1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 139 及答案与解析一、填空题1 设 f(x)连续，f(x)0，则 _2 _3 _4 _5 xarcsinxdx_6 (n0)_7 sinxcosxdx（自然数 n 或 m 为奇数）_ 8 (a0)_9 设 yf(x)满足y xo( x)，且 f(0)0，则 f(x)dx_10 设 f(x)在a，b上连续可导，f(a)f(b)0，且 f2(x)dxl ，则 xf(x)f(x)dx_11 设 f(x)具有连续导数，且 F(x) (x2t 2)f(t)dt，若当 x0 时 F(x)与 x2 为等价无穷小，则 f(0)_12 求 13 已知 f(x) ，则 _14 _
2、15 _16 _17 曲线 xa(costtsint)，ya(sint 一 tcost)(0t2)的长度 L_18 曲线 y22x 在任意点处的曲率为_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 已知 是 f(x)的一个原函数，求 20 求 21 求 22 求 23 求 24 求 25 求 考研数学一（高等数学）模拟试卷 139 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 于是 原式【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 2【试题解析】 原式 x22x (1x 2)dx 2(注意： 奇函数在对称区间上积分为零)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 2e 22【试题解析】
3、原式 4e 22e222e 22【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 【试题解析】 原式【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 原式 其中 是 单位圆的面积即【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 原式【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 0【试题解析】 由周期函数的积分性质得当 n 为奇数时，由于被积函数为奇函数，故 In，m 0当 m 为奇数 (设 m2k 1，k 0，1，2，)时其中 R(u)为 u 的某个多项式(不含常数项)因此，I n，m 0【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【分析一】利用分部积分法【分析二】令tarctan ，则
4、cos2t ，xacos2t于是原式td(acos2t)atcos2t cos2tdta cos2tdt【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 由题设可知 ，从而由 f(0)0 可得 C0于是f(x) 由定积分几何意义得【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 因 f(x)f(x)，所以【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 由于 F(x) (x2t2)f(t)dtx 2 f(t)dt t2f(t)dt，所以 F(x)2x f(t)dtx 2f(x)x2f(x)2x f(t)dt又依题设，当 x0 时 F(x)与 x2 为等价无穷小，从而 2f(0)
5、1，故 f(0)【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 这是求 型的极限用洛必达法则时就要求变限积分的导数这里被积函数 f(x) 还是变限积分注意到这一点就容易求得【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 用分部积分法由于 f(x) (x2)2x ，故注*处由于 f(x)，故 f(1)0，所以 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 3【试题解析】 【分析一】令 x2t，则【分析二】令x2t，则原式 ，令t 3etdte t(at3bt 2dt e) C ，两边求导得t3ete tat3(3a b)t2(2ad)tde ，比较两边 t 的同次幂项的系数得a一 1
6、， b一 3，d 一 6， e 一 6于是，原式【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 因(xe x)e x(x1)，令 xext，则 dte x(x1)dx，于是【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 2 2a【试题解析】 曲线由参数方程表示出，直接代入弧长公式得【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 用曲率计算公式 K 由 y22x 2yy2，【知识模块】 高等数学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 按题意：f(x) x3f(x)dx x3df(x)x 3f(x)3x
7、2f(x)dxx 2cosxxsinx3(xcosxsinx)dxx 2cosxxsinx3xdsinx3consxx 2cosxxsinx(3xsinx3cosx)3cosx Cx 2cosx4xsinx6cosxC【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 注意分解 1x 61(x 2)3(1x 2)(1 一 x2x 4)原式arctanx arctanx arctanx3C【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 先作恒等变形，然后凑微分即得【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【解法一】记 则【解法二】作变量替换 xtant ，则【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 xasi
8、nt(t )，则【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 利用定积分的分段积分法与推广的牛顿一莱布尼兹公式得【试题解析】 先用凑微分法求或用变量替换令 ttanx ，则xarctant，dx 于是现用牛顿莱布尼茨公式即得 注意所得的积分值为负，无疑是错误的，但错在哪里呢?这是因为由函数在整个积分区间0，上的原函数，它在积分区间0， 上也不连续，故不符合牛顿一莱布尼茨公式及其推广的条件用换元法令 ttanx，则 tan00， tan 一 1于是 这当然也是错的，错在哪里呢?因为当 t一 1，0时，xarctant 之值不落在原积分区间 0，上【知识模块】 高等数学
