1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 122 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且|A|=a，|B|=b ，若 C= ，则|C|=（A）3ab（B） 3mab（C） (1) mn3mab（D）(1) (m+1)n3mab2 设 n 维行向量 =(12，0，0，12)，矩阵 A=E T，B=E+2 T，则 AB=（A）0（B） E（C） E（D）E+ T3 设 1， 2， 3， 4 是 3 维非零向量，则下列说法正确的是（A）若 1， 2 线性相关， 3， 4 线性相关，则 1+3， 2+4 也线性相关（B）若 1
2、， 2， 3 线性无关，则 1+4， 2+4， 3+4 线性无关（C）若 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 1， 2， 3 线性相关（D）若 1， 2， 3， 4 中任意三个向量均线性无关，则 1， 2， 3， 4 线性无关4 设 A 是 mn 矩阵，r(A)=mn，则下列命题中不正确的是（A）A 经初等行变换必可化为(E m，0)（B） bRm，方程组 Ax=b 必有无穷多解。（C）如 m 阶矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0（D）行列式|A TA|=05 设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是（A）如 mn，则 Ax=b 有无穷多解（B）如 Ax=0 只有零解，则 Ax=b
3、有唯一解（C）如 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax=0 只有零解（D）Ax=b 有唯一解的充要条件是 r(A)=n6 设 A 是 3 阶不可逆矩阵， 1， 2 是 Ax=0 的基础解系， 3 是属于特征值 =1 的特征向量，下列不是 A 的特征向量的是（A） 1+32（B） 1 2（C） 1+3（D）2 37 下列矩阵中，正定矩阵是二、填空题8 设 ， ， 1， 2， 3 都是 4 维列向量，且|A|=|， 1， 2， 3|=4，|B|=|，2 1，3 2， 3|=21，则 |A+B|=_9 若 A= ，则 A2=_，A 3=_10 若 A= ，则 (A*)1 =_11 设 XA=AT+X，
4、其中 A= ，则 X=_12 任意 3 维向量都可用 1=(1，0，1) T， 2=(1，2，3) T， 3=(a，1，2) T 线性表出，则 a=_13 已知 A= ，B 是 3 阶非 0 矩阵，且 BAT=0，则 a=_14 四元方程组 的一个基础解系是_15 已知方程组 的通解是(1，2，1，0)T+k(1，2，1，1) T，则 a=_.16 设 A 是 n 阶可逆矩阵， 是 A 的特征值，则(A *)2+E 必有特征值_17 设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值是 0，1，2如果 1=(1，2，1) T 与2=(1， 1， 1)T 分别是 =0 与 =1 的特征向量，则 =2 的特征向
5、量是_18 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a1x1+a2x2+a3x3)2 的矩阵是_19 已知 A= ，矩阵 B=A+kE 正定，则 k 的取值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABA=C1 ，证明 BAC=CAB21 已知 1=(1，1，0，2) T， 2=(1，1，2，4) T， 3=(2，3，a，7)T， 4=(1，5，3，a+6) T，=(1，0，2，b) T，问 a，b 取何值时， () 不能由1， 2， 3， 4 线性表示? () 能用 1， 2， 3， 4 线性表出，且表示法唯一； () 能
6、用 1， 2， 3， 4 线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式22 已知 A 是 mn 矩阵，B 是 np 矩阵，如 AB=C，且 r(C)=m，证明 A 的行向量线性无关23 已知 a，b ，c 不全为零，证明方程组 只有零解24 已知 A= 可对角化，求可逆矩阵 P 及对角矩阵 ，使 P1 AP= 25 设 A 是 mn 实矩阵，r(A)=n，证明 ATA 是正定矩阵考研数学一（线性代数）模拟试卷 122 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 用性质有 =(1) mn|3A|B|=( 1) mn3m|A|(1)n|B
7、|=(1) (m+1)n3mab故应选(D) 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 AB=(E T)(E+2T)=E+2T T2 TT=E+T2 T(T)注意 T =12，故 AB=E应选(B) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 若 1=(1，0) ， 2=(20)， 3=(0，2)， 4=(0，3)，则 1， 2 线性相关， 3， 4 线性相关，但 1+3=(1，2) ， 2+4=(2，3)线性无关故(A)不正确 对于(B) ，取 4= 1，即知(B)不对 对于(D)，可考察向量组 (1，0，0)，(0，1， 0)，(0，0，1)，( 1，1，1)，可
8、知(D)不对 至于(C)，因为 4 个 3 维向量必线性相关，如若 1， 2， 3 线性无关，则 4 必可由 1， 2， 3 线性表出现在 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，故 1， 2， 3 必线性相关故应选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 例如， ，只用初等行变换就不能化为(E 2，0)形式，(A)不正确故应选(A) 因为 A 是 mn 矩阵，m=r(A)r(A|b)m 于是 r(A)=r(A|b)=mn(B) 正确由 BA=0 知 r(B)+r(A)m，又 r(A)=m，故 r(B)=0，即B=0(C)正确A TA 是 n 阶矩阵，r(A TA)r(A)=
9、mn，故|A TA|=0，即(D) 正确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 如 mn，齐次方程组 Ax=0 有无穷多解，而线性方程组可以无解，两者不要混淆，请举简单反例如 Ax=0 只有零解，则 r(A)=n，但由 r(A)=n 推断不出 r(A|b)=n，因此 Ax=b 可以无解例如 前者只有零解，而后者无解故(B)不正确关于(D)，Ax=b 有唯一解 r(A)=r(A|b)=n由于 r(A)=n r(A|b)=n，例子同上可见(D)只是必要条件，并不充分【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 A 1=0，A 2=0，A 3=3则 A(1+32)=0，A(
