1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 124 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 3 阶行列式 其中 aij=1 或1，i=1 ，2 ，3；j=1 ，2 ，3则A的最大值是 ( )（A）3（B） 4（C） 5（D）62 设 A，B 是 n 阶可逆方阵，则下列公式正确的是 ( )（A）(A 2)1 =(A1 )2（B） (A+B)1 =A1 +B1（C） (A+B)(AB)=A 2B 2（D）(kA) 1 =kA1 (k0)3 已知 P 为 3 阶非零矩阵，且满足 PQ=O，则 ( )（A）当 t=6 时P 的秩必为 1（B）当 t=6 时，P 的秩必为
2、2（C）当 t6 时，P 的秩必为 1（D）当 t6 时，P 的秩必为 24 要使 部是线性方程组 AX=0 的解，则系数矩阵 A 可能为 ( )5 设 则下列选项中是 A 的特征向量的是 ( )（A） 1=1，2，1 T（B） 2=1，2，1 T（C） 3=2，1，2 T（D） 4=2，1，2 T6 设 其中 A 可逆，则 B1 等于 ( )（A）A 1 P1P2（B） P1A1 P2（C） P1P2A 1（D）P 2A1 P17 设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组1， 2， m 线性无关的充分必要条件为 ( )（A）向量组 1， 2， ， m 可由向量组
3、 1， 2， ， m 线性表出（B）向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， m 线性表出（C）向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， m 等价（D）矩阵 A=1， 2， m与矩阵 B=1， 2， m等价8 已知 A 是 3 阶矩阵，r(A)=1，则 =0 ( )（A）必是 A 的二重特征值（B）至少是 A 的二重特征值（C）至多是 A 的二重特征值（D）一重、二重、三重特征值都可能9 下列矩阵中，是正定矩阵的是 ( )二、填空题10 设 =1， 2，3 ， A=T，则 An=_11 已知2 是 的特征值，其中 b(b0)是任意常数，则x=_12 设 3 阶方阵 A，B 满足关系式
4、 A1 BA=6A+BA，且 则B=_13 方程组 有解的充要条件是_14 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22+x32+2tx1x2+tx2x3 是正定的，则 t 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 A 是 n 阶矩阵，满足 AAT=E(E 是 n 阶单位矩阵， AT 是 A 的转置矩阵) ，且A0，求A+E16 设矩阵 矩阵 X 满足 Ax+E=A2+X，其中 E 为 3 阶单位矩阵求矩阵 X17 求齐次线性方程组 的基础解系18 已知 =1，1，1 T 是矩阵 的一个特征向量(1)确定参数 a，b 及 对应的特征值 ；(2)A 是
5、否相似于对角矩阵，说明理由19 设 A 是 n 阶实矩阵，证明：tr(AA T)=0 的充分必要条件是 A=020 设四元齐次线性方程组()为 又已知某齐次线性方程组()的通解为 k10，1，1，0 T+k2一 1，2，2，1 T (1)求线性方程组()的基础解系； (2)问线性方程组() 和()是否有非零公共解 ?若有，则求出所有的非零公共解若没有，则说明理由21 (1)设 1， 2， n 是 n 阶矩阵 A 的互异特征值， 1， 2， n 是 A 的分别对应于这些特征值的特征向量，证明 1， 2， n 线性无关； (2)设 A，B 为 n阶方阵，B0，若方程A 一 B=0 的全部根 1，
6、2， n 互异， i 分别是方程组(AB)x=0 的非零解，i=1，2，2证明 1， 2， n 线性无关21 已知线性方程组 的通解为2，1，0，1T+k1，1，2，0 T记 j=1j， 2j， 3j， 4jT，j=l ，2，5问：22 4 能否由 1， 2， 3， 5 线性表出，说明理由；23 4 能否由 1， 2， 3 线性表出，说明理由24 已知矩阵 相似(1)求 x 与 y；(2)求一个满足 P1 AP=B 的可逆矩阵 P25 设矩阵 (1)已知 A 的一个特征值为 3，试求 y；(2)求矩阵P，使(AP) T(AP)为对角矩阵26 设 A 是 3 阶矩阵， 1=1， 2=2， 3=3
7、 是 A 的特征值，对应的特征向量分别是 1=2，2，1 T， 2=1，2，2 T， 3=2，1，2 T 又 =1，2，3 T 计算：(1)An1；(2)A n27 已知 f(x， y)=x2+4xy+y2，求正交变换 中的矩阵 P，使得28 设 A 为 n 阶正定矩阵， 1， 2， n 为 n 维非零列向量，且满足iTA1 j=0(ij；i，j=1， 2，n)试证：向量组 1， 2， n 线性无关考研数学一（线性代数）模拟试卷 124 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 3 阶行列式的定义：A= =a11a22a33+
