1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 250 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 中，无穷大量是（A） （B） （C） （D）2 设 f(x)= 则（A）f(x)在 x=0 处不连续（B） f(0)存在（C） f(0)不，曲线 y=f(x)在点(0，0) 处不切线（D）f(0)不，曲线 y=f(x)在点(0 ，0)处有切线3 下列反常积分中发散的是4 设 z=f(x，y)= ，则 f(x，y)在点(0，0)处（A）可微（B）偏导数存在，但不可微（C）连续，但偏导数不存在（D）偏导数存在，但不连续5 设有级数 an，S n= an，则 Sn 有界是级数 an
2、收敛的（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件二、填空题6 设 f(x)有任意阶导数且 f(x)=f3(x)，则 f(n)(x)=_7 设 y=f(x)满足 y= x+o(x)，且 f(0)=0，则 01f(x)dx=_8 微分方程 y“+6y+9y=0 的通解 y=_9 设 L 是乒方形边界：|x|+|y|=a(a，0)，则I=Lxyds=_，J= L|x|ds=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 0x 01，x n+1=xn(2x n)，求证：x n收敛并求 xn11 证明： =4e 11 设 g*(x)=0，且 f(x)f *
3、(x)，g(x)g *(x)(xa).12 当 xa 时无穷小 f(x)与 g(x)可比较，不等价( =)，求证：f(x)g(x) f *(x)g *(x)(xa)；13 当 0“|x a| 时 f(x)与 f*(x)均为正值，求证：(其中一端极限存在，则另端极限也存在且相等).14 设函数 f(x)在(，+)内满足 f(x)=f(x)+sinx，且 f(x)=x，x0，)，求3f(x)dx15 设 f(x)在a，b有连续的导数，求证： |abf(x)dx|+ab|f(x)|dx16 设 f(x)，g(x) 在(a，b) 内可导，g(x)0 且 =0( x(a，b)证明：存在常数 c，使得 f
4、(x)=cg(x)，x(a，b)17 证明方程 x=asinx+b(a0，b0 为常数)至少有一个正根不超过 a+b18 ()设 f(x)在x 0，x 0+)(x0 ，x 0)连续，在(x 0，x 0+)(x0 ，x 0)可导，又f(x)=A( f(x)=A)，求证：f +(x0)=A(f (x0)=A)()设 f(x)在(x 0，x 0+)连续，在(x 0，x 0+)x 0可导，又 f(x)=A，求证：f(x 0)=A() 设 f(x)在(a， b)可导，x 0(a，b)是 f(x)的间断点，求证：x=x 0 是 f(x)的第二类间断点19 设 f(x)在(0，+)二阶可导且 f(x)，f“
5、(x) 在(0，+)上有界，求证：f(戈)在(0，+) 上有界20 在0 ，+) 上给定曲线 y=y(x)0，y(0)=2，y(x)有连续导数已知x0，0 ，x 上一段绕 x 轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积，求曲线y=y(x)的方程21 设 z=f(x，y)满足 =2x，f(x ，1)=0 ， =sinx，求 f(x，y)21 设 f(x，y)=2(yx 2)2 x7y 2，22 求 f(x，y)的驻点；23 求 f(x，y)的全部极值点，并指明是极大值点还是极小值点24 设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，函数 g(y)连续可导，且 g(y)在 y=1 处取得极值 g(1)=2求复
6、合函数 z=f(xg(y)，x+y) 的二阶混合偏导数 在点(1，1)处的值25 设质点 P 沿以 为直径的下半圆周，从点 A(1，2)运动到 B(3，4)的过程中，受变力 F 的作用， F 的大小等于点 P 到原点 O 之距离，方向垂直于线段 ，与 y 轴正向的夹角小于 2，求变力 F 对质点 P 做的功25 求下列曲面积分26 I= dzdx，其中 为由曲面 y=x2+z2 与平面 y=1，y=2 所围立体表面的外侧27 I= (z+1)dxdy+xydzdx，其中 1 为圆柱面 x2+y2=a2 上 x0，0z1 部分，法向量与 x 轴正向成锐角， 2 为 Oxy 平面上半圆域 x2+y
7、2a2，x0 部分，法向量与 z 轴正向相反28 I= (x2y 2)dydz+(y2 z2)dzdx+(z2x 2)dxdy，S 是 =1(z0)的上侧29 考研数学一（高等数学）模拟试卷 250 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 本题四个极限都可以化成 的形式，其中 n=2，3，故只需讨论极限 要选择该极限为+的，仅当n=3 并取“+”号时，即 选(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 显然 f(x)=0=f(0)又 y=f(x)的图形见图 21 因此，f(0)不， y=f(x)在(0，0)切线
