1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 233 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 f(一 x)=一 f(x)，且在(0，+) 内 f(x)0，f (x)0，则在(一，0)内( )（A）f (x)0，f (x)0（B） f(x)0，f (x)0（C） f(x)0，f (x)0（D）f (x)0，f (x)02 若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 =1，则下列正确的是( )（A）x=0 是 f(x)的零点（B） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极大点（D）x=0 是 f(x)的极小点3 矩形闸门宽 a 米，高
2、 h 米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为( )（A）g 0hahdh（B） g0aahdh（C） g0h ahdh（D）2g 0hahdh4 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）f(x 0，y)在 y=y0 处导数为零（B） f(x0，y)在 y=y0 处导数大于零（C） f(x0，y)在 y=y0 处导数小于零（D）f(x 0，y)在 y=y0 处导数不存在5 微分方程 y一 4y=x+2 的通解为( )（A）(C 1+C2x)e2x 一（B） (C1+C2x)e2x 一（C） C1e2x +C2e2x 一（D）C 1e2x
3、+C2e2x 一二、填空题6 =_7 设 f(x)= ，则 f(x)=_8 设 f(x)=ln(1+x)，当 x0 时，f(x)=f (x)x，则 =_9 =_10 02xsinxdx=_ 11 过原点及点(6，一 3，2)且与平面 4xy+2z=8 垂直的平面方程为_12 02dyy2x2ex2dx=_13 x2ydx+xy2dy=_，其中 L：x+y=1，方向取逆时针方向14 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求 16 设 f(x)连续，且 =e3，且 f(0)存在，求 f(0)17 证明方程 lnx= dx 在(0，+) 内有且仅有两个根18 求 19 设 f(
4、x)，g(x) 在a，b 上连续，证明：存在 (a，b)，使得 f()bg(x)dx=g()af(x)dx20 设 z=f(exsiny，xy)，其中 f 二阶连续可偏导，求 21 设 D 是由点 O(0，0) ，A(1 ，2)及 B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算xdxdy22 计算曲面积分 (x2+y2)dzdx+zdxdy，其中 S 为锥面 z= (0z1)第一卦限的部分，方向取下侧23 判断级数 的敛散性24 将 f(x)= 展开成傅里叶级数25 设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0 ，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)考研
5、数学一（高等数学）模拟试卷 233 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)为偶函数，故在(一，0)内有 f(x)0，因为 f(x)为奇函数，所以在(一 ，0)内 f(x)0，选(C) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 由 =1 得 f(0)=0，由 1=f(0)得 x=0 为极小点，应选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 取x，xdx 0，h，dF=gxadx=gaxdx，则F=g0haxdx=g0hahdh，选(A)【知识模块】 高等数学4
6、 【正确答案】 A【试题解析】 可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则有 fx(x0，y 0)=0， fy(x0，y 0)=0，于是 f(x0，y)在 y=y0 处导数为零，选(A)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 微分方程 y一 4y=0 的特征方程为 24=0 ，特征值为一 2，2，则方程 y一 4y=0 的通解为 C1e2x +C2e2x，显然方程 y一 4x=x+2 有特解 ，选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【
7、试题解析】 f (x)= ，f(x)=f (x)x，得 ln(1x)=故【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 e xtan C【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 4【试题解析】 02xsinx dx= 0sinxdx 2xsinxdx ，而0xsinxdx= 0sinxdx= 0sinxdx=， 2xsinxdx 0(t)sinx dx=0sintdt 0tsintdx=2=3 ，故 02xsinx dx=4【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 2x+2y 一 3z=0【试题解析】 设所求平面为 ：Ax+By+CzD=0 ，因为 经过原点，所以 D=0，即 ： AxB
8、y 一 Cz=0，又因为 经过点(6，一 3，2)且与 4xy+2z=8 垂直，所以，所求平面为 ：2x+2y 一 3z=0【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 02dyy2x2ex2dx=02dx0xx2ex2dy=02x3ex2dx= 02x2ex2d(x2)= 04xexdx=【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 0【试题解析】 令 L1：y=1x(起点 x=1，终点 x=0)，L 2：y=1+x(起点 x=0，终点 x=一 1) L3：y=1x(起点 x=一 1，终点 x=0)，L 4：y= 一 1+x(起点 x=0，终点x=1)则 x2ydxxy 2dy=L1+
9、L2+L3+L4=10x2(1x)一 x(1x) 2dx+01 x2(1+x)+x(1+x)2dx+1 0x 2(1+x)x(1+x) 2dx+01x2(x1)+x(x 1)2dx=0【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 由 =e3 得 f(0)=0，【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 0=0，得 x=e，因为 f(e)= 0 为 f(x)的最大值，又因为=一，所以 f(x)=0 在 (0，+)内有且仅有两个实根【知识模块】 高等数学1
10、8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 (x)=axf(t)dtbxg(t)dt，显然 (x)在a，b上可导，又 (a)=(b)=0，由罗尔定理，存在 (a，b) ，使得 ()=0，而 (x)=f(x)bxg(t)dtg(x) axf(t)dt， 所以 f()bg(x)dx+g()af(x)dx=0，即 f()bg(x)dx=g()af(x)dx【试题解析】 由 f(x)xbg(t)dt=g(x)axf(t)dt 得 g(x) axf(t)dt+f(x)bxg(t)dt=0 即 axf(t)dtbxg(t)dt=0，则辅助函数为 (x)=axf(t)dtbxg(t)dt
11、【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 =exsinyf 1+yf 2， =excosyf 1+exsiny(e xcosyf 11+xf12)+f2+y(excosyf 21+xf22)=excosyf 1+e2xsinycosy f11+ex(xsiny+ycosy)f12+f2+xyf22【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 将区域向 x 轴投影，令 D1=(x ，y)0x1， y2x，D2=(x，y) 1x2， y3 一 x，【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 将曲面 S 向 xOz 面投影得 Dxz=(x，y)0x1，xz1【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 因为 收敛【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 函数 f(x)在 ， 上满足狄里克莱充分条件，将 f(x)进行周期延拓，a 0= 0f(x)dx= ，a 0= (n=1，2，)，bn=0(n=1，2，)，x= 时，傅里叶级数收敛于 ，则 f(x)=【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 根据题意得 ，则有0xf(t)dt= ，两边求导得 f(x)= ，【知识模块】 高等数学
