1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 241 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）等于 e16 （B）等于 e16 （C）等于 e6 （D）不存在2 曲线 y=arctan 渐近线的条数是（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题3 已知 =9，则 a=_4 r=a(1+cos)在点(r，)=(2a，0)，(a， 2)，(0，)处的切线方程分别为_5 (cosxsinx)dx=_6 设 z= f(t，e t)dt，其中 f 是二元连续函数，则 dz=_7 设 L 是区域 D：x 2+y22x 的正向边界，则 I=L(x3y)dx+(xy 3)dy=
2、_8 幂级数 xn1 n2 n 的收敛区间是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 求下列极限：9 10 10 求下列极限：11 12 13 14 设 f(x)在(a，b)连续，x 1，x 2，x n(a，b)， 1， 2， n 为任意 n 个正数，求证： (a，b) ，使得15 设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f(a)=3，f(a)=1，f“(a)=2，求 g“(3)16 设 x0，a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0，a)，又满足 f(x)= 求 f(x)16 求功：17 设半径为 1 的球正好有一半沉入水中，球的比重为 1，现将球从水中取出，问要做多少功?18
3、 半径为 R 的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?19 设 f(x)在a，b上连续，f(x)0 且 abf(x)dx=0，求证：在a，b上 f(x)020 证明：x x2ln(1+x)x( x0)21 求函数 f(x)= x(x(，+)的最小值22 确定常数 a 和 b 的值，使得 =623 求方程 y“+2my+n2y=0 的通解；又设 y=y(x)是满足 y(0)=a，y(0)=b 的特解，求0+y(x)dx，其中 mn0，a，b 为常数24 把直线 L 的方程 化为对称方程25 与直线 L1： 及直线 L2： 都平行且经过坐标原点的平面方程是_26 过球面 x2+
4、y2+z2=169 上点 M(3，4，12)分别作垂直于 x 轴与 y 轴的平面，求过这两平面与球面的截线的公共点的两截线的切线方程，并求通过这两条切线的平面方程26 计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分27 I= x2y2zdV，其中 是由 x=1，x=2，y=0 ，y=x 2，z=0 及 z=1x 所围成的区域28 I= (lx2+my2+nz2)dV，其中 ：x 2+y2+z2a2，l，m，n 为常数29 ()设 L 为抛物线 y=x2 上，从点 A(1，1)到 B(1，1)的一段，求 I=L(x22xy)dx+(y22xy)dy ( )求积分 I=C dy，其中 C：y=1，x=4
5、 ，y= 逆时针一周考研数学一（高等数学）模拟试卷 241 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 注意到 sinxx=1 ，本题为 1型设 f(x)=sinxx，则原极限故原极限=e 16 ，应选(A)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 令 f(x)=aretan ，f(x)的定义域是( ，2) (2，1)(1，+)，因|f(x)|2，从而 x=1 与 x=2 不是曲线 y=f(x)的渐近线又因故 y=4 是曲 y=f(x)的水平渐近线综合知曲线 y=f(x)有且只有一条渐近线选 (A)【知识模块】 高等数
6、学二、填空题3 【正确答案】 ln3【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 x=2a( dydx=) ；ya=x；y=0【试题解析】 (I)在点(r ，)=(2a，0)处，(x ，y)=(2a，0) ，切线 x=2a( dydx=) (1I) 在点(r，)=(a，2)处，(x，y)=(0，a)，dydx=1 ，切线 ya=x()在点(r，)=(0，)处，(x，y)=(0，0)，dydx=0，切线 y=0【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 f(x 2y， )(2xydx+x2dy)【试题解析】 dz=f(x 2y， )d(x
7、2y)=f(x2y， )(2xydx+x2dy)【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 2【试题解析】 把线积分表成 LPdx+Qdy，则 =1(1)=2，D 是圆域：(x+1)2+y21，于是由格林公式 I= 2dxdy=2【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 (2，2)【试题解析】 先求收敛半径 R： 有相同的收敛半径 R，R=2，收敛区间为(2，2)【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 属 00 型利用洛必达法则【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 记 pn= 则原式= (np n)=t，因此，原式=e t
8、【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 注意立方和公式 13+23+n3=(1+2+n)2= 2，则【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 注意 2 =x2 n1 ，为利用倍角公式化简 xn，两边同乘sinx 2n，得x=0 时，x n=1，则 xn=1【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 分别求左、右极限：【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 依题设 n 个函数值 f(x1)，f(x 2)，f(x n)中一定有最小和最大的，不妨设 minf(x1)，f(x n)=f(x1)，maxf(x 1)，f(x n)=f(xn)，记 =if(xi)，若 =f(x1)，
