1、考研数学一（行列式）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 1， 2， 1， 2， 都是 3 维列向量，且行列式 1， 1， 1， 2， 2， 1， 2， 2，3， 那么2， 1 2， 12 2( )（A）18（B） 36（C） 64（D）962 设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D( )（A）0（B） a2（C） a2（D）na 23 设 A 是 3 阶矩阵，其中 a110，A ija ij，(i 1， 2，3，j 1，2，3)，则2A T( )（A）0（B） 2（C） 4（D）84 4 阶行列式 的值等于
2、( )（A）a 1a2a3a4b 1b2b3b4（B） a1a2a3a4b 1b2b3b4（C） (a1a2b 1b2)(a3a4b 3b4)（D）(a 2a3 b2b3)(a1a4b 1b4)5 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（A）当 mn，必有行列式AB0（B）当 mn，必有行列式AB0（C）当 nm，必有行列式AB0（D）当 nm，必有行列式A06 设 1， 2， 3， 1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 1， 2， 3， 1m， 1， 2， 2， 3n，则 4 阶行列式 3， 2， 1， 1， 2等于( )（A）mn（B） (mn)（C） nm（D）m
3、n7 设 ，且A m，则B( )（A）m（B） 8m（C） 2m（D）2m8 1， 2， 3， 1， 2 均为 4 维列向量，A( 1， 2， 3， 1)，B( 3， 1， 2， 2)，且A1，B2，则AB( )（A）9（B） 6（C） 3（D）19 设矩阵 A 是满秩的，则直线 L1： 与直L2： ( )（A）相交于一点（B）重合（C）平行但不重合（D）异面二、填空题10 设 3 阶行列式 D，的第 2 行元素分别为 1、2 、3，对应的代数余子式分别为3、2、1，则 D3_11 如果 的代数余子式 A121，则代数余子式 A21_12 如果 A (4，5，6)，则_13 行列式 的结果是_
4、14 设 ，则A TB_15 已知 3 阶行列式 _16 四阶行列式 _17 设 n 阶矩阵 A 则A_18 行列式 D _19 已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的 3 阶矩阵，则D _20 设 f() ，则 f(1)f()_ 21 方程A 0 的根是_ 22 在 Oy 平面上，平面曲线方程 y ，则平面曲线与 轴的交点坐标是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 设 证明：行列式A (n1)a n24 证明： a nna n-1n-1a 1a 025 计算： 其中未写出的元素都是 0考研数学一（行列式）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一
5、个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查行列式的性质，利用性质 1， 2， 1 2 1， 2， 1 1， 2， 2和k 1， 2， 3k 1， 2， 3，则有 2， 1 2， 12 22， 1， 12 22 ， 2， 1 2 2， 1， 12 ， 1，2 22， 2， 12， 2，2 2 2 1， 1， 4 1， 2，2 2， 1，4 2， 2， 23 43234336 所以应选 B【知识模块】 行列式2 【正确答案】 A【试题解析】 按这一列展开，Da 1jA1ja 2jA2ja 2njA2njaA 1jaA 2jaA 2nj，并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个
6、为 a，n 个为a，从而行列式的值为零所以应选 A【知识模块】 行列式3 【正确答案】 D【试题解析】 2A 33T2 3A T8A，且由已知故A*A T 又由 AA*AA TAE，两边取行列式，得 AA TA 2AEA 3， 即 A 2(A1)0，又 a110，则 Aa 11A11a 12A12a 13A13a 112a 122a 1320 故A 1，从而2A T8，所以应选 D【知识模块】 行列式4 【正确答案】 D【试题解析】 根据行列式的按 k 行(列)展开法则，将此行列式第 2、3 行(列)展开，得 D (a 2a3b 2b3)(a1a4b 1b4)， 所以应选D【知识模块】 行列式
7、5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 AB 是 m 阶方阵，且r(AB)minr(A)，r(B)minm，n ，所以当 mn 时，必有 r(AB)m，从而AB0，所以应选 B【知识模块】 行列式6 【正确答案】 C【试题解析】 由行列式的性质：互换两行(列)，行列式变号，得 3， 2， 1，( 1 2) 3， 2， 1， 1 3， 2， 1， 2 1， 2， 3， 1 1， 2， 2， 3 nm 所以应选 C【知识模块】 行列式7 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 行列式8 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵加法公式，得 AB( 1 3， 2 1， 1 2)，结合行列式的性质有
