1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 235 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是( )2 设 f(x0)=f(x0)=0，f (x0)0，则下列结论正确的是( )（A）f (x0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极大值（C） f(x0)是 f(x)的极小值（D）(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点3 设f(x)dx=x 2+C，则xf(1 一 x2)dx 等于( ) （A） (1x 2)2+C（B） (1x 2)2+C（C）
2、2(1 一 x2)2+C（D）一 2(1 一 x2)2+C4 f(x，y)=arctan 在(0 ，1)处的梯度为( )（A）i（B）一 i（C） j（D）一 j二、填空题5 设 x0 时，ln(cosax) 一 2xb (a0)，则 a=_，b=_6 设 y=y(x)满足： y= xo(x)且 y(1)=3，则 y(x)=_7 曲线 L： (a0)在 t= 对应点处的曲率为_8 01 =_9 过点 A(3，2，1) 且平行于直线 的平面方程为_10 曲线 L： 绕 z 轴旋转而成的曲面界于 z=1 与 z=2 之间的体积为_11 设 S 为平面 x 一 2y+z=1 位于第四卦限的部分，则
3、=_12 f(x)为以 2 为周期的函数，当一 x 时，f(x)= 设其傅里叶级数的和函数为 S(x)，则 S(11)=_13 设 y1(x)， y2(x)为 y+P(x)y=Q(x)的特解，又 py1(x)+2qy2(x)为 y+P(x)y=0 的解，Py1(x)一 qy2(x)为 y+P(x)y=Q(x)的解，则 p=_，q=_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求 15 求 16 设 f(x)= ，讨论 f(x)的单调性、凹凸性、拐点、水平渐近线17 求 18 当 x0 时，f(x)=x ，设 g(x)= 当 x0 时，求 0xf(t)g(xt)dt19 设 f(x
4、)在0，2上连续，在 (0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且f (x)2证明： 02f(x)dx220 设 z=f(x，y)在点(1，1)处可微，f(1 ，1)=1 ，f 1(1，1)=a，f 2(1，1)=b ，又fx， f(x，x) ，求 x=121 求 I= cos(x+y)dxdy ，其中 D=(x，y)0x ，0y 22 设 f(x，y， z)是连续函数， 是平面 xy+z 一 1=0 在第四卦限部分的上侧，计算 f(x，y，z)+xdydz+2f(x，y，z)+ydzdx+f(x，y，z)+zdxdy23 判断级数 的敛散性24 求微分方程 xy+2y=ex 的通解25 在上
5、半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点) ，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行考研数学一（高等数学）模拟试卷 235 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x)= =0，而 f(x)在 x=0 处不可导，(A)不对；即存在只能保证 f(x)在 x=0 处右可导，故(B)不对；因为，所以 h0 时，h 一 tanh h3，于是存在不能保证 f(x)在 x=0 处可导，故(D) 不对；=f(0)选(C)【知识模块】 高等数学
6、2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x0)0，所以存在 0，当 0x 一 x0 时，0，从而当 x(x0 一 ，x 0)时，f (x)0；当 x(x0，x 0+)时，f(x)0，即(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点，选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 xf(1 一 x2)dx= (1 一 x2)d(1 一 x2)= (1 一 x2)2+C，选(B)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 由 =1，0=i，选(A)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 a=2，b=2；【试题解析】 ln(cosax)=lnl+(cosax
7、一 1)cosax 一 1一 x2，则 =一2，b=2，解得 a=2，b=2【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 ：一(x 一 3)+2(y 一 2)+5(z 一 1)=0，或 ：x 一 2y 一 5z+6=0【试题解析】 直线 L1，L 2 的方向向量为 s1=1，一 2，1，s 2=2，1，0，所求平面的法向量为 n=s1s2=1，2，5，则所求平面为 ：一(x 一 3)+2(y 一 2)+5(z 一 1)=0，或 ：x 一
8、2y 一 5z+6=0【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 所求的曲面为：z=x 2+y2，所求的体积为V=12dz dxdy=12zdz= 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 S ：z=1 x+2y，S 在 xOy 平面上的投影区域为Dxy= (x，y)0x1， y0【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x)的间断点为 x=(2k+1)(kz)，所以 S(11)=【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 由一阶线性微分方程解的结构性质得 ，解得【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
9、。14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 因为 f(x)= 0，所以 f(x)在(一，+)上单调增加因为f(x)= ，当 x0 时，f (x)0；当 x0 时，f (x)0，则 y=f(x)在(一，0)的图形是凹的，y=f(x)在(0，+)内是凸的，(0 ，0) 为 y=f(x)的拐点因为 f(一 x)=一 f(x)，所以 f(x)为奇函数由为曲线 y=f(x)的两条水平渐近线【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 0xf(t)g(x 一 t)dt x0f(x 一 )g()(一 d)=0
10、xf(x 一 )g()d，(1)当 0x 时， 0xf(t)g(xt)dt=0x(x 一 )sind=xsinx；(2)当 x 时，0xf(t)g(xt)dt=0 (x 一 )sind=x 一 1，于是 0xf(t)g(xt)dt=【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)一 f(0)=f(1)x，其中 0 1x，f(x)一 f(2)=f(2)(x 一 2)，其中 x 22，于是 从而 02f(x)dx 02f(x)dx= 01f(x)dx 12f(x)dx 012xdx+122(2 一 x)dx=2【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 由 =f1x，f(x ，x
11、)+f 2x，f(x，x)f 1(x，x)+f 2(x，x)，得=f11，f(1 ，1)+f 21，f(1，1)1 f 1(1，1)+f 2(1，1)=a+b(a+b)=a+ab+b 2【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 直线 x+y= 将区域 D 分为 D1，D 2，其中D1=(x，y) 0x ，0y 一 x，D2=(x，y) 0x ，【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 的法向量为 n=1，一 1，1，方向余弦为，根据两类曲面积分之间的关系有F(x，y，z)+xdydz2f(x ，y，z)+ydxdx+f(x ， y，z)+zdxdy= f(x，y，z)+x一2f(x，y，z)+
12、y+f(x，y，z)+zds=【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 因为 n时，收敛，所以级数收敛【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 xy +2y=ex 两边乘以 x 得 x2y+2xy=xex，即(x 2y)=xex，积分得x2y=(x 一 1)ex+C1，即 y= 再积分得原方程通解为 y=【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设所求曲线为 y=y(x)，该曲线在点 P(x，y)的法线方程为 Yy=(Xx)(y0)令 Y=0，得 X=x+yy，该点到 x 轴法线段 PQ 的长度为，由题意得 ，即yy=1+y2令 y=p，则 y= ，两边积分得 y= ，由 y(1)=1，y (1)=0 得 C1=1，又 y0，所以 y= ，变量分离得 =dx，两边积分得 ln(y+ )=x+C2，由 y(1)=1 得 C2=一 1，【知识模块】 高等数学
