1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (04 年 )设 f(x)为连续函数， F(t)=1tdyytf(x)dx，则 F(2)等于（A）2f(2)（B） f(2)（C） -f(2)（D）02 (06 年 )设 f(x，y)为连续函数，则 等于3 (07 年 )设曲线 L：f(x ，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)过第象限内的点 M 和第象限内的点 N， 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是（A） f(x，y)dx（B） f(x,y)dy（C） f(x,y)ds（D） fx(x
2、， y)dx+fy(x,y)dy4 (09 年 )如图，正方形 (x，y)|x|1，|y|1被其对角线划分为四个区域Dk(k=1，2，34)，I k= =（A）I 1（B） I2（C） I3（D）I 45 (13 年 )设 L1：x 2+y2=1，L 2：x 2+y2=2，L 3：x 2+2y2=2，L 1：2x 2+y2=2 为四条逆时针方向的平面曲线记 (i=1，2，3，4)，则maxI1，I 2，I 3，I 4=（A）I 1（B） I2（C） I3（D）I 46 (14 年 )设 f(x，y)是连续函数，则 =二、填空题7 (05 年 )设 是由锥面 与半球面 围成的空间区域，是 的整个
3、边界的外侧，则8 (06 年 )设是锥面 +2ydzdx+3(z 一 1)dxdy=_9 (07 年 )设曲面 ：|x|+|y|+|z|=1，则 =_10 (08 年) 设曲面 是 z= +xdzdx+x2dxdy=_11 (09 年) 设 =(X，y，z)|x 2+y2+z21，则 =_12 (09 年) 已知曲线 L：y=x 2(0x 则 Lxds=_13 (10 年) 已知曲线 L 的方程为 y=1 一|x|(x 一 1，1) ，起点是(一 1，0)，终点为(1，0)，则曲线积分 Lxydx+x2dy=_14 (10 年) 设 =(x，y，z)|x 2+y2z1，则 的形心的竖坐标 =_
4、15 (11 年) 设 L 是柱面 x2+y2=1 与平面 z=x+y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分16 (12 年) 设=(x，y，z)|x+y+z=1，x0，y0，z0，则 =_17 (14 年) 设 L 是柱面 x2+y2=1 与平面 y+z=0 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 zdx+ydz=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 (04 年) 计算曲面积分 其中是曲面z=1 一 x2 一 y2(zO)的上侧19 (05 年) 设 D=(x，y)|x 2+y2 ,x0，y0)，1+x 2+y2表示不
5、超过 1+x2+y2 的最大整数计算二重积分20 (05 年) 设函数 (y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分 的值恒为同一常数(I)证明：对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有 ()求函数 (y)的表达式21 (06 年) 设区域 D=(x，y)|x 2+y21，x0 ，计算二重积分22 (06 年) 设在上半平面 D=(x，y)|y0 内，函数 f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的 t0 都有 f(tx，ty)=t -2f(x，y)证明：对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭线L，都有23 (07 年) 计算曲面积分 其中为曲面 z=1 一
6、x2一 (0z1)的上侧24 (08 年) 计算曲线积分 Lsin2xdx+2(x21)ydy，其中 L 是曲线 y=sinx 上从点(0，0)到点(，0) 的一段25 (09 年) 计算曲面积分 其中是曲面 2x2+2y2+z2=4的外侧26 (10 年) 设 P 为椭球面 S：x 2+y2+z2 一 yz=1 上的动点，若 S 在点 P 处的切平面与xOy 面垂直，求点 P 的轨迹 C，并计算曲面积分 I= 其中是椭球面 S 位于曲线 C 上方的部分27 (11 年) 已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0, f(x，y)dzdy=a ，其中 D=
7、(x，y)|0x1，0y1)，计算二重积分28 (12 年) 已知 L 是第一象限中从点 (0，0)沿圆周 x2+y2=2x 到点(2，0)，再沿圆周x2+y2=4 到点 (0，2)的曲线段计算曲线积分 I=L3x2ydx+(x3+x-2y)dy29 (13 年) 设直线 L 过 A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面与平面 z=0，z=2 所围成的立体为 (I)求曲面的方程；()求 的形心坐标30 (14 年) 设为曲面 z=x2+y2(z1)的上侧，计算曲面积分考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只
8、有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 交换累次积分次序得 F(t)= 1tdyytf(x)dx=1tdx1xf(x)dy=1t(x-1)f(x)dx f(t)=(t 一 1)f(t)，F(2)=f(2)，故(B)。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 故 C【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 如右图，设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)， f(x，y)dx= dx=x2 一x10 f(x,y)dy=dy=y2y10 (x，y)ds= ds=s 0 (s 为 的长度) fx(x,y)dx+fy(x,y)dy=df(x,y)=f(x