8、x=0选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 直接验证(D)发散因 x=0 是瑕点，从而 1 1dxsinx由于 01dxsinx=ln|tanx| 01=+，即 01dxsinx 发散，故反常积分1 1dxsinx 也发散应选(D) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 设z=f(x，y)f(0，0)，则可知 z= 这表明f(x，y)= 在点(0，0)处连续因 f(x，0)=0( x)，所以 fx(0，0)=ddxf(x，0)|x=0=0，同理 fy(0，0)=0令 =zf x(0，0)xf y(0，0)y=当( x，y)沿 y=x 趋于点(0，0)
9、时即 不是 的高阶无穷小，因此 f(x，y)在点(0，0)处不可微，故选(B)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 由级数收敛性概念知 an 收敛，即部分和数列S n收敛由数列收敛性与有界性的关系知，S n收敛 Sn有界，因此选(B)【知识模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 (2n1)!f 2n+1(x)【试题解析】 f (2)(x)=3f2(x)f(x)=3f5(x)，f (3)(x)=35f 4(x)f(x)=35f 7(x)， 可归纳证明 f(n)(x)=(2n1)!f 2n+1(x)【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 4【试题解析】 由题设可知 dydx=
10、 ，从而由 f(0)=0 可得 C=0于是 f(x)= 由定积分几何意义得 01f(x)dx=01 dx=4【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 (C 1+C2x)e3x ，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 特征方程 2+6+9=0，即(+3) 2=0通解为 y=(C1+C2x)e3x ，其中C1，C 2 为任意常数【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 0；2 a2【试题解析】 L 如图 94，它关于 x(或 y)轴对称，f(x，y)=xy 对 y(或 x)为奇函数I=Lxyds=0 L 关于直线 y=x 对称(变量的轮换对称性)I=L|x|ds=L|y|ds【知识模块】 高等数
11、学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 令 f(x)=x(2x)，则 xn+1=f(xn)易知 f(x)=2(1x)0，x(0，1)因 0x 01 x1=x0(2x 0)=1(x 01) 2(0，1)若 xn(0，1)xn+1=xn(2x n)(0，1) 又 x1x 0=x0(1x 0)0 xn单调上升且有界 极限xn=a由递归方程得 a=a(2a)显然 a0 a=1因此 xn=1【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 取对数化乘积为和差【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 考察极限因此，f(x)g(x) f *(x)g *(x)(x
12、a)【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 3f(x)dx=3f(x)+sinxdx= 3f(x)dx 02f(t)dt+2(t)dt=0tdt+2f(t)+sintdt= 2+ 2f(t)dt 2+ 0f(u)du=22【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 可设 |f(x)|=|f(x0)|，即证(ba)|f(x 0)|abf(x)dx|+(ba) ab|f(x)|dx，即证| abf(x0)dx| abf(x)dx|6(ba) ab|f(x)|dx注意| abf(x0)dx| abf(x)dx|abf(x0)f(x)dx|=| ab f(t)
13、dtdx|abab|f(t)|dtdx=(ba) ab|f(x)|dx故得证【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 因为所以存在常数 c，使得 f(x)g(x)=c ( x(a，b) ，即 f(x)=cg(x) ( x(a，b)【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 考察 f(x)=xasinxb，即证它在(0，a+b有零点显然，f(x)在0，a+b连续，且 f(0)= b0，f(a+b)=a1 sin(a+b)0若 f(a+b)=0，则该方程有正根 x=a+b若 f(a+b)0，则由连续函数零点存在性定理 c(0，a+b)，使得f(c)=0【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 ()f
