1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 69 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 xi ，i1，2；且 PX1X101，则 PX1X 2等于（A）0（B）（C）（D）12 设 XN(， 2)，则随着 的增大，PX ：（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定3 设随机变量 X 的密度为 f()，且 f()()，R 1又设 X 的分布函数为 F()，则对任意实数 a，F( a)等于（A）1 0af()d（B） 0af()d（C） F(a)（D）2F(a) 14 设随机变量 X，Y 独立同分布，P(X1)P(X1) ，则（A）P(
2、XY)（B） P(XY)1（C） P(XY0)（D）(XY1) 5 设 XN(，16)，YN(，25)，P 1PX4，P 2PY5，则：（A）对任意实数 ，有 p1p 2（B）对任意实数 ，自 p1p 2（C）对任意实数 ，有 p1p 2（D）只对部分实数 ，有 p1p 2二、填空题6 设随机变量 X 的概率密度为 f()A ， ，问 X 服从什么分布(若有参数须答出)?且常数 A_7 设 XB(2，p)，YB(3，p)，目 P(X1) ，则 P(Y1)_8 用一台机器接连独立地制造 3 个同种零件，第 i 个零件足次品的概率为(i1，2，3) 设这 3 个零件中有 X 个合格品(非次品即为合
3、格品)，则P(X2)_9 设随机变量 X 服从(a，a) 上的均匀分布(a0)，且已知 P(X1) ，则a_， D(X)_10 随机变量 X 的密度为： 且知 EX6，则常数A_，B_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 将一枚均匀硬币连掷 3 次，X 为这 3 次抛掷中正面出现的次数， Y 为这 3 次抛掷中正、反面出现的次数之差的绝对值试巧出(X，Y) 的分布列和关于 X，Y 的边缘分布列，并判断 X 与 Y 是否独立12 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为： F(，y)A(Barctan )(Carctan )， ，y 求：(1) 常数 A，B，C； (2)(X，Y)
4、 的概率密度f(，Y)； (3)关于 X 和 Y 的边缘密度 fX()和 fY(y)13 甲袋中有 2 个白球，乙袋中有 2 个黑球，每次从各袋中分别任取一球交换后放入对方袋中，共交换 3 次用 X 表示 3 次交换后甲袋中的白球数，求 X 的分布列14 设随机变量 X 的概率密度为 f() ， 求：(1)常数 C； (2)X 的分布函数 F()和 P0X1； (3)Ye X 的概率密度 fY(y)15 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求(X，Y) 的联合分布函数 F(，y)16 设随机变量 X 的绝对值不大于 1，P(X1) ，P(X 1) ，在1 X1出现的条件下，X 在区间(1，1)
5、 内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求 X 的分布函数 F()17 设一设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布，求：(1)相继两次故障之间的时间间隔 T 的概率分布；(2)在设备已无故障工作 8 小时的情况下，再无故障运行 8 小时的概率18 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 独立同分布，P(X 10)06，P(X 11)04，求 X 的概率分布19 设飞机引擎在飞行中正常运行的概率为 p，且各引擎是否正常运行是相互独立的如果有至少 50的引擎正常运行，飞机就能成功飞行，问对于多大的 p 而言，4 引擎飞机比 2 引擎飞机更可
6、取?20 设二维随机变量(XY)的概率密度为问 X 与 Y 是否独立?X 与Y是否独立?21 设随机变量 X，Y，Z 独立，均服从指数分布参数依次为 1， 2， 3(均为正)求 PXmin(X，Y，Z)22 函数 F(，y) 是否可以是某随机变量(X，Y) 的分布函数?为什么?23 设 XU(0，1) 且 X 与 Y 独立间分布，求 的分布函数(U(0，1)表示区间(0， 1)上的均匀分布 )F(u)24 设 X 与 Y 独立同分布，P(X1)p(0p1)，p(X0)1p 令 Z问 p 取何值时，X 与 Z 独立?(设 0 为偶数)25 证明：(1)若随机变量 X 只取一个值 a，则 X 与任
7、一随机变量 Y 独立；(2)符随机变量 X 与自己独立则必有常数 C，使得 P(X c)126 设 XN(0，1) 给定 X 条件下时 YN(， 1 2)(01)求(X，Y) 的密度以及给定 Yy 条件下 X 的分布27 设区域 D 为：由以(0，0)(1，1) ，(0， )，( ，1)为顶点的四边形与以( ，0)，(1，0)(1， )为顶点的三角形合成而(XY)在 D 上服从均匀分布，求关于 X 和 Y 的边缘密度 fX()和 fY(y)28 设 X 服从参数为 2 的指数分布，求 Y1e -2X 的概率密度 fY(y)29 设一电路装有 3 个同种电气元件，它们工作状态相互独立，且无故障工