8、AB 1 3， 2 1， 3 2， 1 2 2( 1 2 3)，2 1， 3 2， 1 2 2 1 2 3， 2 1， 3 2， 1 2 2 1 2 3， 3， 1， 1 2 2 2， 3， 1， 1 2 2 1， 2， 3， 1 2 2(AB)6【知识模块】 行列式9 【正确答案】 A【试题解析】 记 s1(a 1a 2，b 1b 2，c 1c 2)，s 2(a 2a 3，b 2b 3，c 2c 3)，由矩阵 A 满秩的性质，可知可见 s1 与 s2 必不平行，故选项 B、C 错误 取 L1 上的点 M1(a1，b 1， c1)与 L2 上的点 M3(a3，b 3，c 3)，因为两直线异面的
9、充要条件是混合积(s 1s2).M1M30 而此处(s 1s2).M1M3，故 L1 与 L2 共面 综合上述可知，L 1 与 L2 相交于一点，故选 A【知识模块】 行列式二、填空题10 【正确答案】 4【试题解析】 根据行列式的求解方法，行列式的值等于它的任一行元素与其相应的代数余子式乘积之和，故 D 3a 21A21a 22A22a 23A231(3)(2)2 31 4【知识模块】 行列式11 【正确答案】 2【试题解析】 根据代数余子式的定义可知 A 12(1) 1+2 (54)1， 因此可得 1所以 A21(1) 2+1 2【知识模块】 行列式12 【正确答案】 0【试题解析】 令
10、M ，N(4，5，6) 因为 r(MN)r(M)1，即 r(A)1，又A0，则 r(A)1，所以 r(A)1，因此A0【知识模块】 行列式13 【正确答案】 2( 3 y3)【试题解析】 将后两列加到第一列上【知识模块】 行列式14 【正确答案】 140【试题解析】 因为 A 是一个对称矩阵，所以 ATA ，因此所以可得A TB140【知识模块】 行列式15 【正确答案】 【试题解析】 结合行列式的性质：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面，即【知识模块】 行列式16 【正确答案】 15【试题解析】 利用行列式的性质：把行列式的某一行(列)的各元乘以同一数然后加到另一
11、行(列)对应的元素上去，行列式不变；上(下)三角形行列式的运算对已知行列式作变换，则【知识模块】 行列式17 【正确答案】 2(n2)!【试题解析】 运用行列式的性质，把第 2 行所有元素乘以1 加到其他各行所对应的元素上，再将第 1 行所有元素乘以 2 加到第 2 行相应的元素上，可得【知识模块】 行列式18 【正确答案】 120【试题解析】 利用行列式的性质，将行列式第四行的各元素加到第一行相应元素上后，提出公因子 10，然后将第四行逐行换至第二行，即 原式10(21)(31)(41)(3 2)(42)(43)120【知识模块】 行列式19 【正确答案】 【试题解析】 根据行列式按行(列)
12、展开法则，得 D 【知识模块】 行列式20 【正确答案】 6 2【试题解析】 【知识模块】 行列式21 【正确答案】 a 1，a 2， a3，(a 1a 2a 3)【试题解析】 由观察可知， 1a 1 时，1、2 行对应元素相等，A 0； 2a 2时，2、3 行对应元素相等，A0， 3a 3，时， 3、4 行对应元素相等，A0 又由行列式的每行元素和为 a 1a 2a 3，将 2、3、4 列各元素加到第 1 列相应元素上去，且提取公因式得 A(a 1a 2a 3)0，故有 (a 1a 2a 3) 所以方程是一元四次方程，四个根依次是 a1，a 2，a 3，(a 1a 2a 3)【知识模块】 行
13、列式22 【正确答案】 (2，0) ，(3，0)【试题解析】 曲线 y 与 轴(即 y0)的交点为方程组的解，行列式 为范德蒙德行列式，即有 y(32)( 2)( 3)0，解得 2 ，3，故曲线与 轴的交点坐标为(2 ，0) ， (3，0)【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 数学归纳法 记 DnA 以下用数学归纳法证明 Dn(n1)a n 当 n1 时，D 12a ，结论成立 当 n2 时，D2 3a 2，结论成立 假设结论对小于 n 的情况成立，将 D。按第一行展开，则有 故A(n1)a n【知识模块】 行列式24 【正确答案】 可利用递推法证明，显然 D1a n，根据上面的结论有 D n+1D na 0(D n-1a 1)a 0 2Dn-1a 1a 0 ND1 a 1a 0右边， 所以，对于 n 阶行列式命题成立【知识模块】 行列式25 【正确答案】 该行列式只有两条对角线上有元素，其余均为 0，可以按照其中一行展开，找出递推关系式由此得递推公式 D2n(a ndnb ncn)D2n-n按照递推公式逐层代入得 D2n (aidib ici)D2 而 D2 a 1d1b 1c1 因此原行列式D2n (a idib ici)【知识模块】 行列式
