1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 75 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 向量组(I) 1， 2， s 其秩为 r1，向量组(II) 1， 2， s 肛其秩为 r2，且i(i=1， 2， ，s)均可由向量组 (I)1， 2， s 线性表出，则必有 ( )（A） 1+1， 2+2， s+s 的秩为 r1+r2（B） 1 1， 2 2， s s 的秩为 r1r 2（C） 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r1+r2（D） 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r12 设矩阵 有三个线性无关的特征向量，则 a 和 b 应满足的条件为( )（A）a
2、=b=（B） a=b= 1（C） ab0（D）a 十 b=03 已知 1， 2 是方程组(EA)X=0 的两个不同的解向量，则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量是( )（A） 1（B） 2（C） 1 2（D） 1+2二、填空题4 设矩阵 则行列式3(A *)1 A=_5 已知 4 维列向量 1， 2， 3 线性无关，若 i(i=1，2，3，4)非零且与 1， 2， 3均正交则秩 r(1， 2， 3， 4)=_6 已知 1=1，1，0，= 20，1，1 ， 3=1，2，1是 R3 的一个基，则=2， 0，0 在该基下的坐标是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设
3、A 是 n 阶方阵，且 A2=A，证明： A+E) 2=E+(2k1)A 8 设齐次线性方程组 其中 a0，b0，n2 试讨论 a，b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解? 在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解9 已知 1=(1，1，0，0) T， 2=(1，0，1，0) T， 3=(1，0，0，1) T 是齐次线性方程组()的基础解系， 1=(0，0，1，1) T， 2=(0，1，0，1) T 是齐次线性方程组()的基础解系，求方程组() 与( ) 的公共解10 设 若 Tx=Tx+3，求此方程组的通解10 设 A 是 33 矩阵， 1， 2， 3 是三维列向量，且线性无
4、关，已知A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+211 证明：A 1，A 2，A 3 线性无关12 求A13 设 *是非齐次方程组 AX=b 的一个特解， 1， 2， nr 是对应齐次方程组AX=0 的基础解系令 0=*， 1=1+*， 2=2+*， nr =nr +*证明：非齐次方程的任一解 都可表示成 =00+11+22+ nr nr ，其中0+1+2+ nr =114 设 A 是三阶实矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同的特征值， 1， 2， 3 是三个对应的特征向量，证明：当 230 时，向量组 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关15 已知 n 阶矩阵 A=aij
5、nn 有 n 个特征值分别为 1， 2， n，证明：15 设 n 阶方阵 A0，满足 Am=0(其中 m 为某正整数) 16 求 A 的特征值17 证明：A 不相似于对角矩阵18 证明：E+A=119 若方阵 B 满足 AB=BA，证明：A+B=B20 设 是矩阵 A1 属于特征值 0 的特征向量，若A= 2，求 a，b， c 及 0 的值20 A 是 3 阶实对称矩阵，其主对角线上元素都是 0，并且 =(1，2，1) T 满足A=221 求矩阵 A22 求正交矩阵 P 使 P1 AP 可相似对角化23 已知 问 a，b 取何值时，向量组 1， 2， 3 与 1， 2 等价?24 设二次型 f
6、(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3 的矩阵 A 满足AB=B，其中 用正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换考研数学一（线性代数）模拟试卷 75 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 设 1， 2， s 的极大无关组为 1， 2， 则i(i=1， 2，s)均可由 1， 2， 线性表出，又 i(i=1，2，s) 可由()表出，即可由 1， 2， 线性表出，即 1， 2， 也是向量组1， 2， s， 1， 2， ， s 的极大线性无关组，故r(1， 2， ， s， 1
7、， 2， s)=r1，故选 D【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 A 的特征方程为解之得到 A 的特征值为1=2=1， 3=1由于对应于不同特征值的特征向量线性无关，所以当 A 有三个线性无关的特征向量时，对应于特征值 1=1=1 应有两个线性无关的特征向量，从而矩阵 1EA 的秩必为 1由可知，只有 a+b=0 时，r(1EA)=1此时 A 有三个线性无关的特征向量故选 D【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因 12，故 1 20，且仍有关系 A(1 2)=1 2=(1 2)，故 1 2 是特征向量 而 A 中 1，B 中 2，D 中 1+2 均有可能
