1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 36 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B，C 为任意的三个事件，则与 A 一定互不相容的事件是( )2 设连续型随机变量 X 的密度函数和分布函数分别为 f(x)与 F(x)，则( )（A）f(x)可以是奇函数（B） f(x)可以是偶函数（C） F(x)可以是奇函数（D）F(x)可以是偶函数3 设 XN(2 ， 2)，其分布函数为 F(x)，则对于任意实数 a，有( )（A）F(a)+F(a)=1（B） F(a)+F(a)1（C） F(a)+F(a)1（D）F(2+a)+F(2a)=14 设随机变量
2、X 与 Y 相互独立，则( )（A）D(XY)=D(X)D(Y)（B）（C）（D）D(XY) D(X)D(Y)5 设二维随机变量(x，y) 在椭圆 上服从均匀分布，则( )（A）X 服从a ，a上的均匀分布（B） X 与 Y 不相关（C） Y 服从b，b上的均匀分布（D）X 和 Y 相互独立6 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，E(X)未知， 是样本均值，则下列样本的函数中不是统计量的为( )（A）minX 1，X 2，X n)（B） maxX1，X 2，X n)（C） X1E(X 1)（D）X n7 设总体 XN(， 2)，其中 2 已知，若已知样本容量和置信度： 1
3、 均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值 的置信区间的长度 ( )（A）变长（B）变短（C）不变（D）不能确定8 设总体 XN(， 2)， 未知，则 2 的置信度为 1 的置信区间为(注：等均为上分位数记号)( )二、填空题9 已知 XN(， 12)，YN(2 ， 22)，x 与 y 相互独立，而且 P(XY1)= ，则=_10 设随机变量 X 数学期望 E(X)=11，方差 D(X)=9，则根据契比雪夫不等式估计P5X17_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 甲袋中有 4 个白球和 6 个黑球，乙袋中有 5 个白球和 5 个黑球，今从甲袋中任取 2 个球，从乙袋中任取一
4、个球放在一起，再从这 3 个球中任取一球，求最后取到白球的概率11 已知 x 的概率密度为 试求：12 未知系数 a；13 X 的分布函数 F(x)；14 X 在区间 内取值的概率15 设随机变量 x 的概率分布为 的分布律16 袋中有 5 个白球、1 个黑球和 4 个红球，用非还原方式先后从袋中取出两个球考虑随机变量 试求 X1 和 X2 的联合概率分布16 设随机变量 u 和 V 的可能取值均为 1 和1，且 P(U=1)= ，P(V=1U=1)=17 求 U 和 V 的联合分布律；18 求协方差 Cov(U+1， V1) ；19 求关于 X 的方程 x2+Ux+V=0 至少有一个实根的概
5、率19 设随机变量 Z 的概率密度为 令随机变量20 试求 X 和 Y 的联合分布律；21 X 与 Y 是否相互独立?22 计算协方差 Cov(2X+2005，Y2008) 23 设随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率密度为求随机变量 Z=XY 的概率密度 g(z)24 设随机变量 X 的概率密度 求方差 D(X)和 D(X3)25 设随机变量 X 与 Y 分别表示将一枚骰子接连抛两次后出现的点数试求齐次方程组： 的解空间的维数(即基础解系所含向量的个数)的数学期望和方差26 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从0，2上的均匀分布，令U=XY，试求 D(U)27 设总体 X 的数学期望
6、 E(X)=，方差 D(X)=2， X1，X 2，X n 为取自总体 X的简单随机样本， 的相关系数，ij，i,j=1 ，2，n28 设 X1，X 2，X 25 是取自于正态总体 N(，9)的样本，其中 为未知参数，如果对检验问题 H0：= 0，H 1： 0，取检验的拒绝域为 W=(X1，X 1，X 25)：其中 试决定常数 C，使检验的显著性水平为 005考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 36 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 故选 A【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 由分布函数 F(
7、x)的非负性和单调增加性即可排除 C，D；另外，由密度函数的性质可排除 A故选 B【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 利用正态分布的标准化易得 故选 D【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 由 X 与 Y 独立可知 X 与 也独立，从而由数学期望的性质知 C 正确故选 C【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 根据定积分、重积分的对称性易得 E(X)=0，E(Y)=0，E(XY)=0 ，从而 Cov(X，Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0 ，即 X 与 Y 不相关故选 B二维均匀分布的边缘分布一般不是一维均匀分布，
