1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2 是对应齐次线性方程组 AX=0 的基础解系，k 1，k 2 为任意常数，则方程组 AX=b 的通解(一般解) 是2 要使 都是线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵 A 为3 已知 P 为 3 阶非零矩阵，且满足 PQ=0，则（A）t=6 时 P 的秩必为 1（B） t=6 时 P 的秩必为 2（C） t6 时 P 的秩必为 1（D）t6 时 P 的秩必为 2 4 设 则 3 条直线a1x+b1y+c1=
2、0，a 2x+b2y+c2=0，a 3z+b3y+c3=0(其中 ai2+bi20，i=1，2，3)交于一点的充要条件是（A） 1， 2， 3 线性相关（B） 1， 2， 3 线性无关（C）秩 r(1， 2， 3)=秩 r(1， 2)（D） 1， 2， 3 线性相关， 1， 2 线性无关5 设有三张不同平面的方程 ai1x+ai2y+ai3z=bi，i=1，2，3，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2，则这三张平面可能的位置关系为 ( )6 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则
3、秩(A) 秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解；则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题中正确的是( )（A）（B） （C） （D） 7 设 A=(1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵，A *为 A 的伴随矩阵若(1，0，1，0) T 是方程组 Ax=0 的一个基础解系，则 A*x=0 的基础解系可为 ( )（A） 1， 3（B） 1， 2（C） 1， 2， 3（D） 2， 3， 4 8 矩阵 A= ，若集合 =1，2，则线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为（A）（B） a
4、，d（C） a，d （D）a，d二、填空题9 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n 一 1，则线性方程组 AX=0的通解为_。10 已知方程组 无解，则 a=_11 若方程组 有解，则常数 a1，a 2， a3，a 4 应满足的条件是_12 若 3 阶非零方程B 的每一列都是方程组 的解，则A=_，B =_ 13 设 其中 a1，a 2，a n是两两不同的一组常数则线性方程组 ATx=B 的解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 问 a、b 为何值时，线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多组解? 并求出有无穷多解时的通解15 问 为何值时，线性方程组
5、 有解，并求出解的一般形式16 已知 1=(1，0，2，3) ， 2=(1，1，3，5) ， 3=(1，一 1，a+2 ，1) ，4=(1， 2，4， a+8)及 =(1，1，6+3，5) (1)a 、b 为何值时， 不能表示成1， 2， 3， 4 的线性组合 ? (2)a、b 为何值时， 有 1， 2， 3， 4 的唯一的线性表示式?并写出该表示式17 设 4 元齐次线性方程组(I)为 ，又已知某齐次线性方程组()的通解为 k1(0，1，1，0)+k 2(一 1，2，2，1) (1)求线性方程组 (I)的基础解系； (2)问线性方程组(I)和( )是否有非零公共解 ?若有，则求出所有的非零公
6、共解若没有，则说明理由18 已知线性方程组 的一个基础解系为：(b11，b 12，b 1,2n)T，(b 21，b 22，b 2,2n)T，(b n1，b n2，b n,n)T试写出线性方程组的 通解，并说明理由19 设 1， 2， ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，1=t11+t22， 2=t12+t23， s=t1s+t21，其中 t1，t 2 为实常数试问 t1，t 2 满足什么关系时， 1， 2， ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系20 )已知方阵 A=1 2 3 4， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中 2， 3， 4 线性无关， 1=223如果 =1+