9、则 =x1(a，b)，f()=；若 =f(xn)，则 =xn(a，b)，f()=若 f(x1)f(x n)，由定理， 在 x1 与 xn 之间，即(a， b)，f()=【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 记 y=f(x)应注意到，g(x)为 f(x)的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将 g(x)改写为 g(y) 由反函数求导公式有 f(x)g(y)=1，将该等式两边关于 x 求导得 f“(x)g(y)+f(x)g“(y)y x=0， 或 f“(x)g(y)+f(x)2g“(y)=0 注意到 g(3)=1f(a)=1，在上式中令 x=a，应有 y=3，因此得到 g“
10、(3)=f“(a)g(3)=2【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 由 f(x)连续及 x2 可导知 f2(x)可导，又 f(x)0，从而 f(x)可导，且f 2(x)=2f(x)f(x)，故将上式两边对 x 求导，得 2f(x)f(x)=f(x)2x f(x)=x.在(*)式中令 x=0 可得 f(0)=0于是 (*)式 两边积分( 0x)得 0xf(t)dt=0xtdt，f(0)=0 f(x)x22，x0，a【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 把球的质量 43 集中于球心球从水中取出作的功问题可以看成质量为 43 的质点向上移动距离为 1 时变力的做功问题归
11、结为求变力F(重力与浮力的合力)球受的重力=球的体积，球受的浮力 =沉在水中的球的体积，它们的合力=球露出水面部分的体积当球心向上移距离 h(0h1)时，球露出水面部分的体积： 因此，取出球时需做功【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 建立坐标系如图 36取 x 为积分变量，x0，Rx，x+dx 相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为 (R2x 2)dx，又比重 =1，于是把这层水抽出需做功 dw=x(R2x 2)dx因此，所求的功w=0Rx(R2x 2)dx=(R2 )=R44【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 由定积分的性质 0axf(t)dtabf(x)dx=0( xa，b) ax
12、f(t)dt=0( za，b) =abf(t)dt=f(x)=0( xa，b)【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 () 对 F(t)=ln(1+t)在0，x区间用拉格朗日中值定理得其中 c(0，x)因此 ln(1+x)x(x 0)()对 f(t)=ln(1+t)与 g(t)=t t2 在0 ，x 区间用柯西中值定理得其中 c(0，x)当 x0且 x x20 时，11c 20 1 ln(1+x)x x2若x0，x x20，上式显然成立因此 ln(1+x)x x2(x0)【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 先求导数并得驻点 由 f(x)=0 即 2x =0 得唯一驻点 x= 方法再考察
13、于是可导函数 f(x)在(，+)最小值，最小值点必是驻点，又驻点唯(x= )，因此 f(x)的最小值为【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 (用泰勒公式)因为 ln(12x+3x 2)=2x+3x 2 (2x+3x 2)2+o( 2x+3x2)2)=2x+3x 22x 2+o(x2)=2x+x 2+o(x2)，由此即得 a2=0，b+1=6，故a=2，b=5【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 特征方程 2+2m+n2=0，特征根 =m ，通解为注意：指数均为负的将方程两边积分 y|0+2my|0+n20+y(x)dx=0，即 b2ma+n 20+y(x)dx=0 0+y(x)dx=【
14、知识模块】 高等数学24 【正确答案】 先求 L 的方向向量 =4，8，4=41，2，1再求一交点令 x=0 得 y=1，z=2因此直线 L的方程为【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 直线 L1，L 2 的方向向量分别是 S1=0，1，1与 S2=1，2，1，设 P(x，y，z)是平面 上任一点，则 ，S 1，S 2 共面，故混合积( ，S 1，S 2)=0，即 =x+yz=0，亦即 xy+z=0【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 过 M 点分别与 x、y 轴垂直的平面是 x=3 与 y=4，与球面的截线它们的交点是 M1(3，4，12)，M2(3，4，12) 1 在 M1 的切向
15、量 =0，24，8=80，3，1， 2 在 M1 的切向量 =24，0，6=64，0，1 1， 2 在 M1 点的切线方程分别为即 3(x3)+4(y4)+12(z12)=0 又 1 在 M2 的切向量 =0，24，8=80，3，1， 2 在 M2 的切向量 =2z，0 ，2x =24，0，6=64 ，0，1 ，1， 2 在 M2 点的切线方程分别为过两条切线的平面方程是即 3(x3)+4(y4)12(z+12)=0【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 () 区域 由平面 x=1，x=2，y=0，z=0 及抛物柱面 y=x2 与双曲柱面 z=1x 围成，易求出 在 x
16、y 平面(或 zx 平面 )上的投影区域 Dxy(或 Dzx)D xy由 x=1，x=2，y=0，y=x 2 围成，D xy=(x，y)|1x2，0yx 2，见图 917(a)Dzx 由 x=1，x=2，z=0，z=1 x 围成，即 Dzx=(z，x)|1x2，0z1x，见图 917(b) 于是=(x，y，z)|0z1x，(x，y) Dxy，或 =(x，y，z)|0yx 2，(z，x)Dzx ()根据 的表示，宜选择先对 z(或 y)积分后对 xy(或 zx)积分的顺序若先对 z 积分得 若先对 y 积分得=13 12dx01x x9zdz=16 12x7dx=8516【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 由变量的轮换对称性，可得 用球坐标变换求I=(l+m+n)13I=415(l+m+n)a5【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 ()L ： y=x2，x1，1I= 1 1(x22x 3)+(x42x 3)2xdx=1 1(x2 4x4)dx+0=201(x24x 4)dx=2( )=1415【知识模块】 高等数学
