1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 276 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)可导，且曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线与直线 y=2x 垂直，则当x0 时，该函数在 x=x0 处的微分 dy 是 ( )（A）与x 同阶但非等价无穷小（B）与 x 等价无穷小（C）比 x 高阶的无穷小（D）比x 低阶的无穷小2 设 g(x)在 R 上二阶可导，且 g(0)=g(0)=0，设 则 f(x)在x=0 处 ( )（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但导函数不连续（D）可导且导函数连续3 设 (x)在a，b上连续，且 (x
2、)0，则函数 (x)=abxt(t)dt ( )（A）在(a，b)内的图形为凸（B）在 (a， b)内的图形为凹（C）在 (a， b)内有拐点（D）在(a，b)内有间断点4 设平面方程为 Ax+Cz+D=0，其中 A，C，D 均不为零，则平面 ( )（A）平行于 x 轴（B）平行于 y 轴（C）经过 x 轴（D）经过 y 轴5 函数 z=f(x，y)= 在(0 ，0)点( )（A）连续，但偏导数不存在（B）偏导数存在，但不可微（C）可微（D）偏导数存在且连续6 设 D 由直线 x=0，y=0,x+y=1 围成，已知 01f(x)dx=01xf(x)dx，则 f(x)dxdy= ( )（A）2（
3、B） 0（C）（D）17 设 D 是由曲线 y=Sx3 与直线 x=1，y=1 所围成的有界闭区域，则 x2+sin(xy)d= ( )8 微分方程 满足 y(1)=0 的特解是 ( )二、填空题9 若当 x0 时，有 则 a=_10 若 则 f(t)=_11 设 f(x)在 x=0 处存在二阶导数，且 则 f(0)=_12 若 f(x)dx=F(x)+c 且 x=at+b(a0)，则f(t)dt=_13 设 n 是正整数，则 =_14 空间曲线 x=3t，y=3t 2， z=2t3 从 O(0，0，0) 到 A(3，3，2)的弧长为_15 设 L 为双纽线(x 2+y2)2=a2(x2y2)
4、的全弧段，常数 a0，则 Lyds=_ 16 设 则其以 2 为周期的傅里叶级数在 x= 处收敛于_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 求极限18 计算19 设 f(x)在闭区间1，2上可导，证明： (1， 2)，使 f(2)2f(1)=f()f()20 计算 0xf(t)g(xt)dt(x0)，其中当 x0 时，f(x)=x，而21 设 a，b 均为常数， a 2，a0，求 a，b 为何值时，使=01ln(1x 2)22 求下列曲面的方程：(1)以曲线 为母线，绕 z 轴旋转一周而生成的曲面；(2)以曲线 为母线，绕 x 轴旋转一周而生成的曲面和绕 z 轴旋转一周生成的曲
5、面；(3)以 为准线，母线平行于 z轴的柱面方程；(4)以 为准线，顶点在原点的锥面方程23 设咒是曲面 2x2+3y2+z2=6 在点 JF)(1，1，1)处的指向外侧的法向量，求函数 u=在此处沿方向 n 的方向导数24 设 f(x，y)存点 0(0，0)的某邻域 U 内连续，且试讨论 f(0，0)是否为 f(x，y)的极值?若是极值，判断是极大值还是极小值?25 证明曲线积分的估计式为 LPdx+QdylM，式中 l 为积分曲线段长度，利用上式估计：并证明26 求 (a 为常数， 0a e)27 设 un=01x(1x)sin 2nxdx，讨论级数 的敛散性28 设方程 y+P(x)y=
6、x2，其中 试求在(，+)内的连续函数 y=y(x)，使之在 (，1)和(1 ，+)内都满足方程，且满足初值条件 y(0)=229 (1)用 x=et 化简微分方程(2)求解考研数学一（高等数学）模拟试卷 276 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知 f(x0)=1，而 dy xx0 =f(x0)x=x，因而即在 x=x0 处 dy 与 x 是等价无穷小，故选 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 =g(0)=0=f(0)，所以f(x)在 x=0 处连续则 所以导函数在 x=0 处连续【知
7、识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 先将 (x)利用 xt的分段性分解变形，则对任意 xa，b ，有(x)=ax(xt)(t)dt+ xb(tx)(t)dt=x ax(t)dt axt(t)dt+xbt(t)dtx xb(t)dt 因为 (t)在a，b上连续，所以 (x)可导，因而答案不可能是 (D)要讨论其余三个选项，只需求出 (x)，讨论 (x)在(a ，b)内的符号即可因 (x)=ax(t)dt xb(t)dt，(x)=2(x)0，x a，b，故 y=(x)在(a，b)内的图形为凹应选 B【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 平面 AX+cZ
8、+D=0 的法向量 N=(A，0，C) ，易见 nj而 j 是 xOz平面的法向量，故该平面与 xOz 平面垂直又因为 D0，它不过原点，从而与 y轴平行(但不经过 y 轴) 应选 B【知识模块】 向量代数与空间解析几何5 【正确答案】 B【试题解析】 从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手由于所以 fx(0，0)=0 ，同理fy(0，0) 令 =xf x(0，0) xf y(0，0) y=当( x， y)沿 y=x 趋于(0，0)点时，即 不是 的高阶无穷小，因此 f(x，y)在(0，0)点不可微，故选 B【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 由 01f(x)dx=01
9、xf(x)dx有 01(1x)f(x)dx=0 ，于是=01dx01x f(x)dy=01(1x)f(x)dx=0【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 作曲线 y=x 3，连同 x 轴与 y 轴，将 D 分成 4 块，按逆时方向，这4 块分别记为 D1，D 2，D 3 与 D4由奇偶性， 所以选 B【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 B【试题解析】 将原方程变形为 这是齐次微分方程，令由 y(1)=0 可得 C=0，进而得出 u+应选 B【知识模块】 常微分方程二、填空题9 【正确答案】 -3【试题解析】 当 x0 时，故 a=3【知识模块】 函数、极限、连续