7、2+3+4，求线性方程组 Ax= 的解21 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1：ax+2by+3c=0 l 2：ax+2cy+3a=0 l3：ax+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=022 设有齐次线性方程组 试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解23 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c) ，a，b，c 不全为零，矩阵B= (k 为常数)，且 AB=0，求线性方程组 Ax=0 的通解24 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解 (I)证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2； ()求 a，b 的值及方程组的通解25 设线
8、性方程组 与方程()：x 1+2x2+x3=a 一 1 有公共解，求 a 的值及所有公共解26 设以元线性方程组 Ax=b，其中(I)证明行列式A=(n+1)a n；()当 a 为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求 x1；()当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解27 设 (I)求满足 A2=1，A 23=1 的所有向量2， 3；() 对(I)中的任意向量 2， 3，证明 1， 2， 3 线性无关28 设 A= 已知线性方程组 Ax=b 存在 2 个不同的解 (I) 求，a ； () 求方程组 Ax=b 的通解29 设 A= (I)计算行列式A；() 当实数 a 为何值时，
9、方程组 Ax= 有无穷多解，并求其通解30 设 A= 当 a，b 为何值时，存在矩阵 C 使得 AC 一CA=B，并求所有矩阵 C31 设 A= ，E 为 3 阶单位矩阵(I)求方程组 Ax=0 的一个基础解系；() 求满足 AB=E 的所有矩阵 B考研数学一（线性代数）模拟试卷 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于 (1+2)是Ax=b 的一个解，由于向量组 1， 12与向量组 12等价，故 1， 12线性无关且可作为 Ax=0 的一个基础解系由于非齐次线性方程组 AX=b 的通解等于 AX=b 的任一特解与 A
10、X=0 的通解之和，故知只有(B)正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 1 与 2 线性无关，所以，三元齐次线性方程组 AX=0 的基础解系中至少含 2 个解向量，即 3 一 r(A)2，或 r(A)1，而备选项 B、C 及 D 中的矩阵的秩都大于 1，所以它们都不对，只有备选项(A)正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由 PQ=0，知 Q 的每一列都是线性方程组 PX=0 的解当 t6 时，Q 的列秩为 2，故 PX=0 至少有 2 个线性无关的解，所以其基础解系所含向量个数至少为 2，即 3 一 r(P)2，或 r(P)1；又 P0，有
11、r(P)1，故当 t6 时必有 r(P)=1【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 考虑由 3 条直线的方程联立所得的线性方程组3 条直线交于一点，也就是方程组(I)有唯一解若3=0，则 1， 2， 3 线性相关且方程组(I) 有零解，由二元齐次线性方程组只有零解的充要条件(系数矩阵的秩等于未知量个数)，得 r(1， 2，)=2 ，故此时只有(D)正确 若 30，则(I)为一非齐次线性方程组由非齐次线性方程组有唯一解的充要条件(系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=未知量个数)，得 r(1， 2)=r(1 2 3)=2，即 1， 2 线性无关，而 1， 2， 3 线性相关故只有(D) 正
