=0，令 xyz=t，得3th“(t)+h(t)=0设 v=h(t)，得 3tv+v=0，分离变量，得又 f(x，0)=0 ，则易知 f
16、x(0，0)=0，当(x，y)(0，0) 时，有 于是 fx(0，y)=y，所以fxy(0，0)=1，由对称性知 fyx(0，0)=1，所以 h(1)=1，h(1)=1，于是【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 由轮换对称性，,【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 (1)因为 所以该级数收敛(2)因为 所以该级数收敛(3)因为所以该级数收敛【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 所以收敛半径所以 单调减少而趋于零(当 n时)由莱布尼茨判别法知，级数收敛【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 由通解公式得由 x=1 时，y=1，得 C2=1，所以特解为【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 欲求解的方程是欧拉方程，令 1+x=et，则由复合函数的求导法则有 把它们代入原方程，则原方程化为常系数齐次线性微分方程 其特征方程为 r36r 2+11r6=0 ，特征根 r1=1，r 2=2，r 3=3，则 y(t)=C1et+C2e2t+C3e3t因1+x=et，故原方程的通解为 y(x)=C 1(1+x)+C2(1+x)2+C3(1+x)3，其中 C1，C 2，C 3 为任意常数【知识模块】 常微分方程
