1、考研数学一（矩阵的特征值与特征向量）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则伴随矩阵 A*的一个特征值是（A） 1 A n1 （B） 1 A（C） A（D）A n1 2 设 A=2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则 +E 的一个特征值是3 设 A 是 3 阶不可逆矩阵， 1， 2 是 Ax=0 的基础解系， 3 是属于特征值 =1 的特征向量，下列不是 A 的特征向量的是（A） 1+32（B） 1 一 2（C） 1+3（D）2 34 设 0 是 A 属于特征值 0 的特征向量，则 0 不一
2、定是其特征向量的矩阵是（A）(A+E) 2（B）一 2A（C） AT（D）A *5 下列矩阵中不能相似对角化的是6 设 A 是 n 阶非零矩阵，A m=0，下列命题中不一定正确的是（A）A 的特征值只有零（B） A 必不能对角化（C） E+A+A2+Am1 必可逆（D）A 只有一个线性无关的特征向量二、填空题7 设 A 是 n 阶矩阵，r(A)n，则 A 必有特征值_，且其重数至少是_8 设 A 是 n 阶可逆矩阵，A 是 A 的特征值，则(A *)2+E 必有特征值_9 已知2 是 A= 的特征值，则 x=_10 设 A 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵，且 A2+5A=0，则 A 的特征值
3、是_11 已知 =(1，1，一 1)T 是矩阵 A= 的特征向量，则x=_12 设 A 是 3 阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A 必有特征向量_13 设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值是 0，1，2如果 =0 与 =1 的特征向量分别是 1=(1，2， 1)T 与 2=(1，一 1，1) T，则 =2 的特征向量是 _14 已知 A= 相似，则 x=_，y=_15 已知矩阵 A= 有两个线性无关的特征向量，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐
4、，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 xn 和 yn，记成 n= ()求 n+1 与 n 的关系式，并写成矩阵形式： n+1=An；()求矩阵 A 的特征值与特征向量； ()若 0= ，求 An017 已知矩阵 A= 有特征值 =5，求 a 的值；并当 a0 时，求正交矩阵Q，使 Q1 AQ=A18 设矩阵 A= 的特征值有重根，试求正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角形19 设 A= ，正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵若 Q 的第 1 列为(1， 2，1) T，求 a，Q20 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值，
5、 1=1， 2=2， 3=2，且 1=(1，一 1，1) T 是A 的属于 1 的一个特征向量记 B=A54A 3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵 ()验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B21 已知 A 是 3 阶实对称矩阵满足 A4+2A3+A2+2A=0，且秩 r(A)=2求矩阵 A 的全部特征值，并求秩 r(A+E)22 设 A 是 n 阶正交矩阵， 是 A 的实特征值， 是相应的特征向量证明 只能是1，并且 也是 AT 的特征向量23 设 A，B 均是 n 阶矩阵，证明 AB 与 BA 有相同的特征值24 设 A，B 均是 n 阶矩阵，
6、且秩 r(A)+r(B)n，证明： A，B 有公共的特征向量25 若任一 n 维非零向量都是 n 阶矩阵 A 的特征向量，则 A 是数量矩阵26 设 A 是 3 阶矩阵，且有 3 个互相正交的特征向量，证明 A 是对称矩阵27 已知 A= ，求 A 的特征值、特征向量，并判断 A 能否对角化，说明理由28 已知 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，求 A*的特征值与特征向量29 已知 A= 可对角化，求可逆矩阵 P 及对角矩阵 A，使 P1 AP=A30 已知 A 是 3 阶不可逆矩阵，一 1 和 2 是 A 的特征值，B=A 2 一 A 一 2E，求 B 的特征值，并问 B 能否相似对角化，并
