1、考研数学一（综合）模拟试卷 49 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，f X(x)，f Y(y)分别表示X，Y 的概率密度，则在 Y=y 的条件下，X 的条件概率密度 fX 丨 Y(x 丨 y)为（A）f X(x)（B） fY(y)（C） fX(x)fY(y)（D）f X(x)/fY(y)2 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y 的相关系数等于（A）-1（B） 0（C） 1/2（D）13 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，且它们不相
2、关，则（A）X 与 Y 一定独立 （B） (X，Y)服从二维正态分布（C） X 与 Y 未必独立（D）X+Y 服从一维正态分布4 设随机变量 Xt(n)(rt1)，Y=1/X 2 则（A）Y-X 2(n) （B） Y-X2(n-1)（C） Y-F(n，1)（D）Y-F(1，n)5 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若孝 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（A）不存在（B）仪含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量6 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m
3、，系数矩阵 A 的秩为r，则（A）r=m 时，方程组 Ax=b 有解（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（C） m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（D）rm 时仅有零解（B）当 nm 时必有非零解（C）当 mn 时必有非零解（D）当 mn 时仪有零解8 设 A 为 43 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k1，k 2 为任意常数，则 Ax= 的通解为（A）( 1+3)/2+k1(2-1)（B） (2-3)/2+k1(2-1)（C） (2+3)/2+k1(2-1)+k2(3-1)（D）( 2-3)/2+k1(2-1)+k2(3-1)9 设有
4、齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A) 秩(B)：若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题中正确的是（A） （B） （C） （D） 9 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组(I) ：AX=0 和()：ATAX=0，必有（A）() 的解是 (I)的解，(I)的解也是()的解（B） ()的解是(I)的解，但 (I)的解不是()的
5、解（C） (I)的解不是 ()的解， ()的解也不是(I)的解（D）(I)的解是()的解，但()的解不是(I)的解10 设向量组 I： 1， 2，., r 可由向量组： 1， 2，., s 线性表示，则（A）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组 I 必线性相关11 设 A，B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关12 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特
6、征值，对应的特征向量分别为 1， 2 则 1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=013 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关14 设向最组 1， 2， s 线性无关，则下列向量组线性相关的是（A） 1-2， 2-3
7、， 3-1（B） 1+2， 2+3， 3+1（C） 1-22， 2-23， 3-21.（D） 1+22， 2+23， 3+2115 设有向量组 1=(1，-1 ，2，4)， 2=(0，3，1，2)， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，-2，2，0) ， 5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 2， 5（D） 1， 2， 4， 516 设向量 可由向量组 1， 2，., m 线性表示，但不能由向量组(I)：1， 2，., m-1 线性表示，记向量组()： 1， 2，., m-1， ，则（A） m 不能由 (I)线性表示，
8、也不能由()线性表示（B） m 不能由(I)线性表示，但可由()线性表示（C） m 可由(I)线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 (I)线性表示，但小可由()线性表示17 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵已知 n 维列向量口是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1AP)T 属于特征值 A 的特征向量是（A）P -1（B） PT（C） P（D）(P -1)T18 设 A、B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则（A）E-A=E-B （B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常
9、数 t，tE-A 与 tE-B 相似二、填空题19 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则层(XY 2)=_20 某流水生产线每个产品不合格的概率为 p(00)，且二次方程 y2+4y+X=0 无实根的概率为 1/2，则 =_.22 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱仪装有 3 件合格品从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，乙箱中次品件数 X 的数学期望=_； (2)从乙箱中任一件产品是次品的概率=_23 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 04，则 X2 的数学期望 E(X2)=_.24
10、 将长度为 1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 _.25 设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P丨 X-E(X)丨2_.26 设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是_.27 设 A 为 2 阶矩阵， 1， 2 为线性无关的 2 维列向量A 1=0，A 2=21+2，则A 的非零特征值为_. 28 若 3 维列向量 ， 满足 T=2，其中 T 为 为转置，则矩阵 T 的非零特征值为29 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换 x=Py可化成标准形 f=6y