12、确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 设由三个平面方程联立所得线性方程组为 Ax=b，则由题设条件知Ax=b 有解，且因其导出组 Ax=0 的基础解系所含向量个数为 3 一 r(A)32=1，故 Ax=b 的通解具有如下形式： ，其中 t 为任意常数这显然是一空间直线的方程，故此时三个平面必交于一条直线，因而只有(B)正确【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 首先，4 元齐次线性方程组 A*x=0 的基础解系所含解向量的个数为4 一 r(A*)，其中 r(A*)为 A*的秩，因此求 r(A*)是一个关键其次，由 A
13、x=0 的基础解系只含 1 个向量，即 4 一 r(A)=1，得 r(A)=3，于是由 r(A*)与 r(A)的关系，知r(A*)=1，因此，方程组 A*x=0 的基础解系所含解向量的个数为 4 一 r(A*)=3，故选项(A)、(B)不对再次，由 (1，0，1，0) T 是方程组 Ax=0 或 x11+x22+x33+x44=0的解，知 1+3=0，故 1 与 3 线性相关，于是只有选项(D) 正确【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 对方程组的增广矩阵施行初等行变换(化成阶梯形)：由于方程组有无穷多解，当然不能有唯一解，所以有(a 一 1)(a 一 2)=0，即 a=1
14、或 a=2，此时系数矩阵的秩为 2，由有解判定定理知，当且仅当 a 且 d，所以选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 k(1，1，1) T【试题解析】 因为 Ax=0 的基础解系所含向：量个数为 n 一 r(A)=n 一(n 一 1)=1，故 AX=0 的任一非零解都可作为它的基础解系由已知， =(1，1，1) T 是AX=0 的一个非零解，从而 可作为 AX=0 的基础解系，故得通解为X=k(1，1， ，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 一 1【试题解析】 对方程组的增广矩阵 作初等行变换：由此可知： 当 a3 且 a一 1 时，r(A)
15、= =3，方程组有唯一解； 当 a=3 时，r(A)= =2，方程组有无穷多解； 当 a=一 1 时，r(A)=2 ，而 =3，方程组无解 故当且仅当 a=一 1 时，方程组无解【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 0【试题解析】 a 1+a2+a3+a4=0 对方程组的增广矩阵施行初等行变换：由阶梯形矩阵及方程组 Ax=b 有解判定定理知，方程组有解 a1+a2+a3+a4=0【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 =1，B=0【试题解析】 由条件知方程组的系数行列式为零，即A = =5(一 1)=0，故 =1又由条件知 AB=0，若B0，则 B 可逆，用 B1 右乘 AB=0两端得
16、A=0，这与 A0 矛盾，故B=0 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (1，0，0) T【试题解析】 由于A T=A= (aiaj)0，故方程组 ATx=B 有唯一解，由 Cramer 法则易求出这个唯一解为 x=(1，0，0) T【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 将方程组的增广矩阵 用初等行变换化成阶梯形：于是可知(记方程组的系数矩阵为 A) 当 a1 时，r(A)= =4，因而方程组有唯一解 当 a=1 且 b一 1 时，r(A)=2 ， =3，故方程组无解 当 a=1 且 b=一 1 时，r(A)= 进一步化成简化行阶梯形
17、故得方程组的用自由未知量表示的通解为用对应齐次线性方程组的基础解系表示的通解为【试题解析】 本题主要考查如何根据方程组系数矩阵及增广矩阵的秩来判定解的情况，以及在有解时如何求其通解注意在求解含有参数的方程组时，为了确定矩阵的秩，需要对参数的不同取值进行分类讨论，特别应注意“二分法”例如本题中对参数的分类是 这样分法，既不重复，也不遗漏还应注意在方程组有无穷多解时，当把 化成阶梯形后，应该先选取约束未知量(通常取与阶梯形矩阵中的首非零元对应的未知量为约束未知量)，从而，余下来的未知量自然就是自由未知量了【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 对方程组的增广矩阵进行初等行变换：由阶梯形矩阵知 r