7、说明理由31 设 3 阶矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=3 对应的特征向量依次为 1=(1，1，1)T， 2=(1，2，4) T， 3=(1， 3，9) T () 将向量 =(1，1，3) T 用 1， 2， 3 线性表出； (II)求 An32 设矩阵 A= 可逆，向量 = 是矩阵 A*的特征向量，其中 A*是 A 的伴随矩阵，求 a，b 的值33 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值，若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T， 3=(一 1，2，一 3)T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A34 已知 AB，A 2=A，证
8、明 B2=B35 已知 A2=0，A0，证明 A 不能相似对角化36 已知 1， 2， 3 是 A 的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量且线性无关，如1+2+3 仍是 A 的特征向量，则 1=2=3考研数学一（矩阵的特征值与特征向量）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 如 A=，则 A1 = 故选(B)【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量2 【正确答案】 C【试题解析】 如 A=，则 +1)当 =2 时，知 选(C)【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量3 【正确答案】 C【试题解析】 如 A1=1，A
9、2=2，则 A(k 11+k22)=k1A1+k2A2=k11+k22=(k11+k22) 因此 k11+k22 是 A 的特征向量，所以(A)、(B)、(D)均正确 设 A1=1，A 2=2，若 A(1+2)=k(1+2)，则 1+2=k1+k2 即有 (k) 1+(k)2=0 因为 k， 一 k 不全为 0，与1， 2 是不同特征值的特征向量线性无关相矛盾从而 1+3 不是 A 的特征向量故应选(C) 【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量4 【正确答案】 C【试题解析】 由E 一 AT= (E A)T=E 一 A，知 A 与 AT 有相同的特征值，但方程组(AEA)x=0 与(AEA T)
10、x=0 不一定同解，故 A 与 AT 特征向量不一定相同故应选(C) 【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 是实对称矩阵， (C)有 3 个不同的特征值，均可对角化(B)和(D)特征值都是 0，0 ，3在(B)中， n 一 r(0EA)=2，说明 =0 有 2 个线性无关的特征向量故可以相似对角化在(D)中，nr(0E A)=1，说明 =0 只有 1 个线性无关的特征向量因此不能相似对角化故应选(D)【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量6 【正确答案】 D【试题解析】 设 A=，0，则 Am=m=0故 =0(A)正确 因为A0，r(A)1，那么 Ax=0
11、 的基础解系有 nr(A)个解，即 =0 有 nr(A)个线性无关的特征向量故(B)正确，而(D)不一定正确 由(E 一 A)(E+A+A2+Am1 )=E一 Am=E，知(C)正确 故应选(D)【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量二、填空题7 【正确答案】 =0 nr(A)【试题解析】 r(A)n A=0 =0 必是 A 的特征值由 r(A)n Ax=0 有非 0 解设 1， 2， nr (A)是 Ax=0 的基础解系，则 Aj=0=0j，即 =0 是矩阵 A 的特征值， j(j=1，2，nr(A) 是 =0 的特征向量因此 =0 有 nr(A)个线性无关的特征向量从而 =0 至少是矩阵 A
12、 的 nr(A)重特征值注意：k 重特征值至多有 k 个线性无关的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量8 【正确答案】 【试题解析】 A 的特征值为 (A*)2+E 的特征值为 +1【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量9 【正确答案】 4【试题解析】 因为2 是矩阵 A 的特征值，所以由【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量10 【正确答案】 5，5，0【试题解析】 因为 A 是实对称矩阵，故 A =2设A=(0)由 A2+5A=0 得 2+5=0因此 A 的特征值为 0 或5从而 A所以矩阵 A 的特征值是：5， 5，0【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量11 【正确答案】 4【试题解