9、2,y2)一 f(x1,y1)=11=0 故(B)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 由于 D2，D 4 关于 x 轴对称，而被积函数 ycosx 是关于 y 的奇函数，所以，I 2=I4=0在 D1 内 ycosx0，而在 D3 内 ycosx0，则 I10，I 30，故 A【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 由格林公式得 其中 Di 为 Li 围成的平面域(i=1，2，3，4) 0I 1I 4 又I2I 4，I 3I 4，则 maxI1，I 2，I 3，I 4=I4【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 累次积分 所对应的二重积分的积
10、分域如图，故(D)【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 由高斯公式得【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 由于 x 关于变量 x 是奇函数，而积分曲面：|x|+|y|+|z|=1 关于 yOz面对称，则 由于|y|关于变量 x，y，z 都是偶函数，而曲面：|x|+|y|+|z|=1 关于三个坐标面 xOy 面，yOz 面， zOx 面都对称，则其中 1 为 在第一卦限内的部分，即：x+y+z=1，(x0，y0 ，z0)【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 4【试题解析】 令 S为 xOy 面上
11、圆 x2+y24 的下侧，则【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 利用直角坐标系下的“先二后一”【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 0【试题解析】 =-10x(1+x)+x2dx+01x(1 一 x)一 x2dx=-10(2x2+x)dx+01(x 一 2x2)dx=-11xdx+012x2dx012x2dx=0。【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 记平面 z=x+y 包含在柱面 x2+y2=1 内的部分上侧为 S，其法线向量为n=一 1，
12、一 1，1 其方向余弦为 由斯托克斯公式得【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 其中D=(x，y)|x0，y0,x+y1，【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 柱面 x2+y2=1 与平面 y+z=0 的交线的参数方程为则 Lzdx+ydz=02sin2tsintcostdt=【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 取 1 为 xOy 平面上被圆 x2+y2=1 所围部分的下侧，记 为由 与1 围成的空间闭区域，则因此 I=2 一 3=一 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20
13、 【正确答案】 (I)如图，设 C 是半平面 x0 内的任一分段光滑简单闭曲线，在C 上任意取定两点 M，N，作围绕原点的闭曲线 同时得到另一围绕原点的闭曲线 根据题设可知根据第二类曲线积分的性质，利用上式可得比较、两式的右端，得由得 (y)=一y2+c，将 (y)代入得 2y5 一 4cy3=2y5，所以 c=0，从而 (y)=一 y2【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 由格林公式知，对 D 内的任意有向简单闭曲线 L，的充分必要条件是：对任意(x，y)D，有由于对任意的(x，y)D 及 t0 都有 f(tx，ty)=t-2f(x，y) 两边对
14、 t 求导，得 xf1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)=一 2t-3f(x，y)令 t=1，得2f(x，y)+xf 1(x，y)+yf 2(x，y)=0【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 补 xOy 面上的平面 S1： 其法线方向与 z 轴负方向相同，与 S1 围成的区域记为 ，则【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 Lsin2xdx+2(x21)ydy=0sin2x+2(x21)sinx.cosxdx【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设 1 为单位球面 x2+y2+z2=1 的外侧，则根据高斯公式所以 I=4【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 椭球面 S 上点
15、P(x，y，z)处的法向量是 n=2x，2y-z ，2zy点P 处的切平面与 xOy 面垂直的充要条件是 n.k=0(k=0，0，1) 即 2z 一 y=0所以点 P 的轨迹 C 的方程为 ，即 取 D=(x，y)|x2+ 1)，记的方程为 z=z(x，y) ，(x，y)D，由于【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 因为 f(1，y)=0 ，f(x，1)=0，所以 fy(1，y)=0，f x(x，1)=0 从而 I=01xdx01yfxy(x，y)dy= 01xyfx(x,y)|y=0y=1 一 01f【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 取 L1 为有向线段 x=0，y 从 2 到 0；由 L 与 L1 围成的平面区域记为 D根据格林公式，得【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 (I)直线 L 的方程为 写成参数式为设(x，y，z) 为曲面 上的任一点，则所以曲面的方程为 x2+y2 一 2z2+2z=1其中Dz=(x，y)|x 2+y22z2 一 2z+1所以【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 设 S 为平面 z=1 包含在曲面 z=x2+y2 之内部分的下侧，则注意到 关于 yOz 面和 zOx 面都对称，则【知识模块】 高等数学
