1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 231 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)= 则在点 x=0 处 f(x)( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但导数不连续（D）导数连续2 当 x0，1时，f (x)0，则 f(0)，f (1)，f(1)f(0)的大小次序为( ) （A）f (0)f(1)一 f(0)f (1)（B） f(0)f (1)f(1)一 f(0)（C） f(0)f (1)f(1)一 f(0)（D）f (0)f(1)一 f(0)f (1)3 双纽线(x 2+y2)2=x2 一 y2 所围成的区域面积可表示为( )4 设
2、 =f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 =( )（A）f 2+xf11+(x+z)f12+xzf22（B） xf12+xzf22（C） f2+xf12+xzf22（D）xzf 225 设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x2 一 1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 y(x)dx为( )（A）一 ln3（B） ln3（C） ln3（D） ln3二、填空题6 =_7 =_8 0 dx=_9 若 ，则a 一 b=_10 函数 z=x2cosy 在点 的射线 l 的方向导数为_11 设区域 D=(x，y)0x1，0y1，则 yx2dxdy=_12 设 L： =1，且 L 的
3、长度为 l，则 (9x2+72xy+4y2)ds=_13 幂级数 的收敛半径为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求 15 求 16 设 f(x)= ，求 f(x)的间断点，并判断其类型17 设 1yx2 et2dt=0xcos(x 一 t)2dt 确定 y 为 x 的函数，求 18 当 0x 时，证明： sinxx19 求 20 设 f(x)在区间0，1上可积，当 0xy1 时， f(x)一 f(y)arctanx arctany，又 f(1)=0，证明： 01f(x)dx ln221 设 f(x)连续，f(0)=1，令 F(t)= f(x2+y2)dxdy(t0)，求
4、 F(0)22 计算曲面积分 x3dydz+y3dzdx+(z3+1)dxdy，其中 为 x2+y2+z2=a2(z0)部分的上侧23 判断级数 的敛散性24 将 f(x)= 一 x 展开成 x 的幂级数25 求微分方程 x2y一 2xy+2y=2x 一 1 的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 231 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 =f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 处连续；由=0，得 f(x)在 x=0处可导，且 f(0)=0；当 x0 时，f (x)=3x2 ；当 x0 时，f (x)=2x，因为 =
5、f(0)，所以 f(x)在 x=0 处导数连续，选(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日中值定理得 f(1)一 f(0)=f(c)(0c 1)，因为 f(x)0，所以 f(x)单调增加，故 f(0)f (c)f (1)，即 f(0)f(1)一 f(0)f (1)，应选(D) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 双纽线(x 2+y2)2=x2y 2 的极坐标形式为 r2=cos2，再根据对称性，有A=4 cos2d，选(A)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 =f1+zf2， =xf12f 2xzf 22选(C) 【知识模
6、块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 由 2xydx+(x2 一 1)dy=0 得 =0，积分得 ln(x2 一 1)+lny=lnC，从而 y= ，由 y(0)=1 得 C=一 1，于是 y= ，故ln3，选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 由a+b 2=(a+b)(a+b)=a 2+b 22ab=13+19+2ab=24，得ab=一 4，则a 一 b 2=(ab)(ab)=a 2+b
7、 2 一 2ab=13+19+8=40，则a一 b= 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 由，射线 l 的方向向量为1， ，方向余弦为 cos=，故【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 令 D1=(x，y)0x1，0yx 2，D2=(x，y) 0x1，x 2y1，【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 361【试题解析】 由对称性得 (9x2+72xy+4y2)ds= (9x2+4y2)ds，于是原式=36l【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】
8、【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 显然 x=0、x=1 为 f(x)的间断点f(00)=，因为 f(0 一 0)f(0+0)，所以 x=0 为 f(x)的跳跃间断点f(1 0)=0因为 f(10)f(1+0)，所以 x=1 为 f(x)的跳跃间断点【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 0xcos(x 一 t)2dt x0cos2(一 d)=0xcost2dt，等式=0xcost2dt 两边对 x 求导，得 =cosx2，于是【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 令 f(x)=xsinx，f(0)=0 ，f (x)=1 一 cosx0(0
9、 x )，【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 由f(x)= f(x)一 f(1)=arctanxarctan1 = arctanx一 得 01f(x)dx 01f(x)dx 01arctanx dx= 01( 一 arctanx)dx=【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 令 x=cos，y=rsin ，则 F(t)=02d0trf(r2)dr=20trf(r2)dr， 因为f(x)连续，所以 F(t)=2tf(t2)且 F(0)=0，于是 F(0)= f(t2)=2f(0)=2【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 补充 0：z=0(x
10、2+y2a2)下侧，原式 = x3dydz+y3dzdx+(z3+1)dxdy x3dydz+y3dzdx+(z3+1)dxdy，而 x3dydz+y3dzdx+(z3+1)dxdy= (x2+y2+z2)d【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 因为 发散，由比较审敛法的极限形式得级数 发散【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 f(0)=0，f(x)=f(x)一 f(0)=0xf(x)dx=0x (x1)【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 令 x=et，则x2y= +2y=2et 一1， 2y=0 的通解为 y=C1et+C2e2t，令 +2y=2et 的特解为y0(t)=atet，代入 2y=一 1 的特解为 y= 2y=2e t 一 1 的通解为 y=C1et+C2e2t 一 2tet 一，原方程的通解为 y=C1x+C2x2 一 2xlnx 一 【知识模块】 高等数学