13、析】 设 A=，即 ，亦即【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量12 【正确答案】 【试题解析】 因为各行元素之和都是 5，即 亦即从而 A 所以矩阵 A 必有特征向量【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量13 【正确答案】 t(一 1，0，1) T【试题解析】 设 =2 的特征向量是 =(x1，x 2，x 3)，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 所以 =2 的特征向量是 t(一 1，0，1) T，t0【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量14 【正确答案】 0 1【试题解析】 由 AB，知a ii=bii 且一 1 是 A 的特征值，即【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量15 【正
14、确答案】 1【试题解析】 由 A 的特征多项式 知矩阵 A 的特征值是 =1(三重根)，因为 A 只有 2 个线性无关的特征向量，故从而 a=1【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 () 按题意有用矩阵表示，即为()由特征多项式得矩阵 A 的特征值 1=1， 2= 对 =1，由(EA)x=0 得基础解系 1= ，因此矩阵 A 属于 =1 的特征向量是 k11(k10)对 =的特征向量是k22(k20)()设 x11+x22=0，即 于是【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量17 【正确答案】 因 =5 是矩阵 A 的特征值，则由
15、5EA= =3(4a2)=0，可得 a=2当 a=2 时，则由矩阵 A 的特征多项式知矩阵 A 的特征值是 1，2，5由(E A)x=0 得基础解系 1=(0，1，一 1)T；由(2E 一 A)x=0 得基础解系 2=(1， 0，0) T；由(5E 一 A)x=0 得基础解系 3=(0，1，1) T即矩阵 A 属于特征值 1，2，5 的特征向量分别是 1， 2， 3由于实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化，有 那么，令Q=(1， 2， 3)= ，则有 Q1 AQ=【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量18 【正确答案】 A 的特征多项式=( 一 2)2+(3a) 一(3a+20)，
16、由于判别式(3 一 a)2+4(3a+20)=0 没有实数根，即 2+(3 一 a) 一(3a+20)( 一 k)2，所以只能 =2 是重根于是 2+(3 一 a) 一(3a+20)必有 一 2 的因式，因此由 22+2(3a)一(3a+20)=0，得 a=2从而得到矩阵 A 的特征值是1=1=2， 3=7对于 =2，由(2EA)x=0，即 得到线性无关的特征向量 1=(一 2，1，0) T， 2=(2，0，1) T用 Schmidt 正交化方法，先正交化，有再将 1， 2 单位化，得 对于 =7，由(一 7EA)x=0，即 得特征向量 3=(1，2，一 2)T，单位化为3= (1，2，2)
17、T那么，令 Q=(1， 2， 3)= ，即有 QTAQ=QAQ=【试题解析】 因为 Q 是正交矩阵，有 QT=Q1 ，故 QTAQ=A，即 Q1 AQ=A为此，应当求矩阵 A 的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量19 【正确答案】 按已知条件，(1，2，1) T 是矩阵 A 的特征向量，设特征值是 1，那么 由知矩阵 A 的特征值是：2，5，一 4对 =5，由(5EA)x=0 ， 得基础解系2=(1，一 1， 1)T对 = 4，由(一 4EA)x=0，得基础解系 3=(一 1，0，1) T因为 A 是实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交，故只需把 2， 3 单位化，有2= (1，1
18、，1) T， 3= (1，0，1) T那么令 Q= ，则QTAQ=Q1 AQ=【试题解析】 因为 Q 是正交矩阵 QT=Q1 ，所以 QTAQ=A，即 Q1 AQ= 的对角线上的元素是 A 的特征值，Q 是 A 的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量20 【正确答案】 () 由 A= 有 An=n那么，对于 A1=11=1，有 B1=(A5一 4A3+E)1=A51 一 4A31+1=( +1)1=2 1因此，向量 1 是矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量类似地，对 2=2， 3=2 有：若 A=2，则 B=(+1)=；若 A=3，则 B=( +1)=，那么 ， 是矩阵 B 属于特