18、(A)=2，如一 +10，则 =3，方程组无解故当且仅当 =1 时，方程组有解，且有无穷多解，此时，阶梯形矩阵为 选取与首非零元对应的未知量 x1、x 2 为约束未知量，则 x3 就是自由未知量了，于是得通解【试题解析】 本题仍然考查方程组解的理论及求解方法注意，当题目对通解的形式没有要求时，给出任意一种形式的通解都是可以的【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 设 =x11+x22+x33+x44，即将上面方程组的增广矩阵用初等行变换化成阶梯形：由此可知 (1)当 a=一 1 且 b0 时，r(A)=2，而 =3，方程组无解，所以 不能表示成 1， 2， 3， 4 的线性组合 (2)当 a
19、一 1 时，r(A)= =4，：疗程组有唯一解，即 可由 1， 2， 3， 4 唯一地线性表出，且有【试题解析】 本题考查非齐次线性方程组解的情况的判定及求解方法注意系数矩阵 A 的秩等于由 A 经初等行变换化成的阶梯形矩阵中非零行的个数，所以分 a一 1 和 a=一 1 两种情况分别讨论【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)由已知，(I) 的系数矩阵为 故(I) 的基础解系可取为：(0 ，0，1，0) ，(一 1，1，0，1) (2)有非零公共解 将( )的通解代入方程组(I) ，则有 解得 k1=一 k2，当 k1=一 k20 时，则向量k1(0，1 ，1，0)+k 2(一 1，
20、2，2，1)=k 2(0，一 1，一 1，0)+(一 1，2，2，1)=k 2(一1，1，1，1) 满足方程组(I)(显然是()的解)，故方程组 (I)、()有非零公共解，所有非零公共解是 k(一 1，1，1，1)(k 是不为 0 的任意常数)【试题解析】 本题(1)求基础解系属基本题目；而(2)主要考查齐次线性方程组通解的概念、两方程组公共解的概念及其求法注意，寻求两方程组(I)与()的公共解，也就是寻求它们的解集合的交集合中的向量，或者说在()的解集合中寻找那些满足方程组(I)的解向量【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 记方程组(I)、( )的系数矩阵分别为 A、B，则可以看出题给的
21、(I)的基础解系中的 n 个向量就是 B 的 n 个行向量的转置向量因此，由(I)的已知基础解系可知 AB T=0 转置即得 BA T=0 因此可知 AT 的 n 个列向量即 A 的 n 个行向量的转置向量都是方程组()的解向量 由于 B 的秩为 n(B 的行向量组线性无关)，故 ()的解空间的维数为 2nr(B)=2nn=n，所以()的任何 n 个线性无关的解就是() 的一个基础解系已知(I) 的基础解系含 n 个向量，即 2nr(A)=n，故r(A)=n，于是可知 A 的 n 个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成() 的一个基础解系，因此() 的通解为 y=c 1(a11，a 12，a
22、 1,2n)T+c2(a21，a 22，a 2,2n)T+cn(an1，a n2，a n,2n)T， 其中 c1，c 2，c n 为任意常数【试题解析】 本题主要考查对矩阵的秩、齐次线性方程组的基础解系和通解等基本概念的理解及灵活应用注意，()是一个 n2n 齐次线性方程组，所以它必然存在基础解系，找到了基础解系，也就有了通解解答中引入系数矩阵的记号，不仅出于使得表述简单明了的目的，特别在讨论解的理论时必然要涉及到方程组的系数矩阵，因而必须引入它们【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由 A1=A(t11+t22)=t1A1+t2A2=0+0=0，知 1 为 Ax=0 的解，同理可知 2，
23、 3， s 均为 Ax=0 的解已知 Ax=0 的基础解系含 s 个向量，故Ax=0 的任何 s 个线性无关的解都可作为 Ax=0 的基础解系因此 1， 2， s为 Ax=0 的基础解系，当且仅当 1， 2， s 线性无关 设有一组数k1，k 2，k s，使得 k 11+k22+kss=0 即(t 1k1+t2k2)1+(t2k1+t1k2)2+(t2ks1+t1ks)s=0，由于 1， 2， s 线性无关，有 (*)上面齐次线性方程组的系数行列式为 故当且仅当 t1s+(一 1)I+st2s1 时，即当 s 为偶数，t 1t2；s 为奇数， t1一 t2 时，齐次线性方程组(*)只有零解，