8、作时间均服从参数为 的指数分布( 0)当 3 个元件都无故障时，电路正常工作，否则电路不能正常工作，求电路正常工作的时间 T 的密度 f(t)30 n 个小球和 n 个盒子均编号 1，2，n，将 n 个小球随机地投入 n 个盒中去，每盒投 1 个球记 X 为小球编号与所投之盒子编号相符的个数，求 E(X)31 在长为 a 的线段 AB 上独立、随机地取两点 C，D ，试求 CD 的平均长度32 设随机变量 X1，X n，X n+1 独立同分布，且 P(X11)p，P(X 10)1p，记： Y i (i1，2，n) 求33 对随机变量 X 和 Y，已知 EX3，EY2，DX9，DY2，E(XY)
9、5设 U2XY4，求 EU，DU34 对随机变量 X，Y，已知 EX2 和 EY2 存在，证明：E(XY) 2E(X2).E(Y2)考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 69 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由已知可得(X 1，X 2)的联合及边缘分布列如下表由 P(X1X20)1可推出其中的 4 个 0(如：0P(X 11，X 21)P(X 1X21)P(X 1X20)1P(X 1X20)0，P(X 11，X 21)0)故 P(X1X 2)0应选 A【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 P(
10、X) P( X )P( 1 1)(1)( 1) ，可见应选 C【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 1 f()d2 0 f()d， 0 f()d 而 F(a) af()d a(t)(dt) a (t)dt 0 f()d 0a()d 0af()d， 故选 B【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可得(X，Y) 的分布列如上表，可算得 P(XY) ，故选 A【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 p 1p( 1)( 1)，p 2p( 1)1(1)， 可见p1p 2，( (1)( 1)1) 故选 A【知识模块】 概率论
11、与数理统计二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 2 ， f()，与正态分布的概率密度相比较，得 XN( )，且，故 A 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 由 1P(X0)1C 20p0(1p) 2-01(1p) 2，解得 p ，故P(Y1)1 P(Y0) 1 【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 设 Ai第 i 个零件是合格品，i1，2，3 则 P(X2)P(A 1A2)P(A 1 A3)P( ，A 2A3) 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 3；3【试题解析】 X 的概率密度为： 而 P(X1) 1 f()d) 如果 a1
12、 ，则 P(X1)0 ，可见 0a1， 于是：解得 a3，故DX 3【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 这是指数分布，可知 AB，而 6EX ， ，故 A，B 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 P(Xk) 0，1，2，3，而YX(3 X) 2X3，得(X ，Y)的分布如下表，并算出边缘分布列 P(X0，Y1)0 P(X0)P(Y1)， X 与 Y 不独立【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 (1)0 F( ，y)A(B )(Carctan )， R1，0F(，)A(Barctan )(C
13、)， R1，1F(，)A ，得 A，B C ； (2)f(，y) ，(，y)R2； (3)关于 X 和 Y 的边缘分布函数分别为 FX()F(，)和 FY(y)F( ，y) ， 故 fX()F X， 这里 R1，yR 1【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 记 A经过 2 次变换后甲袋中有 i 个白球 ，i0，1，2则P(A2) ，P(X0A 0)0，P(X0A 1) ， P(X0A 2)0，P(X1A 0) P(X1A 2)1 ，P(X1A 1) ，P(X2A 0)P(X2A 2)0，P(X2A 1) ， 故 P(X0) )P(X0A i)P(Ai) ，P(X1) P(X0A i