19、征值 =1 的特征向量因 ， 是矩阵 A 不同特征值的特征向量，因此它们线性无关从而矩阵 B 的特征值是：一 2，1，1，且矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量是 k11(k10)又由 A 是实对称矩阵知，B 是实对称矩阵那么 B 的属于特征值 =1 与 =2 的特征向量应当相互正交设矩阵 B 属于 =1 的特征向量=(x1， x2，x 3)T，则 x1 x2+x3=0解此方程组得基础解系 2=(1，1，0) T， 3=(一1，0，1) T故矩阵 B 属于 =1 的特征向量是 k22+k33(k2，k 3 不全为 0)()令P=(1， 2， 3)，有 P1 BP= 那么【知识模块】 矩阵的特
20、征值与特征向量21 【正确答案】 设 是矩阵 A 的任一特征值， 是属于特征值 的特征向量，则A=(0)，于是 An=n那么用 右乘 A4+2A3+A2+2A=0 得( 4+23+2+2)=0因为特征向量 0，故 4+23+2+2=(3+22+2)=(+2)(2+1)=0由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵 A 的特征值是 0 或一 2由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩 r(A)=r(A)=2，所以 A 的特征值是 0，一 2，一 2因 A+E= ，所以秩 r(A+E)=r( +E)=3【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量22 【正确答案】 按特征值定义，对于 A=，经转置得 TAT=(A
21、)T=()T=T，因为 ATA=E，从而 T=TATA=(T)()=2T，则(1 一 2)T=0因为 是实特征向量， T= 0，可知 2=1，由于 是实数，故只能是 1 或一1若 =1，从 A=，两边左乘 AT，得到 AT=ATA=，即 是 AT 关于 =1 的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量23 【正确答案】 设 0 是 AB 的非零特征值， 0 是 AB 对应于 0 的特征向量，即 (AB)0=00 (00) 用 B 左乘上式，得 BA(B0)=0B0 下面需证 B00(这样B0 就是矩阵 BA 对应于 0 的特征向量) (反证法) 如 B0=0，那么(AB) 0=A(B0)=
22、0，这与 (AB)0=000 相矛盾 所以， 0 是 BA 的特征值 如 0=0 是 AB 的特征值，则因 0EBA= BA=(1) nB.A =( 一 1)nA.B= 0E 一 AB， 所以， 0=0 也是 BA 的特征值 同样可证 BA 的特征值必是 AB 的特征值，所以 AB 与 BA 特征值相同【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量24 【正确答案】 设 r(A)=r，r(B)=s ，且 1， 2， nr 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，即矩阵 A 关于 =0 的特征向量， 1， 2， ns 是 B 关于 =0 的特征向量那么，向量组 1， 2， nr ， 1， 2， ns 必线性相
23、关(由于nr+ns=n+(nrs)n， 于是存在不全为零的实数后k1，k 2，k nr ，l 1，l 2，l ns ，使 k 11+ k22+ knr nr +l11+l22+ln sns =0 因为 1， 2， ， nr 线性无关，1， 2， ns 线性无关，所以 k1，k 2，k nr 与 l1，l 2，l ns 必分别不全为零令 =k11+ k22+ knr nr =(l 11+l22+lns ns )， 则 0，从特征向量性质 1 知， 既是 A 关于 =0 的特征向量，也是 B 关于 =0 的特征向量，因而A，B 有公共的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量25 【正确答案】
24、 因为任一 n 维非零向量都是 A 的特征向量，所以 A 有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 可以对角化特别地，n 维单位向量 ei=(0，1，0)T， i=1，2，n，是 A 的特征向量令 P=(e1，e 2，e n)，则有 P=E，且若 A 的特征值 12，则由于 e1，e 2 分别是1， 2 的特征向量，那么 e1+e2 不再是 A 的特征向量，这与已知条件“ 任一非零向量都是特征向量” 相矛盾，同理可知 1=2= n，即 A 是数量矩阵【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量26 【正确答案】 设 A 的特征值是 1， 2， 3，相应的特征向量是 1， 2， 3因为 1， 2， 3 已