8、除非平面区域为下列矩形：axb，cyd 【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 E(X 1=E(X)未知，故 X1E(X 1)中含有未知参数，从而不是统计量，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 此时 的置信区间为 从而其长度显然 L 与样本值的变化无关故选C【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 因 未知，应选取枢轴量 从而 2 的置信度为 1的置信区间为选项(B)故选 B【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题9 【正确答案】 应填1【试题解析】 由正态分布的性质可知 XY 仍服从正态分布又 E(XY)=E(
9、X)E(Y)=，故=1，即 =1【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 应填【试题解析】 P(5 X17) =P(511X111711) =P(6X E(X)6) =P(XE(X) 6)【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 设 B1=从甲袋中取到 2 个白球) ， B2=从甲袋中取到 1 个白球，1个黑球)，B 3=从甲袋中取到 2 个黑球)，A 1=从乙袋中取到白球)，A 2=从乙袋中取到黑球)，A= 最后取到白球) 由全概率公式得 P(A)=P(A B 1A1)P(B1A1)+P(AB 1A2)P(B1A2)+P(AB
10、 2A1)P(B2A1) +P(AB 2A2)P(B2A2)+P(AB 3A1)P(B3A1)+P(AB 3A2)P(B3A2)【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 由 +f(x)dx=1， 即 0+ax2ex dx=1，得【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 分布函数【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 Y 的可能取值为1，0，1，且【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 因此，X 1 与 X2 的联合分布律为【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统
11、计17 【正确答案】 故联合分布律为【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 Cov(U+1 ，V1)=Cov(U，V)=E(UV)=E(U)E(V)=【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 方程 x2+Ux+V=0 至少有一个实根，即有 U 24V0故所求概率为 P(U 24V0)=P(U=1，V=1)+P(U=1 ，V=1)【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 故所求联合分布律为【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 X 与 Y 的边缘分布律为由于 P(X=1，y=1)P(X=1)P(Y=1)，故 X 与 Y 不独立【知
12、识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 Cov(2X+2 005，Y2 008)=2Cov(X，Y)=2E(XY)E(X)E(Y) ，而 E(X)=0，E(Y)=0，E(XY)= 故 Cov(2X+2 005，Y2 008)=【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 X 与 Y 的联合密度为当 z0 时，F Z(z)=0；当 0z2 时，如图 38， 当 z2 时，如图39， 因此 Z=XY的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 E(X)= +xf(x)dx =1 0x(1+x)dx+01(1x)dx =0 E(x 2)=1 0x2(1+x)dx+01x2(
13、1x)dx= 从而 D(X)=E(X 2)E 2(X)= 又 D(X 3)=E(X6)E 2(X3)， E(X 3)=1 0x3(1+x)dx+01x3(1x)dx=0 ， E(X6)=1 0x6(1+x)dx+01x6(1x)dx= 故 D(X 3)=E(X6)E 2(X3)=【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 设 Z 表示解空间的维数，A 为系数矩阵，r(A)为 A 的秩由已知可知 X 与 Y 独立且同下列分布 P(X=i)=P(Y=i)= ，i=1，2，6对 A 作初等行变换得 于是 r(A)的可能取值为1，2，3，Z 的可能取值为 3r(A) ，即 0，1，2P(Z=0)
14、=P(X20，X 24Y0) =1P(X=2)U(X 2=4Y) =1P(X=2)P(X 2=4Y)+P(X=2，X 2=4Y) =1P(X=2)P(X=2，Y=1)+P(X=4，Y=4)+P(X=2，Y=1) =1P(X=2)P(X=4，Y=4)P(Z=2)=P(X2=0 ，22Y=0，X 24Y=0) =P(X=2，Y=1) =P(X=2)P(Y=1) P(Z=1)=1P(Z=0)P(Z=2)= 从而 Z 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 如图 313 所示，易知 X 与 Y 的联合密度为其中区域 B=(x，y)0x，y2 E(U)=EXY 因此 D(U)=E(U2)E 2(U)=【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 类似可得故所求相关系数为【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 因为 XN(，9)，所以 在 H0 成立下所以 C=1176【知识模块】 概率论与数理统计