11、12，则 a=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。30 设向量 1， 2，., t 是齐次方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组Ax=0 的解即 A0试证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关 31 设 A，B 为同阶方阵，如果 A，B 相似，试证 A，B 的特征多项式相等；考研数学一（综合）模拟试卷 49 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 综合2 【正确答案】 A【知识模块】 综合3 【正确答案】 C【知识模块】 综合4 【正确答案】 C【知识模块】 综合5 【正确答案】 B【试题解
12、析】 因为 12，知 1-2 是 Ax=0 的非零解，故秩 r(A)*0，说明有代数余子式 Aij0，即丨 A 丨中有 n 一 1 阶于式非零因此秩 r(A)=n-1那么 n-r(A)1l，即 Ax=0 的基础解系仪含有一个非零解向量应选(B) 【知识模块】 综合6 【正确答案】 A【知识模块】 综合7 【正确答案】 C【知识模块】 综合8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2， 3 是其次方程无关的解，那么 2-1， 3-1 是 Ax=0 的 2 个线性无关的解.【知识模块】 综合9 【正确答案】 B【知识模块】 综合9 【试题解析】 若 是(I)的解，则 A=0，那么(A TA)=
13、AT(A)=AT0=0，即 是()的解。 若 a 是() 的解，有 ATA=0，用 T 左乘得 TATA=0即(A) T(A)=0亦即 A 自己的内 积 (A，A)=0，故必有 A=0，即 是(I)的解 所以(I)与()同解，故应选 (A)【知识模块】 综合10 【正确答案】 D【试题解析】 根据定理“若 1， 2，., s 可由 1， 2，., t 线性表出，且 st，则1， 2，., s 必线性相关 ”，即若多数向量可以由少数向量线性表出，则这多数向量必线性相关，故应选(D)【知识模块】 综合11 【正确答案】 A【试题解析】 设 A 是 mn 曰是 ns 矩阵，且 AB=0，那么 r(A
14、)+r(B)n 由于A，B 均非 0，故 0T。，显然 AB=0但矩阵 A 的列向量组线性相关，行向量组 线性无关；矩阵 B 的行向量组线性相关，列向量组线性无关由此就可断言选项(A)正确【知识模块】 综合12 【正确答案】 B【试题解析】 按特征值和特征向量的定义，有 A(1+2)=A1+A2=11+22 1， A(1+2)线性无关 k 11+k2A(1+2)=0，k 1，k 2 恒为 0. (k1+1k2)1+2k22=0，k 1k2 为 0 不同特征值的特征向量线性无关，所以 1， 2 线性无关【知识模块】 综合13 【正确答案】 A【试题解析】 因为(A 1， A2，A s)=A(1，
15、 2， s)，所以 r(A1，A 2， ，A s)r(1， 2， s) 1， 2， s 线性相关，有r(1， 2， ， s)1，A 2，A s)1，A 2，A s 线性相关，故应选(A) 注意，当 1， 2， s 线性无关时，若秩 r(A)=n，则 A1，A 2，A s 线性尢关，否则 A1，A 2，A s 可以线性相关因此，(C)，(D) 均不正确【知识模块】 综合14 【正确答案】 A【试题解析】 ( 1-2)+(2-3)+(3-1)=0， 所以向量组 1-2， 2-3， 3-1 线性相关，故应选(A) 至于(B)、(C)、(D)的线性无关性可以用( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)C
16、 的方法来处理【知识模块】 综合15 【正确答案】 B【知识模块】 综合16 【正确答案】 B【试题解析】 因为 可由 1， 2，., m 线性表示，故可设 =k11+k22+.+kmm 由于 小能由 1， 2，., m-1 线性表示，故上述表达式巾必有 km0因此 m=1/km(-k11-k22-.-km-1m-1) 即 m 可由()线性表示，可排除(A)、(D) 若 m 可由(I)线性表示，设 m=l11+l22+.+lm-1m-1 则 =(k 1+kml1)1+(k2+kml2)2+(km-1+km-1lm-1)m-1 与题设矛盾，故应选 (B)【知识模块】 综合17 【正确答案】 B【
17、试题解析】 因为 A 是实对称矩阵，故(P -1AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(PT)-1 那么，由 A= 知(P -1AP)T(PT)=PTA(PT)-1(PT)=PTA=A(PT) 所以应选(B)【知识模块】 综合18 【正确答案】 D【知识模块】 综合二、填空题19 【正确答案】 ( 2+2)【试题解析】 由于(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，说明 X，Y 独立同分布，故 X 与 Y2 也独立由 期望的性质有 E(XY2)=EXEY2，又EX=，EY 2=DY+(EY)2=2+2，所以 E(XY 2)=(2+2)【知识模块】 综合20 【正确答案】 1/p,(1-
18、p)/p 2【知识模块】 综合21 【正确答案】 4【知识模块】 综合22 【正确答案】 3/2,1/4【知识模块】 综合23 【正确答案】 18.4【知识模块】 综合24 【正确答案】 -1【知识模块】 综合25 【正确答案】 1/2【知识模块】 综合26 【正确答案】 n-nn-1【知识模块】 综合27 【正确答案】 1【试题解析】 用定义由 A1=0=01，A(2 1+2)=A2=21+2，知 A 的特征值为1 和 0因 此 A 的非 0 特征值为 1 或者，利用相似，有 A(1， 2)=(0，2 1+2)=(1， 2)【知识模块】 综合28 【正确答案】 2【试题解析】 矩阵 A=T
19、的秩为 1.【知识模块】 综合29 【正确答案】 2【试题解析】 二次型 xTAx 经正交变换化为标准形时，标准形平方项的系数就是二次型矩阵 A 的特征值，所以 6，0，0 是 A 的特征值【知识模块】 综合三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。30 【正确答案】 证法一：(定义法) 若有一组数 k，k 1，k 2，k t，使得 k+k1(+1)+k2(+2)+kt(+t)=0， 则因 1， 2，., t 是 Ax=0 的解，知Ai=0(i=1，2，t)，用 A 左乘上式的两边，有 (k+k 1+k2+kt)A=0 由于A0，故 k+k1+k2+kt=0 重新分组为(k+k 1+k
20、2+kt)+k11+k21+ttt=0 k11+k21+ttt=0 由于 1， 2，., t 是基础解系，它们线性无关，故必有 k1=0， k2=0， ，k t=0 k=0 因此，向量组 ，+ 1，.,+ t 线性无关 证法二：(用秩) 经初等变换向量组的秩不变把第 1 列的一 1 倍分别加至其余各列，有 (， +1，+ 2,.,+t)(， 1， 2， t) 因此 r(，+ 1，+ 2,.,+t)=r(， 1， 2， t) 由于 1， 2， t 是基础解系，它们是线性无关的，秩r(1， 2， t)=t，又 必不能由 1， 2， t 线性表出(否则 A=0)，故 r(， 1， 2， t，)=t+1 所以 r(，+ 1，+ 2,.,+t)=t+1 即向量组，+ 1，+ 2,.,+t 线性无关【知识模块】 综合31 【正确答案】 若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，故 丨 E-B 丨=丨 E-P-1AP 丨= 丨 P-1AEP-P-1AP 丨 =丨 P-1(E-A)P 丨=丨 P-1 丨丨 E-A 丨丨 P 丨=丨 E-A 丨【知识模块】 综合
