1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 165 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，f(0)=1，且 =0，则 f(x)在 x=0 处( )（A）可导，且 f(0)=0（B）可导，且 f(0)=一 1（C）可导，且 f(0)=2（D）不可导2 设常数 k0，则级数 ( )（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）敛散性与 k 有关3 函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( )二、填空题4 =_5 =_6 上的平均值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 求 8 确定正数 a，b 的值，使得
2、 =29 设 f(x)= 讨论函数 f(x)在 x=0 处的可导性10 证明：当 x0 时， 11 求下列不定积分：12 求 13 设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，证明：存在 (a，b)，使得 af(x)dx=bf(x)dx14 设 ，求ABC 的面积15 设 z=yf(x2y2)，其中 f 可导，证明： 16 设 f(x)连续，f(0)=1，令 F(t)= f(x2+y2)dxdy(t0)，求 F(0)17 计算 ，其中 L 为 x2+y2=1 从点 A(1，0)经过 B(0，1)到 C(一 1，0)的曲线段18 求幂级数 的收敛域19 求微分方程 xy=yln 的通解20 求
3、f(x)= 的间断点并判断其类型21 设 0a b，证明： 22 设 f(x)在a，b上连续可导，证明： 22 设直线 y=ax 与抛物线 y=x2 所围成的图形面积为 S1，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S2，且 a123 确定 a，使 S1+S2 达到最小，并求出最小值；24 求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积25 设 z=(x2y 2)sec2(xy) ，求 26 交换积分次序并计算 0adx0x dy(a0) 27 设na n收敛，且 n(an 一 an1 )收敛，证明：级数 an 收敛28 设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y
4、)处的曲率为 ，又此曲线上的点(0 ，1) 处的切线方程为 y=x+1，求该曲线方程，并求函数 y(x)的极值考研数学一（高等数学）模拟试卷 165 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
5、或演算步骤。7 【正确答案】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 因为 f (0)f (0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 令 (t)=ln(x+t)，由拉格朗日中值定理得【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令 g(x)=axf(t)dtxbf(t)dt， 因为 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0， 所以 g(a)=一 abf(t)dt0， g(b)= abf(t)dt0， 由零点定理，存在 (a，b)，使得 g
6、()=0，即 af(x)dx=bf(x)dx【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 x=rcos，y=rsin ，则 F(t)=02d0trf(r2)dr=20trf(r2)dr，因为f(x)连续，所以 F(t)=2tf(t2)且 F(0)=0，于是【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 lnx(ln1)=lnx lnC，即 ln1=Cx，或 =eCx1 ，故原方程的通解为 y=xeCx1 【知识模块】 高等数学20 【
7、正确答案】 f(x)的间断点为 x=0，一 1，一 2， 及 x=1【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 直线 y=ax 与抛物线 y=x2 的交点为(0，0)，(a，a 2)【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 令 Sn=a1+a2+an，S n1 =(a1a 0)2(a 2 一 a1)+(n+1)(an1 a n)，则 Sn1 =(n+1)an1 一 Sn 一 a0，因为 n(an 一 an1 )收敛且数列na n收敛，所以收敛【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 因为曲线是上凸的，所以 y0，由题设得【知识模块】 高等数学
