1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X1，X n 为相互独立的随机变量，S n=X1+Xn，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当 n 充分大时，S n 近似服从正态分布，只要 X1，X n（A）有相同的数学期望；（B）有相同的方差；（C）服从同一指数分布；（D）服从同一离散型分布2 设总体 XN(， 2)从中抽得简单样本 X1，X 2，X n记则 Y1 2(n)，Y2 2(n-1)且（A）Y 1、Y 2 均与 独立（B） Y1、Y 2 均与 不独立（C） Y1 与 独立，而 Y2 未必（D）Y 2 与
2、独立，而 Y1 未必二、填空题3 对随机变量 X，Y，已知 3X+5Y=11，则 X 和 Y 的相关系数为_4 设总体 XN(， 2)，从 X 中抽得容量为 16 的简单样本，S 2 为样本方差，则D(S2)=_5 设 XF(n，n)，且 P(|X|A)=0 3，则 =_(其中 A 为一常数)6 设 X1，X n 是来自总体 N(， 2)的简单样本，其中 、 2 均未知记，则假设 H0： =0 的 t 检验使用的统计量t=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 对随机变量 X 和 Y，已知 EX=3，EY= 一 2，DX=9，DY=2，E(XY)=一 5设U=2XY 一 4，求
3、 EU，DU8 对随机变量 X，Y，已知 EX2 和 EY2 存在，证明：E(XY) 2E(X2).E(Y2)9 设 X1，X 2，X n 是同分布的随机变量，且 EX1=0，DX 1=1不失一般性地设X1 为连续型随机变量证明：对任意的常数 0，有 (不熟者可对 n=2 证明)10 两家影院竞争 1 000 名观众，每位观众随机地选择影院且互不影响试用中心极限定理近似计算：每家影院最少应设多少个座位才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过 1?(2 328)=0 990 0)11 (1)设系统由 100 个相互独立的部件组成运行期间每个部件损坏的概率为01至少有 85 个部件是完好时系
4、统才能正常工作，求系统正常工作的概率=0952 2 (2) 如果上述系统由 n 个部件组成，至少有 80%的部件完好时系统才能正常工作问 n 至少多大才能使系统正常工作的概率不小于095?(1645)=09512 对随机变量 X，已知 EekX 存在(k0 常数)，证明：13 当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在 0.4 至06 之间的概率不小于 09?试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解14 利用中心极限定理证明：15 设总体 X 具有概率密度：f(x)= 从此总体中抽得简单样本X1，X 2，X 3，X 4，求 T=16 设总体 XN(， 2)， X1，X n
5、为取自 X 的简单样本，记 |Xi 一|，求 E(d)， D(d)17 设总体 XN(72，100)，为使样本均值大于 70 的概率不小于 095，样本容量n 至少应取多大?(1645)=09518 从一正态总体中抽取容量为 10 的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4 以上的概率为 002，求总体的标准差(233)=099)19 设总体 XN(， 2)，从 X 中抽得样本 X1， ，X n，X n+1，记试求 的分布20 设 k 个总体 N(i， 2)(i=1，k)相互独立，从第 i 个总体中抽得简单样本：Xi1,Xi2，X in，记21 从总体 XN(0， 2)中抽得简单样本 X1，
6、X n+m，求22 设总体的密度为： 其中 0，而 和 为未知参数从 X 中抽得简单样本 X1，X 2，X n试求 和 的矩估计和最大似然估计23 设总体 X 在区间( 一 ，+)上服从均匀分布，从 X 中抽得简单样本X1，X n，求 和 (均为未知参数)的矩估计，并问它们是否有一致性24 设总体 X 在区间0，上服从均匀分布，其中 0 为未知参数，而X1，X n 为从 X 中抽得的简单样本，试求 的矩估计和最大似然估计，并问它们是否是 的无偏估计?25 设 Y=lnXN(， 2)，而 X1，X n 为取自总体的 X 的简单样本，试求 EX 的最大似然估计26 从均值为 ，方差为 20 的总体
7、中分别抽取容量为 n1 和 n2 的两个独立样本，样本均值分别记为 X1 和 X2试证：对任意满足 a+b=1 的常数 a、b，都是 的无偏估计并确定 a、b，使 D(T)达到最小27 总体 XN(2， 2)，从 X 中抽得简单样本 X1，X n试推导 2 的置信度为 1一 的置信区间若样本值为：18，21，20，19，22，18求出 2的置信度为 095 的置信区间( 0.9752(6)=14449， 0.0252(6)=1237下侧分位数)28 为了研究施肥和不施肥对某种农作物产量的影响独立地，选了 13 个小区在其他条件相同的情况下进行对比试验，得收获量如下表：设小区的农作物产量均服从正
8、态分布且方差相等，求施肥与未施肥平均产量之差的置信度为 095 的置信区间(t 0.975(11)=2201，下侧分位数)29 某种清漆的 9 个样品的干燥时间(小时)为：65，58，7，65，7，63，56，61，5设干燥时间 XN(， 2)，求 的置信度为 095 的置信区间在 (1)=06(小时)；(2) 未知两种情况下作(u 0.975=196，t 0.975(8)=2306 0，下侧分位数)30 随机地取某种炮弹 9 发做试验，得炮口速度的样本标准差 S=11设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为 095 的置信区间31 一个罐子里装有黑球和白球黑、白球数之比
9、为 R：1，现有放回地一个接一个地抽球，直到抽到黑球为止，记 X 为所抽的白球数这样做了 n 次以后，我们获得一组样本：X 1，X 2，X n基于此，求 R 的最大似然估计32 用过去的铸造方法，零件强度的标准差是 16 kgmm 2为了降低成本，改变了铸造方法，测得用新方法铸出的零件强度如下：52，53，53，54，54，54，54，51，52设零件强度服从正态分布，取显著性水平=005，问改变方法后零件强度的方差是否发生了变化?( 0.9752(8)=17535 ， 0.0252(8)=2180，下侧分位数)33 一批矿砂的 4 个样品中镍含量测定为()：325，326，324，325设测