8、a12a23a31+a13a21a32a 13a22a31a 12a21a33a 11a23a32，共 6 项每项均是不同行、不同列的三个元素乘积，且有三项取正号，三项取负号，由题设 aij=1 或1，故A6 但A6若A =6，则正的三项中三个元素全取 1 或取一个 1，两个1，总的1 的个数为偶数个负的三项中三个元素取一个或三个1，总的1 的个数为奇数，又正三项、负三项各自遍历了9 个元素，与三个正项中1 的个数矛盾，故A 5 同样有A5若A=5，A的六项中总有一项的值为1，此时A4 而故 maxA 33，a ij=1 或1=4，应选 B【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】
9、 (A 2)1 =(AA)1 =A1 A1 =(A1 )2；B 不成立，例：B=A，A+B 不可逆；C 中，当 ABBA，即 BAAB0 时，不成立；D 中，(kA) 1 = A1 不一定等于 kA1 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 “AB=0” 是考研出题频率极高的考点，其基本结论为： AmsBsn=O=r(A)+r(B)s； AmsBsn=O=组成 B 的每一列都是 AmsX=0 的解向量 对于本题， PQ=O=r(P)+r(Q)3=1r(P)3r(Q) 当 t=6 时，r(Q)=1=1r(P)2r(P)=1 或 2，故 A 和 B 都错； 当 t6 时，r(Q)=
10、2=1r(P)1=r(P)=1故 C 正确，D 错【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 因2，1，1 1=0，2，1，1 2=0故选 A【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 因 A2= 故 2 是 A的对应于特征值 =2 的特征向量 其余的 1， 3， 4 均不与 A1，A 3，A 4 对应成比例，故都不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 因 B=AP2P1，故 B1 =(AP2P1)1 =P11 P21 A1 =P1P2A1 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 A= 1， 2， ， 与 B=1， 2
11、， m等价 r(1， m)=r(1， ， m)1， 2， m 线性无关(已知 1， m， n 线性无关时)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 A 是 3 阶矩阵，r(A)=1，故 r(0EA)=1那么(0EA)X=0 有两个线性无关的特征向量，故 =0 至少是二重特征值，也可能是三重，例如：r(A)=1，=0 是三重特征值【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 具体的数值矩阵正定性的判别，可利用定理：A 正定 A 的顺序主子式全部大于零，即 A 正定的必要条件：a ij0，i=1，2，n ，A0其中A 中 a22=0，B 中 b33=2 ，C 中C=0故(A
12、)， (B)，(C) 都不正定D 的顺序主子式全部大于零，故 D 是正定阵故应选 D【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 A= T= An=(T)n=(T)(T)( T)=T(T)(T)( T)=3n1 A【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 -4【试题解析】 由E A=2E A=0，且 b0，可求得 x=4【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 diag(3，2，1)【试题解析】 由 A1 BA=6A+BA 得 B=6A(EA) 1 =diag(3，2，1)，其中1， 2， n 全不为零【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 因故 AX=b
13、有解 r(A)=r(Ab)【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 f 的对应矩阵 f 正定，即 A 正定 A 的顺序主子式大于 0，即取公共部分，知 t 的取值范围是【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由A+E= A+AA T=A(E+A T)=A .(A+E)T =A.A+E，故 (1A)A+E =0 A+E=0【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由 AX+E=A2+X，得(AE)X=(AE)(A+E)又AE=10，故【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 则方程组的解为 得方程组的基础解系 1=1，1，0，0，
14、0T， 2=1，0，1，0，1 T【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)设 A 的特征向量 所对应的特征值为 ，则有 A=，即解得=1，a=3，b=0(2)当 a=3，b=0 时，由知 =1 是 A 的三重特征值，但 当 =1 时，对应的线性无关特征向量只有一个，故 A 不能相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 充分性 A=O，显然 tr(AAT)=0必要性 tr(AAT)=0，设 A=(aij)nn，A T=(aij)nn，记 B=AAT，则 tr(AAT)=aik=0，k=1，2，n； i=1，2，n，即 A=O【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)线