24、1， 2， s 线性无关，从而可作为 Ax=0 的基础解系【试题解析】 本题综合考查齐次线性方程组的基础解系的概念及其只有零解的条件，向量组线性相关性的概念及其判定注意本题判定 1， 2， s 的线性相关性，属于一种常见题型【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 令 得 x11+x22+x33+x44=1， 2， 3， 4 将 1=223 代入上式，整理后得 (2x 1+x23)2+(一 x1+x3)3+(x4 一 1)4=0 由 2， 3， 4，线性无关，知【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 必要性 设三直线 l1，l 2，l 3 交于一点，则二元线性方程组=3(a+b+c)(ab)
25、2 一(bc) 2+(ca)2及 (a b)2+(bc)(ca)20，(否则 a=b=c，则三条直线重合，从而有无穷多个交点，与交点惟一矛盾)，所以 a+b+c=0 充分性 若 a+b+c=0，则由必要性的证明知 ，又系数矩阵 A 中有一个二阶于式 故秩(A)=2，于是有秩(A)=秩(A)=2，因此方程组(*)有惟一解，即三直线 l1， l2，l 3 交于一点 注释本题在将几何问题转化为代数问题之后，证法 1 主要利用了非齐次线性方程组有惟一解的充要奈件，证法 2 主要利用了 Cramer 法则的结果注意，由于平面直线的方程是二元一次方程，故本题实际上隐含了下述条件：a 与 b 不同时为零，b
26、 与 c 不同时为零，c 与 a 不同时为零，本题两种证法的充分性证明中都用到这些条件【试题解析】 本题在将几何问题转化为代数问题之后，证法 1 主要利用了非齐次线性方程组有惟一解的充要奈件，证法 2 主要利用了 Cramer 法则的结果注意，由于平面直线的方程是二元一次方程，故本题实际上隐含了下述条件：a 与 b 不同时为零，b 与 c 不同时为零，c 与 a 不同时为零，本题两种证法的充分性证明中都用到这些条件【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换：(1)当 a=0时，r(A)=1n，故方程组有非零解，其同解方程组为 x 1+x2+xn=0 由此得基
27、础解系为 1=(一 1，1，0，0) T， 2=(一 1 0，1，0) T， n1=(一1，0，0，1) T，于是方程组的通解为 x=k 11+k22+kn1n1，其中k1，k n1，为任意常数 (2)当 a0 时，对矩阵 B 作初等行变换：可知 a=一时，r(A)=n 一 1n故此时方程组也有非零解，方程组的用自由未知量表示的通解为 x 2=2x1，x 3=3x1，x n=nx1 (x1 任意)，由此得基础解系为 =(1，2，3，n) T 于是方程组用基础解系表示的通解为 x=k，其中 k 为任意常数【试题解析】 对 n 元齐次线性方程组 Ax=0，当 r(A)=rn 时有非零解，此时，为了
28、求出基础解系，应先求出方程组的用自由未知量表示的通解，然后在这个通解中依次令 n 一 r 个自由未知量分别取值为1，0，0；0，1，0；0，0，1，则所得到的 n 一 r 个解1， 2， nr，就是方程组的一个基础解系那么，究竟怎样来选取自由未知量呢?其一般原则是：先在系数矩阵中找到一个 r 阶非零子式(由 r(A)=r 知这样的非零子式必存在)，则可将与这个子式对应的 r 个未知量作为约束未知量，从而方程组的其它 n 一 r 个未知量自然就是自由未知量了，解出由自由未知量表示约束未知量的表达式，就是用自由未知量表示的通解例如，本题中当 a=一 时，r(A)=n 一 1，系数矩阵所化成的矩阵
29、C 的右下角的 n 一 1 阶子矩阵是一个单位矩阵，因此就可选对应的未知量 x1，x 2，x n 为约束未知量，从而 x1 自然就是自由未知量，再通过移项，即求得用自由未知量表示的通解：x2=2x1，x 3=3x1，x n=nx1，自由未知量只有一个，因而令 x1=1，即得基础解系=(1，2，n) T【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 AB=0 知矩阵 B 的每一列都是方程组 Ax=0 的解，因此 Ax=0必有非零解，要求其通解只要求出它的基础解系即可而基础解系所含向量个数等于 3 一 r(A)，所以需要先确定 A 的秩 r(A) 由于 AB=0，故 r(A)+r(B)3，又由a，b