10、定值总体服从正态分布，问在 =001 下能否接受假设：这批矿砂镍含量的均值为 326(t 0.99(3)=5840 9，下侧分位数)34 测得两批电子器材的部分电阻值为： A 批：140 ，138，143，142，144，139； B 批： 135，140，142，136，135，140 设两批电子器材的电阻均服从正态分布，试在 =005 下检验这两批电子器材的平均电阻有无显著差异(t 0.975(10)=22281 ，F 0.975(5，5)=715，下侧分位数提示：先检验方差相等)考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题
11、目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题3 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 0.7【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 EU=2EXEY-4=23+24=4，DU=D(2XY 一 4)=4DX+DY 一4cov(X，Y)=49+24EE(XY) 一 EX.EY=36+24(一 5+32)=34【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答
12、案】 tR1，有 0E(X+tY)2=E(X2)+2tE(XY)+t2E(Y2)，故此二次型(变量为 t)无实根或有重根，所以其判别式0，而=4E(XY) 2 一 4EX2.EY2，即得E(XY)2E(X2)E(Y 2)【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 由已知可知：E(X i2)=DXi+(EXi)2=1，i=1，n设(X 1，X n)的概率密度为 f(x1，x 2，x n)【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 设甲影院(乙影院完全同理)应设 N 个座位才符合要求，而这 1 000名观众中有 X 名选择甲影院，则 XB 由题意有：P(XN)0 99而由中心极限定理知：
13、【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 (1)设有 X 个部件完好，则 XB(100，09)EX=90，DX=9 ， P系统正常工作=PX85=(2)设有 Y 个部件完好，则 YB(n，09)，EX=09n，DX=009nPX08n=得 n2435 即 n25【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 不失一般性，设 X 为连续型随机变量，概率密度为 f(x)，则EekX=-+ekx.f(x)dx，而 Px=【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 没抛掷 n 次硬币，正面出现 X 次，则 XB(n，05)现要求即 P(04nX06n)09(1)用切比雪夫不等式：P(0
14、4nX06n)=P(|X 一 05n| 01n)得 n250；(2)用中心极限定理：P(04nX06n)=n6765 即 n68【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 引随机变量 Xk(1)(参数为 1 的泊松分布)，k=1 ，2，且Xk相互独立由泊松分布的再生性知【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 T 的分布函数为 FT(t)=P(Tt)= =P(X1t，X 4t)=P(X1t)4=【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 由题意知：n6765，即 n68【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 设总体
15、 XN(， 2)，则 ，由题意得：【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 相互独立，故【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 由 2(ni 一 1)，i=1 ，2，k且12， k2 相互独立， 即 T 2(n 一 k)【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 ，i=1，n+m，且诸 Xi 相互独立，故：又 相互独立，故【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 【
16、知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 设施肥与不施肥的农作物产量分别为总体 X 与 Y，XN( 1， 2)，YN( 2， 2)，本题中 n=6,=4，1一 =095，故 1 一 2 的置信下限为【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 设炮口速度为总体 X，XN( ， 2)，而 n=9，=005 的置信下限为 ， 的置信上限为【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 由题意，总体 X 的分布律为：PX=k= ，k=0，1，2，似然函数为 L=【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 设零件强度为总体 X，则 XN(， 2)，检验 H0： 2=16 2拒绝域为故接受 H0【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 设这批矿砂的镍含量为总体 X，则 XN(， 2)检验H0：= 0这儿 0=326 ，n=4 ，拒绝域为：【知识模块】 概率论与数理统计34 【正确答案】 设 A、B 批电子器材的电阻值分别为总体 X 和 Y，则XN( 1， 12)，YN( 2， 22)先检验 H0： 12=【知识模块】 概率论与数理统计