25、两两正交，将其单位化为 1， 2， 3，则 1， 2， 3 仍是 A 的特征向量，且 P=(1， 2， 3)是正交矩阵，并有 从而由 A=A，即 A 是对称矩阵【试题解析】 非零正交向量组是线性无关的，故 A 有 3 个线性无关的特征向量；即 A 可以对角化，并且可以用正交变换化为对角形【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量27 【正确答案】 由特征多项式得到矩阵 A 的特征值1=2， 2=3=1由(2EA)x=0 得基础解系 1=(5，一 2，9) T，即 =2 的特征向量是 k11(k10)由(一 E 一 A)x=0 得基础解系 2=(1，一 1，0) T，即 =1 的特征向量是 k22(k
26、20)因为矩阵 A 只有 2 个线性无关的特征向量，所以 A 不能相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量28 【正确答案】 因为 A= =BE，而 r(B)=1，则有E B= 3 一 62所以矩阵 B 的特征值是 6，0，0故矩阵 A 的特征值是 5，一 1，一 1又行列式A=5，因此 A*的特征值是 1，一 5，一 5矩阵 B 属于 =6 的特征向量是 1=(1，1，1) T，属于 =0 的特征向量是 2=(一 1，1，0) T 和 3=(一1，0，1) T因此 A*属于 =1 的特征向量是 k11(k10)，属于 =5 的特征向量是k22+k33 (k2，k 3 不全为 0)【知识
27、模块】 矩阵的特征值与特征向量29 【正确答案】 由特征多项式知矩阵 A 的特征值为1=2=1， 3=2因为矩阵 A 可以相似对角化，故 r(EA)=1而所以 x=6当 =1 时，由(E 一 A)x=0 得基础解系 1=(一 2，1，0) T， 2=(0，0，1) T当 A=2 时，由(一 2E 一 A)x=0 得基础解系 3=(一 5，1，3) T那么，令 P=(1， 2， 3)=【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量30 【正确答案】 因为矩阵 A 不可逆，有A=0，从而 =0 是 A 的特征值由于矩阵 A 有 3 个不同的特征值，则 A 于是 P1 AP=因此 P1 BP=P1 A2PP1
28、 AP 一 2E= 所以矩阵 B 的特征值是 1=2=0， 3=2，且 B 可以相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量31 【正确答案】 () 设 x11+x22+x33=，即故 =21 一 22+3( )A=2A1 一 2A2+A3，则 An=2An1 一 2An2+An3=21 一 2.2n2+3n3=【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量32 【正确答案】 设 A*=，由 AA*=AE，有A=A，即一：(a 一 2)=0由矩阵 A 可逆，知 A*可逆那么特征值 0，所以 a=2b 一 ：(b 2+b 一 2)=0 知 b=1 或 b=2【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量33 【正
29、确答案】 由 r(A)=2 知A=0，所以 =0 是 A 的另一特征值因为1=2=6 是实对称矩阵的二重特征值，故 A 属于 =6 的线性无关的特征向量有 2 个，因此 1， 2， 3 必线性相关，显然 1， 2 线性无关 设矩阵 A 属于 =0 的特征向量 =(x1，x 2，x 3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 解出此方程组的基础解系 =(一 1，1，1) T那么A(1， 2， 3)=(61，6 2，0)，从而 A=(61，6 2，0)( 1， 2，) 1 =【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量34 【正确答案】 因为 AB，有 P1 AP=B，那么 B2=P1 A2
30、P=P1 AP=B【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量35 【正确答案】 设 A=，0，那么 A2=2=0从而 =0 又因 A0，r(A)1，所以 Ax=0 的基础解系有， nr(A)个向量，即 =0 有 nr(A)个线性无关的特征向量 又 n 一 r(A)n ，所以 A 不能相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量36 【正确答案】 若 1+2+3 是矩阵 A 属于特征值 A 的特征向量，即 A( 1+2+3)=(1+2+3) 又 A(1+2+3)=A1+A2+A3=11+22+33，于是 ( 1)1+(2)2+(3)3=0 因为 1， 2， 3 线性无关，故 1=0， 2=0， 3=0 即 1=2=3【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量