30、，c 不全为零，可知 r(A)1 当 k9 时，r(B)=2，于是 r(A)=1； 当 k=9 时，r(B)=1，于是 r(A)=2 或 r(A)=2 (1) 当 k9 时，因 r(A)=1，知 Ax=0 的基础解系含2 个向量又由 AB=O 可得 由于 1=(1，2，3)T， 2=(3，6， k)T 线性无关，故 1， 2 为 Ax=0 的一个基础解系，于是 Ax=0 的通解为 x=c 11+c22，其中 c1，c 2 为任意常数 (2)当 k=9 时，分别就 r(A)=2 和 r(A)=1进行讨论 如果 r(A)=2，则 Ax=0 的基础解系由一个向量构成。又因为 =0，所以 Ax=0 的
31、通解为 x=c1(1，2，3) T，其中 c1 为任意常数如果 r(A)=1，则 Ax=0的基础解系由两个向量构成又因为 A 的第一行为 (a，b，c)且 a，b，c 不全为零，所以 Ax=0 等价于 ax1+bx2+cx3=0不妨设 a0，则 1=(一 b，a，0) T， 2=(一c，0，a) T 是 Ax=0 的两个线性无关的解，故 Ax=0 的通解为 x=c 11+c22，其中c1，c 2 为任意常数【试题解析】 本题综合考查矩阵秩的概念、齐次线性方程组基础解系的概念及求解方法注意当 r(A)=1 时， A 的极大无关行向量组只含 1 个向量，故此时方程组Ax=0 可经消元法化为同解方程
32、组 ax1+bx2+cx3=0【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)设 1， 2， 3 是该方程组的 3 个线性无关的解，则由解的性质知 1=1 一 2， 2=1 一 3 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的两个解，且由 1 2=1 2 3 及 1， 2， 3 线性无关，易知向量组 1， 2 线性无关，故齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系至少含 2 个向量，即 4 一 r(A)2，得 r(A)2，又显然有r(A)2cA 中存在 2 阶非零子式 =一 1，或由 A 的前 2 行线性无关)，于是有r(A)=2 (2)对增广矩阵石施行初等行变换；由此可得方程组的用自由未知量表示的通解为令
33、x3=k1，x 4=k2，则得用对应齐次线性方程组的基础解系表示的通解为 其中 k1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 方程组(I)的系数矩阵 A 的行列式为(1)当A 0，即 a1 且 a2 时，方程组(I) 只有零解，而零解 x=(0，0，0) T 不满足方程( )，故当a1 且 a2 时， (I)与()无公共解； (2)当 a=1 时，由 A 的初等行变换得方程组(I)的通解为 x=c(1，0，一 1)T，其中 c 为任意常数显然当 a=1 时，()是(I)的一个方程，(I)的解都满足() 所以，当 a=1时，(I)与( )的所有公共解是 x=c(1，0，一 1
34、)T，其中 c 为任意常数； (3)当 a=2 时，由 A 的初等行变换 得(I)的通解为 x=k(0，1，一 1)T，要使它是()的解，将其代入方程() ，得 k=1，故当 a=2 时，(I)与( )的公共解为x=(0，1，一 1)T【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (I) 记 Dn=A，以下用数学归纳法证明 Dn=(n+1)an 当 n=1 时，D1=2a，结论成立；当 n=2 时， D 2= =3a2=(n+1)an 结论成立；假设结论对于小于 n 的情况成立将 Dn 按第 1 行展开，得 D Dn=2aD Dn1 =2aDn1 一 a2Dn2 (代入归纳假设 Dk=(k+1)a
35、k，kn) =2anan1 一 a2(n 一 1)an2=(n+1)an 故A=(n+1)a n()该方程组有唯一解 A0，即 a0此时，由克莱姆法则，将 Dn 第 1 列换成 b，得行列式()当 a=0 时，方程组为 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 n 一 1，所以此时方程组有无穷多解，其通解为 x=(0，1，0，0)T+k(1，0，0，0) T 其中 k 为任意常数【试题解析】 本题综合考查高阶行列式的计算、线性方程组解的判定及其求解方法注意当 a=0 时，方程组为：x 2=1，x 3=0，x n=0，由于系数矩阵右上角的 n一 1 阶子式非零，故选取 x2，x n 为约束未知量