10、 1 2)=0，A(2 3)=23因此(A)，(B)，(D)都正确 A( 1+3)=3，和 1+3 不相关，因此 1+3 不是特征向量，故应选(C) 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 正定的必要条件 aii0，可排除(A) 、(D) (B)中 2=0 与顺序主子式全大于 0 相矛盾，排除(B)故应选(C)【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 600【试题解析】 因 A+B=(+，3 1，4 2，2 3)，故 |A+B|=|+，3 1，4 2，2 3|=24|， 1， 2， 3|+24|， 1， 2， 3| =24|A|+24|B|=600【知识模块】 线性代数
11、9 【正确答案】 【试题解析】 A 2 A3=A2A【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 因为(A *)1 所以(A *)1【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 由 XAX=A T 有 X(AE)=A T，因为 A 可逆，知 X 与 AE 均可逆故 X=AT(AE) 1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 3【试题解析】 任何 3 维向量 可由 1， 2， 3 线性表出 r(1， 2， 3)=3因而所以 a3时，任何 3 维向量均可由1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1.5【试题解析】 由 BAT=0 有 r(B)+r(A
12、T)3，即 r(A)+r(B)3又 B0，有 r(B)1，从而 r(A)3，即|A|=0于是【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (0，0，1，0) T，(1，1，0，1) T【试题解析】 n r(A)=42=2取 x3，x 4 为自由变量： 令 x3=1，x 4=0 得x2=0， x1=0；令 x3=0，x 4=1 得 x2=1，x 1=1， 所以基础解系是(0 ，0，1，0)T，(1，1，0，1) T【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 3【试题解析】 因(1，2，1，0) T 是 Ax=b 的解，则将其代入第 2 个方程可求出b=1因(1 ，2，1，1) T 是 Ax=0 的解，
13、则将其代入第 1 个方程可求出 a=3【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 A 的特征值为 A*的特征值为|A| (A*)2 的特征值为丁|A| 2 2=(A*)2+E 的特征值为【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 t(1，0，1) T，t0【试题解析】 设 =2的特征向量是 =(x1，x 2，x 3)，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 x3=t，x 2=0，x 1=t所以=2的特征向量是 t(1，0，1) T，t0【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 f(x 1，x 2，x 3)=a12x12+a22x22+a32x32+2a1a3x
14、1x3+2a1a3x1x3+2a2a3x2x3，二次型矩阵【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 k0【试题解析】 由矩阵 A 的特征值为 3，0，0，知矩阵 B 的特征值为k+3，k ，k又 B 正定【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 由 C 可逆，知|ABA|0，故矩阵 A，B 均可逆 因 ABAC=层，即A1 =BAC又 CABA=E，得 A1 =CAB 从而 BAC=CAB【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设 x11+x22+x33+x34=，对增广矩阵( 1， 2， 3， 4 )作初等行变换，有()当 a=1，b2 或
15、 a=10， b1 时，方程组均无解所以 不能由1， 2， 3， 4 线性表出 ()当 a1 且 a10 时， b 方程组均有唯一解所以 能用 1， 2， 3， 4 线性表示且表示法唯一 () 方程组在两种情况下有无穷多解，即(1)当 a=10，b=1 时，方程组有无穷多解：(2)当 a=1，n=2 时，方程组有无穷多解：x 4=13，x 2=t，x 3=12t，x 1=5t 即 =(5t )1+t2+(12t) 3 4【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 对矩阵，A 按行分块，记 那么AT=(1T， 2T， mT)若 k11T+k22T+kmmT=0，即( 1T， 2T， mT)因为 C
16、 是 mp 矩阵，那么 CT 是 pm 矩阵由于 r(CT)=r(C)=m，所以齐次方程组 CTx=0 只有零解因此k1=0， k2=0， ，k m=0故 1， 2， m 线性无关【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为系数行列式=(a 2+b2+c2)0，所以齐次方程组只有零解【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由特征多项式|EA| =(1) 2(+2)，知矩阵 A 的特征值为 1=2=1， 3=2因为矩阵 A 可以相似对角化，故 r(EA)=1而 所以 x=6当 =1 时，由(EA)x=0得基础解系 1=(2，1，0) T， 2=(0，0，1) T当 =2 时，由(2EA)x=0 得基础解系 3=( 5，1，3) T那么，令 P=(1， 2， 3)【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由(A TA)T=AT(AT)T=ATA，知 ATA 是实对称矩阵又 r(A)=n， 0，恒有 A0从而 T(ATA)=(A)T(A)=A20故 ATA 正定【知识模块】 线性代数