8、是零向量而不成为A 的特征向量故选 C【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 应填【试题解析】 由题设易知 A=18，A *=AA 1 ，(A *)1 = 所以 3(A *)1 A【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 应填 1【试题解析】 记 A 是秩为 3 的 34 阶矩阵，由于 i(i=1，2，3，4)与1， 2， 3 均正交故 i 是齐次方程组 Ax=0 的非零解又因 i 非零，故1r(1， 2， 3， 4)nr(A)=1 所以秩 r(1， 2， 3， 4)=1【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 应填(1，11) T【试题解析】 解方程 x11+x22+x33=a，得(x
9、 1，x 2，x 3)T=(1，1，1) T【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 用归纳法 当 k=1 时，A+E=A+E，成立 假设 k1 时等式成立，即(A+E) k1 =E+(2k1 1)A 证明 k 时成立， (A+E) k=(A+E)(A+E)1 =(A+E)E+(2k1 1)A =E+A+(2 k1 1)A+(2 k1 1)A 2 =E+2(2k1 1)+1A =E+(2 k1)A 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 方程组的系数行列式当 ab 且 a(1n)b 时，方程组仅有零解当 a=b 时，对系数矩阵 A 作行初等变换，
10、有原方程组的同解方程组为 x1+x2+xn=0，其基础解系为 1=(1，1，0，0) T， 2=(1，0，1，0)T， 3=(1，0，0，1) T方程组的全部解是 x=c11+c22+cn1 n1 (c1，c 2，c n1 为任意常数) 当 a=(1n)b 时，对系数矩阵 A 作行初等变换，有原方程组的同解方程组为 其基础解系为 =(1，1，1) T 方程组的全部解是 x=c(c 为任意常数)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 方程组()与() 的通解分别是 k 11+k21+k31 与 l11+l22 若有不全为零的常数 a1，a 2，a 3，b 1，b 2，使 a 11+a22+a33
11、=b11+b22，则 b11+b22 就是方程组() 与 ()的非零公共解，对于 a11+a22+a33b 11b 22=0，对系数矩阵作初等行变换，有通解为t(1，1，0，1，1) T，即 a1=t， a 2=t， a 3=0， b 1=t， b 2=t所以方程组()与()的公共解为 t(1 2)=(0，t，t，0) T【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 由于 所以方程组化简为 对增广矩阵作初等行变换，有此时，方程组有无穷多解(3，0，0) T+k1(4，1，0) T+k2(2，0，1) T【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 A 1，A 2，A 3=2+3，
12、 3+1， 1+2=1， 2， 31， 2， 3C，其中 C 是可逆阵，故A1， A2，A 3和 1， 2， 3是等价向量组，故 A1，A 2，A 3 线性无关【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 A 1，A 2，A 3=A1， 2， 3=1， 2， 3 两边取行列式，得【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 AX=b 的任一解 可表示成 = *+k11+k22+knr nr =*(1k 1k 2k nr )+k1(1+*)+k2(2+*)+knr (nr +*) 记 =00+11+22+ nr nr ， 其中0+1+ n r=1k 1k 2k nr +k1+k2+knr =1【知识模块
13、】 线性代数14 【正确答案】 因 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3) =1， 11+22， 121+222+323=1， 2， 3 因 123，故 1， 2， 3 线性无关，由上式可知1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关 =2320，即 230【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (1)设 A 的 n 个特征值为 1， 2， n，则=( 1)( 2)( n)比较式常数项的系数 (即令 =0)(2)比较式两边n1 的系数，左边 n1 的系数只能在行列式的主对角元的乘积项( a 11)(a 22)?(a m)中得到 n1 系数为【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数1