14、)P(Ai) ， P(X2) P(X2A i) ，故 X 的分布列为【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 y 的分布函数为 F Y(y)PYyPe X y 显然，y0 时，F Y(y)0，y1 时，FY(y)1，这时 fY(y)F Y(y)0， 当 0y1 时，F Y(y)P X lnyPX lny1PlnyXlny 1 lny-lnyf()d， 则 fY(y)F Y(y)f(lny)( )f(lny) f(lny)f(lny)，注意到 f()是偶函数故【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 F(，y) du yf(u，v)dv，故 0 或 y0 时，F(，y)0； X1
15、，y1 时，F(，y) 01du014uvdv1； 1 ， 0y1 时，F(，y) 01du0y4uvdvy 2(图中阴影部分即为积分区域) ； y1，01 时，F(，y) 0du014uvdv 2； 0 1，0y1 时，F(，y) 0du0y4udv 2y2【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 F() P(X)，由已知得：1 时，F() 0；1 时，F()1；F(1)P(X1)P(X1) 当1 1 时，有P1X1X1k( 1)，而 P(1X 1) ， 可化得 P(1X)k(1)，其中 k k(待定)， 故 P(X)P(1X)P(X1)P(1X) k( 1)， 又由 P(X1) F
16、(1)F(10)1( 2k)， 得 k ，即1 1 时，F() (1)【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (1)t 0 时，P(Tt)1；t0 时，p(T t)PN(t) e te t， 故 T 的分布函数为 F(t)P(Tt)1P(Tt) (2)取 T 的单化为小时所求慨率为 PT16T8e 8 【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 X 1X4X 2X3 可能取的值为：1，0，1P(X 1X4)P(X 2X3X 2X31)P(X 1X40)P(X 2X31)1P(X 11，X 41)P(X 21)P(X31)(104 2)0 4201344，同理 P(X1)0134
17、4，得 P(X0)120 1344 07312【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 设 4 引擎与 2 引擎飞机分别有 X 与 Y 个引擎正常工作，则XB(4，p) ，YB(2，p)P(X2)1(1p) 44p(1p) 3，P(Y1)1(1p)2，由 P(X2)P(Y1)，而 0p1，可解得 p 【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 关于 X 的边缘密度为 fX() f(，y)dy 若1，则fX()0； 若 1，则 fX() 关于 Y 的边缘密度为 f Y(y) f(，y)d 若y 1，则 fY(y)0；若y 1，则 fY(y)即 X与 Y 不独立。 而(X，Y)的分布
18、函数为 F(，y)PX ，yy 当 0 或 y0 时，f(，y)0； 当 0，y0 时，F(，y)PX ，yYy duy yf(u，v)dv 当 1，y1 时，F(，y) -11du-11 dv1； 当01 ，y1 时，F(，y) -du-11 dv； 当 1，0y1 时，F(，y) -11du-yy dvy； 当 0 1，0y1 时，F( ，y) -du-yy dvy于是，关于X 的(边缘)分布函数为： 而关于Y 的(边缘)分布函数为： 可见 FX().FY(y)F(， y)， (，y) R2，即X与Y相互独立【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由已知可得：(X，Y，Z)的概率
19、密度为PXmin(XY，Z)PXY ，XZ f(，y，z)ddydz 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 令 ac0，bd2，则 ab，cd，但F(b，d)F(a，d) F(b，c) F(a，c)111 010可见 F(，y) 不是随机变量的分布函数【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由题意，(X，Y)的概率密度为则 F(u)P(u) P( u) u0 时，F(u)0； u1 时，F(u)1； 0u 时，其中 G 见图 1 中阴影部分；u1 时，其中 D 见图 2 中阴影部分【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 P(Z0)P(XY1)P(X0， Y1)P