14、 +(x0) =A另一类似() 由题 () f+(x0)=f (x0)=A f(x0)=A或类似题()，直接证明()即证 f(x)中至少一个不若它们均存在， f(x)=A，由题( ) f(x0)=A因 f(x)在 x0 可导A+=A =f(x0) f(x)在 x=x0 连续，与已知矛盾因此，x=x 0 是 f(x)的第二类间断点【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 按条件，联系 f(x)，f“(x)与 f(x)的是带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式 s0，h0 有 f(x+h)=f(x)+f(x)h+ f“()h2，其中 (x，x+h)特别是，取h=1，(x ，x+1)，有 f(x+1)=f
15、(x)+f(x)+ f“()，即 f(x)=f(x+1)f(x) f“()由题设，|f(x)|M 0，|f“(x)|M 2( x(0，+) ，M 0，M 2 为常数，于是有|f(x)|f(x+1)|+|f(x)|+ |f“()|2M0+ M1( x0)，即 f(x)在(0，+)上有界【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 () 列方程，定初值在0，x 上侧面积与体积分别为 20xydt， 0xy2dt按题意 20xy(t) dt=0xy2(t)dt， y(0)=2 ()转化将式两边求导得 2y(x) =y2(x)(在中令 x=0，得 0=0，不必另附加条件)化简得 ()解初值问题式分离变量得
16、 将，相加得【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 =2xy+(x)，(x)为 x 的任意函数 f(x，y)=xy2+(x)y+(x)，(x)也是 x 的任意函数由 =sinx，2xy+(x)| y=0=sinx，则 (x)=sinx由 f(x，1)=0，得xy 2+(x)y+(x)|y=1=x+sinx+(x)=0，则 (x)=x sinx因此，f(x，y)=xy 2+ysinxxsinx【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 即驻点为(0，0)与(2， 8)【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 A= =8y+24x 26x 5，B= =8xC= =2在(2，8
17、)处，ACB 20，A0 (2，8)为极小值点在(0，0)处，ACB 2=0，该方法失效但令 x=0 f(0，y)=y 2，这说明原点邻域中 y 轴上的函数值比原点函数值大，又令 y=x2，f(x，x 2)= x7x 4=x 4(1+ x3)，这说明原点邻域中抛物线 y=x2 上的函数值比原点函数值小，所以(0，0) 不是极值点【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 计算可得 =g(y)f1(xg(y)，x+y)+f 2(xg(y)，x+y) ， =g(y)f1(xg(y)，x+y)+g(y)f“11(xg(y)，x+y)xg(y)+f“ 12(xg(y)，x+y)+f“ 21(xg(y)，
18、x+y)xg(y)+f“22(xg(y)，x+y)将 x=1 与 y=1 代入并利用 g(1)=2，g(1)=0 即得 =g(1)f1(2，2)+g(1)f“ 11(2，2)g(1)+f“ 12(2，2)+f“ 21(2，2)g(1)+f“ 22(2，2)=2f“ 12(2，2)+f“22(2，2)【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 如图 932 ()先求作用于 P(x，y)的力 F：|F|= 与 =x，y垂直的向量y，x ，其中与 y 轴正向成锐角的是y，x ，于是 ()F 对 P 所做的功W= ydx+xdy()写出 的参数方程：(x2) 2+(y3) 2=( )2，【知识模块】 高
19、等数学【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 围成区域 ，直接用高斯公式得 作柱坐标变换【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 12 不封闭，添加辅助面后用高斯公式 3：z=1，x 2+y2a2， x0，法向量朝上 4：x=0，aya，0z1，法向量与 x 轴正向相反 4 垂直 ty 平面与 zx 平面 (z+1)dxdy+xydzdx=0 3 垂直 zx 平面 1， 2， 3， 4 围成区域，用高斯公式【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 用高斯公式来计算曲面不封闭，添加辅助面。S1：z=0 ， 1，取下侧S 与 S1 围成 ()记 I1= Pdydz+Qdzdx+Rdxdy，因为
20、S1 与 yz 平面及 zx 平面垂直，且 S1 上 z=0，所以=a3b02 sin22tdt=a3b2sin 2tdt=a3b4( )在 上用高斯公式注意 关于 yz 平面与 zx 平面对称，()I=12abc 2I 1=12abc 2 a3b=14ab(2c 2a 2)【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 先分解=S12S 2由 ln(1+x)的展开式知，S 1=ln(1+1)=ln2为求 S2，引进幂级数 S2(x)S2(x)=S2(0)+0xS2(t)dt=0x dt=xarctanx= S2(x)=xarctanx(|x|1)，S 2(1)=1因此，S=S 12S 2=ln2 2S2(1)=ln22+【知识模块】 高等数学