15、性方程组() 的解为 得所求基础解系 1=0，0，1，0 T， 2=1，1，0，1 T(2)将方程组()的通解代入方程组() ，得 =k1=k 2方程组 ()和()有非零公共解，且为 x=k 20，1，1，0 T+k21，2，2，1 T=k21， 1，1，1 T=k1，1，1，1 T，其中 k 为任意非零常数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)用数学归纳法 由特征向量 10，故 1 线性无关； 假设前 K1 个向量 1， 2， ， k1 线性无关，以下证明 1， 2， k 线性无关K 个互异特征值 1， 2， k 对应着特征向量 1， 2， k现设存在一组数 l1，l 2，l k，
16、使得 l 11，l 22，l kk=0， (*) 在(*)式两端左边乘 A，有l1A1， l2A2，l kAk=0， 即 l 111，l 222， ，l kkk=0； (*) 又在(*)式两端左边乘 k，有 l1k1，l 2k2，l kkk=0 (*) 用(*)式减去(*)式，得 l1(1 k)1+l2(2 k)2+lk1 (k1 k)k1 =0 由归纳假设 1， 2， k1线性无关，故 l 1(1 k)=l2(2 k)=lk1 (k1 k)=0， 又i k0(i=1，2，k1)，故 l1=l2=lk1 =0 代回(*)式，于是 lkk=0，由k0，有 lk=0，于是 1， 2， k 线性无关
17、 所以 n 的互异特征值对应特征向量 1， 2， ， n 线性无关 (2)由B0，在AB=0 两端左边乘B 1 ，有 B 1 A E=0 ，即E B 1 A=0， 于是 1， 2， n 是矩阵 B1 A 的 n 个互异特征值 又由(A iB)x=0，两端左边乘 B1 ，有 (B1 A iE)x=0，即( iEB 1 A)x=0， 故 1， 2， n 为 B1 A 的对应于1， 2， n 的特征向量，由 (1)知， 1， 2， ， n 线性无关【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 4 能由 1， 2， 3， 5 线性表出 由线性非齐次方程组的通解2，1， 0，1 T+k
18、1，1，2，0 T 知 5=(k+2)1+(k+1) 2+2k3+4， 故 4=(k+2)1 (k+1) 22k 3+5【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，因对应齐次方程组的基础解系只有一个非零向量，故 r(1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3， 4， 5)=41=3，且由对应齐次方程组的通解知， 1 2+23=0，即 1， 2， 3 线性相关，r( 1， 2， 3)4 能由1， 2， 3 线性表出，则 r(4， 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)3，这和r(1， 2， 3， 4)=3 矛盾，故 4 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模
19、块】 线性代数24 【正确答案】 (1)B 的特征值为 2，y，1由 A 与 B 相似，则 A 的特征值为2，y，1故 (2)分别求出 A 的对应于特征值 1=2， 2=1， 3=1 的线性无关的特征向量为令可逆矩阵 P=p1，p 2，p 3=则 P1 AP=B【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)EA=(1)(+1) 2(2+y)+(2y1)=0 y=2(2)A 为对称矩阵，要使(AP) T(AP)=PTA2P 为对角矩阵，即将实对称矩阵 A2 对角化由(1)得 A 的特征值 1=1， 2，3 =1， 4=3，故 A2 的特征值 1，2，3 =1， 4=9，且 A2 的属于特征值
20、1，2，3 =1 的单位化的特征向量为A2 的属于特征值 4=9 的单位化的特征向量为 令 P=p1，p 2，p 3，p 4=【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)因 A1=11，于是 An1=1n1，故 An1=1.1= (2)利用Ai=ii，有 Ani=ini 将 表成 1， 2， 3 的线性组合设 =x 11+x22+x33，【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 f(x，y)=x 2+4xy+y2=E A=( 3)(+1)，EB=(3)(+1) 实对称矩阵 A 与 B 有相同的特征值，因此 A 与 B 合同A 的与 3，1 对应的特征向量是 B 的与3，一 1 对应的特征向量是 令有 Q1TAQ1=diag(3，1)=Q 2TBQ2故 P=Q1Q2T=Q1Q2=【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 设有数 k1，k 2，k n 使得 k 11+k22+knn=0 在上式两端左边乘 iTA1 ，由 iTA1 j=0(ij；i，j=1 ，2，n)，可得 kiiTA1 j=0(i=1，2， n) 因 A 为正定矩阵，则 A1 也为正定矩阵，且 i0，故 iTA1 i0 于是 k i=0(i=1，2，n)所以向量组 1， 2， n 线性无关【知识模块】 线性代数