10、10 【正确答案】 (2t+1)e 2t【试题解析】 故 f(t)=e2t+2te2t=(2t+1)e2t【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 2【试题解析】 由佩亚诺余项泰勒公式，f(x)=f(0)+f(0)x+ f(0)x2+o(x2)，代入所给极限式，有 所以f(0)=2【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 F(t)+C ，其中 C 为任意常数【试题解析】 因 F(x)=f(x)，故 F(t)=f(t)，于是 f(t)dt=F(t)+c【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 5【试题解析】 =301
11、(1+2t2)dt=5【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 由双纽线的对称性及y为 y 的偶函数，记 L1 为 L 在第一象限部分，则有 Lyds=4 L1yds 在极坐标中，其中 L1 的极坐标方程为 r2=a2cos2，于是经化简之后，有【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 【试题解析】 由定理知应收敛于【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 此题需用导数定义去求极限，关键在于把此极限构造为广义化的导数的定义式=(x10) x=2+(x10) x=2 =2
12、1029=10210【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 把所证等式中的 改为 x，得 xf(x)f(x)=f(2)2f(1)，两边同除以 x2： 令F(x)在1，2上连续， (1，2)内可导，且 F(2)=F(1)=f(2) f(1)由罗尔定理，存在 (1，2)，使 F()=0，即 f(2) 2f(1)=f()f()【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 令 xt=u，则 0xf(t)g(xt)dt= 0x(xu)g(u)du= 0x(xu)g(u)du当时，有 0xf(t)g(xt)dt= 0x(xu)g(u)du= 0x(xu)sinudu =x 0xsinudu 一0
13、xsinudu=xxcosx+ 0xud(cosu) =xxcosx+xcosxsinx=xsinx；当 时，有0xf(t)g(xt)dt= =x1【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 01ln(1x 2)dx=2ln22而若 ba0 ，上述极限不存在，所以要使原等式成立，必须 a=b，那么解得a=b=8e2 2【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 (1)1 z=x 2+y2，即 x2+y2+z=1，是旋转抛物面，是椭圆抛物面的特例 (2)绕 x 轴旋转生成的曲面方程为 x2y 2z 2=3，是旋转双曲面，是双叶双曲面的特例；绕 x 轴旋转生成的曲面方程为 x2+y2z 2
14、=3，是单叶双曲面的特例 (3)方程为 x22y+xyx2=0 (4)方程为 y2+z24x 2=0，是圆锥面【知识模块】 向量代数与空间解析几何23 【正确答案】 令 F(x，y，z)=2x 2+3y2+z26，则Fx P=4x P=4，F y P=6y P=6，F z P=2z P=2，故 n=(F x，F y，F z)=(4，6，2)，【知识模块】 向量代数与空间解析几何24 【正确答案】 于是上式可改写为 f(x，y)=xy+( +b+)(x2+y2)= (x+y)2+(b+a)(x2+y2)由 f(x，y)的连续性，有 另一方面，由知，存在点(0，0)的去心邻域内，f(x，y)0所以
15、f(0，0)是 f(x，y) 的极小值【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 因为 LPdx+Qdy=LF.ds，这里 F=(P，Q)，ds=(dx，dy)ds=ds所以 LPdx+Qdy= L(Pcos+Qcos)ds L(P，Q).(cos，cos)ds L(P，Q)ds(其中 cos，cos 是曲线切向量的方向余弦) 在曲线x2+y2=R2 上，有【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 利用级数的收敛，求数列极限或证明数列收敛若【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 当 0x1 时，x(1x)sin 2nx0，所以 un0， 为正项级数又因 sin2nxx2n，所以 u
16、 n=01x(1x)sin 2nxdx01x(1x)x 2ndx=01x2n1 dx 01x2n+2dx又因当 n时，收敛【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 本题的特色在于当 z 的取值范围不同时，系数 P(z)不同，这样所求解的方程就不一样，解的形式自然也会不一样，最后要根据解 y=y(x)是连续函数，确定任意常数当 x1 时，方程及其初值条件为 解得y=e1dx (2x2e1dxdx+C1)=ex (x2exdx+C1)=x22x+2+C 1ex 由 y(0)=2 得 C1=0，故y=x2 2x+2当 x1 时，方程为 解得又 y(x)在(，+)内连续，有 f(1 )=f(1+)=f(1)，即所以【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 本题考查在已有提示下化简微分方程、二阶常系数线性微分方程的求解，是一道具有一定计算量的综合题(1)令 x=et，则(2)对应的齐次方程 y+2y+5y=0 的特征方程为 r2+2r+5=0，特征根 r1，2 =12i，所以 y 齐通 (t)=et (C1cos 2t+C2 sin 2t) 令 y*(t)=(at+b)et，代入原方程，得a=2，b=1 故 y 通 (t)=et (C1cos 2t+C2sin 2t)+(2t1)e t，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程