20、(X1，Y 0)2p(1 p) P(Z1)P(XY0) P(X Y1) P(X0，Y 0)P(X1，Y1)(1 p)2p 2 而 P(X0，Z0)P(X0，Y1)P(X0)P(Y1)p(1p) 如果P(X0，Z0)P(X0)P(Z0) ，则须 p(1p)(1p).2p(1p) 解得 p ，不难算出，p 时，P(X0，Z1)P(X0)P(Z 1) ，P(X1，Z 0)P(X1)P(Z0) ，P(X1，Z1)P(X1)P(Z1) 故知当且仅当 p时，X 与 Z 独立【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 (1)a 时，P(X)0，故 P(X，Yy) P(X)P(Yy) 0； a 时，P(
21、X) 1，故 P(X，Yy)P(Yy)P(X)P(Yy) yR1 即(，y) R2，有 P(X，Yy)P(X)P(Yy)， 即 X 与 Y 独立； (2)由已知得：(，y) R2有 P(X，Xy)P(X)P(Xy)记 X 的分布函数为 F()，则 F()P(X) 前式中令 y 即得 F()F() 2，可见 F()只能取 0 或 1，又由 F()0，F()1，知必存存 C(常数)，使得 故 PXC1【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 由题意，X 的概率密度为 () ，而已知 X 条件下，Y 的条件概率密度为 fYX (y) ， 故(X ，Y)的概率密度为 f(，y) ()f YX
22、(y) 可见(X ，Y)服从二维正态分布，且 EXEY0，DXDY1，(X ，Y) 的相关系数为 ， 故YN(0 ，1) ， Y 的概率密度为 (y)，故 Yy 的条件下 X 的条件概率密度为 fX Y(y) ，yR *， R1【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 易算得 D1 的面积为 ，D 2 的面积为 ，故 D 的面积为 ， (X，Y)的概率密度为 fX() f(，y)dy 当0 或 1 时， fX()0； 当 0 时，f X() 2dy1； 当 1 时，fX() 2dy 12dy1 而 fY(y) f(，y)d 当 y0 或 y1 时，f Y(y)0； 当 0y 时，f Y
23、(y) 02d 2d1； 当 31 时，f Y(y) 2d 1故【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 X 的概率密度为：f X() 的分布函数 F1(y)P(Yy)P(1e -2Xy)P(e -2X1y) ，1y0 即 y1 时，F Y(y)1，f Y(y)0；1y0 即 y1 时，F Y(y)P2Xln(1 y)PX ln(1y)fX()d，【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 记 X1，X 2，X 3 为这 3 个元件的无故障丁作的时间，则Tmin(X 1，X 2，X 3)的分布函数为 FT(t)P(Tt) 1Pmin(X 1，X 2，X 3)t1P(X 1t) 3
24、11 P(Xit)3 1故 f(t)(t) F T(t)【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 记 Xi 则 P(Xi1)， 即 Xi ， EX i ，i1，2，n 而 XXi，故 EX 1【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 设 AC、AD 的长度分别为 X、Y ，由题意知 X 与 Y 独立同分布，均服从区间(0，a)上的均匀分布，故(X，Y)的慨率密度为：其中 D(，y)0 a，0ya，而 CD的长度为XY，故知【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 EY iP(X iX i+1)P(X i0，X i+11)P(X i1，X i+10)2p(1 p) ， i
25、1，n 2np(1p)， 而 E(Yi2)P(X iX i-11)2p(1 p)， DY iE(Y i2)(EY i)2 2p(1p)12p(1p)，i1，2，n 若 lk2，则 Yk 与 Yl 独立，这时 cov(Yk，Y l)0，而 E(YkYk+1)P(Y k1，Y k+11) P(X kX k+11，X k-1X k-21)P(X k0，X k+11，X k+20)P(X k1，X k-10，X k+21) (1 p) 2pp 2(1p)p(1 p)， cov(Yk，Y k+1)E(Y k，Y k+1)EY k.EYk-1 p(1p) 4p 2(1p) 2， 故2np(1p)12p(1
26、p)2 cov(Yk，Y k+1) 2np(1p)1 2p(n1)2(n1)p(1p)4p 2(1p) 2 2p(1 p)2n6np(1p)4p(1p)1【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 EU2EXEY423 24 4，DUD(2X Y 4)4DXDY4coy(X，Y)4924EE(XY) EX.EY3624(532)34【知识模块】 概率论与数理统计34 【正确答案】 tR1，有 0E(XtY) 2E(X 2)2tE(XY)t 2E(Y2)，故此二次型(变量为 t)无实根或有重根，所以其判别式 0，而4E(XY) 24EX 2.EY2，即得E(XY)2E(X2).E(Y2)【知识模块】 概率论与数理统计