36、，而 x1 为自由未知量，令x1=0，便得 Ax=b 的一个特解为 =(0，1，0，0) T，在对应齐次方程组 Ax=0中，令自由未知量 x1=1，便得 Ax=0 的基础解系为 =(1，0，0，0) T，于是由解的结构定理便得 Ax=b 的通解为 x=+k【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (I)设 2=(x1，x 2，x 3)T，解方程组 A2=1，由得 x1=一 x2，x 3=12x2(x2 任意)令自由未知量 x2=一 c1，则得设 3=(y1，y 2，y 3)T，解方程组 A23=1，由 得 y1=一 一y2(y2， y3 任意) 令自由未知量 y2=c2，y 3=c3，则得其中
37、 c3，c 3 为任意常数 ()3个 3 维向量 1， 2， 3 线性无关的充要条件是 3 阶行列式 D= 1 2 30而所以 1， 2， 3 线性无关【试题解析】 本题综合考查线性方程组的求解、方阵的幂和行列式的基本运算，以及 n 个 n 雏向量线性相关性的判别方法【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (I)因为 A 为方阵且方程组 Ax=b 的解不唯一，所以必有A=0，而A=( 一 1)2(+1)，于是 =1 或 =一 1 当 =1 时，因为 r(A)rA|b，所以 Ax=b 无解(亦可由此时方程组的第 2 个方程为矛盾方程知 Ax=b 无解)，故舍去 =1 当 =一 1 时，对 Ax
38、=b 的增广矩阵施以初等行变换因为 Ax=b 有解，所以 a=一 2 ( )当 =一 1、a= 一 2 时，【试题解析】 本题主要考查非齐次线性方程组解的判定及通解的求法本题(I)也可利用“Ax=b 有 2 个不同解 1， 2，故对应齐次线性方程组 Ax=0 有非零解1， 2”，从而也可推出 A=0【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 (I)按第 1 列展开，得A=1+a( 一 1) 4+1a=1 一 a()若方程组Ax= 有无穷多解，则A=0由(I) 得 a=1 或 a=一 1当 a=1 时，对增广矩阵作初等行变换： 可见 r(A)r(A|)，故方程组 Ax= 无解； 当 a=一 1 时
39、，对增广矩阵作初等行变换：可见 r(A)=r(A|)=34，故方程组 Ax= 有无穷多解，其通为 ，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 设矩阵 C= ，由同型矩阵相等的充分必要条件是它们的对应元素都相等，得 AC 一 CA=B 成立的充分必要条件是对方程组(*)的增广矩阵施以初等行变换，得当 a一 1 或 b0 时，方程组(*)的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，方程组(*)无解当 a=一 1 且 b=0 时，方程组(*)的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组(*)有解，通解为综上，当且仅当 a=一 1 且b=0 时，存在满足条件的矩阵 C，且【试题解析】 本题综合考查
40、矩阵的运算、线性方程组有解的判定条件及求解运算本题不能利用逆矩阵的方法求未知矩阵 C，从而利用元素法，将已知矩阵等式转化为线性方程组，这是本题求解的一个关键【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 (I)对方程组的系数矩阵 A 施以初等行变换设 x=(x1，x 2，x 3，x 4)T，选取为自由未知量，则得方程组的一般解：x 1=一 x4，x 2=2x4，x 3=3x4(x4 任意) 令 x4=1，则得方程组 Ax=0 的一个基础解系为 =(一 1，2，3，1) T () 对矩阵A | E施以初等行变换，记E=e1，e 2，e 3，则方程组 Ax=e1 的同解方程组为，k 1 为任意常数，同理
41、得方程组 Ay=e2 的通解为 y=k2+ ，k 2 为任意常数，方程组 Az=e3 的通解为 z=k3+ ，k 3 为任意常数，于是得所求矩阵为【试题解析】 本题综合考查初等行变换的基本运算、齐次线性方程组的基础解系和非齐次线性方程组的解的结构等基本概念注意若记矩阵 B、E 按列分块分别为B=x y， z，E=x 1 x2 x3，则 AB=E 的第 1、2、3 列分别是Ax=e1，Ay=e 2，Az=e 3，因此求矩阵 B 等价于求解上述 3 个非齐次线性方程组，而具体求解时采取对矩阵A | E施以初等行变换(而不是分别对 3 个非齐次线性方程组的增广矩阵施以初等行变换)则减少了计算量【知识模块】 线性代数