14、6 【正确答案】 设 为 A 的任一特征值，x 为对应的特征向量，则 Ax=x，两端左乘 A，得 A 2x=Ax=2x，两端再左乘 A，得 A3x=2Ax=3x，如此做下去，可得A mx=mx因为 A m=0，得 mx=0，又 x0，故有 =0，所以幂零矩阵 A 的特征值全为零【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 A 的特征向量为方程组(0EA)x=0 的非零解，因为 A0，有r(A)1 ，故方程组 Ax=0 的基础解系所含向量的个数，即 A 的线性无关特征向量的个数为 nr(A)n 1 n，所以 n 阶方阵 A 不相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 要证明E+A=l
15、，由特征值的性质知，只要证明 E+A 的特征值全部为 1 即可设 为 E+A 的任一特征值，x 为对应的特征向量，则有(E+A)x=x，即 Ax=(1)x，故 1 为 A 的特征值， (1)中已证 A 的特征值全为零，故有 1=0，得 =1，由 的任意性知 E+A 的特征值全为 1，因此 E+A 的全部特征值的乘积等于 1，即E+A=1【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 当方阵 B 可逆时，欲证的等式为 A+B=BB 1 A+B=1B 1 A+E=1利用上一题，要证B 1 A+E=1 ，只要证 B1 A 为幂零矩阵即可，等式 AB=BA 两端左乘 B1 ，得 B1 AB=A，两端右乘 B
16、1 ，得 B1 A=AB1 ，即 A 与 B1 可交换，故由 Am=0，得(B 1 A)m=(B1 )mAm=0，所以，当方阵 B 可逆时结论成立 当 B 不可逆时，即B =0 时，欲证的等式成为A+B=0 因为B=0，故 B 有特征值 0，即存在非零列向量考，使 B=0，故对任意正整数 K，有 Bk=0注意 A 与 B 可交换，有 即齐次线性方程组(A+B)mx=0 有非零解 x=，故该方程组的系数行列式为零，即 (A+B) m=A+B m=0， 故A+B =0，因此当 B 不可逆时结论也成立 故得证【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 在 A1 =0 两边左乘 A 得 0A=，即由此可
17、得则有 a(b6)=0 若 a=0，由、解出 c=2， 0=1，代入 得 b=2 若b=6，由 、 解出 c= 4， 0=1，代入 得 a=2【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设 由 A=2 得到 得a12=2，a 13=2，a 23=2故【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式得到矩阵 A 的特征值为 1=2=2， 3=4 对于 =2，由(2EA)x=0，得到属于 =2 的特征向量 1=(1，2，1)T， 2=(1，0，1) T 对于 =4，由(4EA)x=0，得到属于 =4 的特征向量 3=(1，1，1) T 因为 1， 2 已正交，
18、故只需单位化，有【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 A=(1， 2， 3， 1， 2)=所以当 a12，b4 时，r(1， 2， 3， 1， 2)=4，r( 1， 2， 3)=34，故 1， 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，而 r(1， 2)=24，故 1， 2， 3 也不能由 1， 2 线性表示； 当 a=12，b4 时，r(1， 2， 3， 1， 2)=3，r( 1， 2， 3)=23，故 1， 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，而 r(1， 2)=23，故 1， 2， 3 也不能由 1， 2 线性表示； 当 a12，b=4 时，r(1， 2， 3， 1， 2)=3，
19、r( 1， 2， 3)=3，故 1， 2 可由 1， 2， 3 线性表示，且表示式唯一，而 r(1， 2)=23，故 1， 2， 3 也不能由 1， 2 线性表示； 当a=12，b=4 时，r( 1， 2， 3， 1， 2)=2，r( 1， 2， 3)=2，故 1， 2 可由1， 2， 3 线性表示，且表示式不唯一，而 r(1， 2)=2，故 1， 2， 3 也可由1， 2 线性表示，且表示唯一 综上所述，当 a=12，b=4 时，向量组 1， 2， 3与 1， 2 等价【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 AB=B 知，矩阵 B 的每一列 i 满足 Ai=i(i=1，2，3)显然B 的第 1，2 列 线性无关，所以 =1 是矩阵 A 的特征值(至少是二重)， 1， 2 是 =1 的线性无关的特征向量根据 1+1+3=1+4+1，故知矩阵 A有特征值 3=4因此，矩阵 A 的特征值是 1，1，4 设 3=4 的特征向量为3=(x2， x1， x3)T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有解出 3=(1，2，1) T对 1， 2 正交化，令1=1=(1，0， 1)T，则 2=2 = (1，1， 1) T再对 1， 2， 3 单位化，得 令 Q=1， 23，则由正交变换 x=Qy，二次型可化为标准形 f=y12 +y22 +4y32 【知识模块】 线性代数
