1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 29 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 XU1，7，则方程 x2+2Xx9=0 有实根的概率为( )2 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，1)，Y N(1 ，1)，则( ) 3 设(X 1，X 2，X n)(n2)为标准正态总体 X 的简单随机样本，则( )（A） N(0，1)（B） nS2 2(n)（C） t(n1)（D） F(1，n1)二、填空题4 设 P(A)=04，且 P(AB)= ，则 P(B)=_5 设一次试验中，出现事件 A 的概率为 p，则 n 次试验中 A 至少发生一次的概率为_
2、，A 至多发生一次的概率为_ 6 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 P(X=0)= P(X=1)，则 P(X1)=_。7 设离散型随机变量 X 的分布函数为 FX(x)= 则 Y=X2+1 的分布函数为_8 设 XP(1)，YP(2)，且 X，Y 相互独立，则 P(X+Y=2)=_9 随机变量 X 的密度函数为 f(x)=kex (一 x+)，则 E(X2)=_10 设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XU一 1，3，Y B(10， )，ZN(1，3 2)，且随机变量 U=X+2Y 一 3Z+2，则 D(U)=_11 设 D(X)=1，D(Y)=9 ， XY=一 03，则 Cov(
3、X，Y)=_12 设随机变量 XN(1，2)，YN( 一 1，2)，ZN(0 ，9) 且随机变量 X，Y ，Z 相互独立，已知 n(X+Y)2+bZ2 2(n)(ab0)，则a=_，b=_，n=_13 某产品废品率为 3，采用新技术后对产品重新进行抽样检验，检查是否产品次品率显著降低，取显著性水平为 005，则原假设为 H0：_，犯第一类错误的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 10 件产品有 3 件次品，7 件正品，每次从中任取一件，取后不放回，求下列事件的概率：14 第三次取得次品；15 第三次才取得次品；16 已知前两次没有取到次品，第三次取得次品；17 不超
4、过三次取到次品18 一批产品有 10 个正品 2 个次品，任意抽取两次，每次取一个，抽取后不放同，求第二次抽取次品的概率18 设起点站上车人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0p1) ，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示中途下车人数19 求在发车时有 n 个乘客的情况下，中途有 m 个乘客下车的概率；20 求(X，Y)的概率分布21 设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为则在 Y=1 的条件下求随机变量 X的条件概率分布21 设随机变量(X，Y) 的联合密度为 f(x，y)= 求：22 X，Y 的边缘密度；23 24 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中
5、各部件需要调整的概率分别为01，02，03，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，求 E(X)，D(X)25 一民航班车上有 20 名旅客，自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车次数，求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的)26 设随机变量 X 的数学期望和方差分别为 E(X)=，D(X)= 2，用切比雪夫不等式估计 PX 一 326 某保险公司统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20，用 X 表示抽取的100 个索赔户中被盗索赔户的户数27 求 X 的概率分布；28 用拉普拉斯定理求被盗户数不少于 14 户且不多
6、于 30 户的概率的近似值29 设 X1，X 2，X 7 是总体 XN(0，4)的简单随机样本，求 P( Xi264)30 设总体 X 的分布律为 P(X=k)=(1p) k1 p(k=1，2，)，其中 p 是未知参数，X1，X 2，X n 为来自总体的简单随机样本，求参数 p 的矩估计量和极大似然估计量考研数学一（概率统计）模拟试卷 29 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 Xf(x)= ，方程 x22Xx 9=0 有实根的充要条件为=4X2 一 360 X29，P(X 29)=1 一 P(X29)=1 一 P(1X 3)
7、= 【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 B【试题解析】 X，Y 独立，XN(0，1)，YN(1 ，1)，X+Y N(1 ，2)，所以选(B)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 D【试题解析】 由 X12 2(1)，F(1，n 一 1)，选(D)【知识模块】 概率统计二、填空题4 【正确答案】 06【试题解析】 因为 =1 一 P(A+B)，所以 P(AB)=1 一 P(A+B)=1 一 P(A)一 P(B)P(AB)，从而 P(B)=1 一 P(A)=06【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 1 一(1 一 P)n，(1 一 P)n1 1+(n 一 1)p；【试题解析】 令 B=A
8、至少发生一次，则 P(B)=1Cn0p0(1 一 p)n=1 一(1 一 P)n， 令 C= A 至多发生一次， 则 P(C)=Cn0p0(1 一 p)n+Cn1(1 一 p)n1 =(1 一 P)n 11+(n 一 1)p【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 1 一 e2【试题解析】 X 的分布律为 P(X=k)= e (k=0，1，2，)，由 P(X=0)= P(X=1)得 =2，P(X1)=1 一 P(X=0)=1 一 e2 【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 F Y(y)=【试题解析】 X 的分布律为 X ，Y 的可能取值为1，2，10，P(Y=1)=P(X=0)= ，P(Y=2
9、)=P(X=1)= ，P(Y=10)=P(X=3)= ，于是Y 的分布函数为 FY(y)=【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 e3【试题解析】 P(X+Y=2)=P(X=0，Y=2)+P(X=1， Y=1)+P(X=2，Y=0)，由 X，Y 相互独立得 P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 2【试题解析】 因为 f(x)dx=1，所以 kex dx=2k0 ex dx=2k=1，解得k= 于是 E(X2)= x2f(x)dx= 20 x2ex dx= =2！=2 【知识模块】 概率统计10 【
10、正确答案】 【试题解析】 由 XU一 1，3，YB(10， )，ZN(1 ，3 2)得，D(Z)=9，于是 D(U)=D(X)+4D(Y)+9D(Z)= 【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 一 09【试题解析】 Cov(X，Y)= =0313=一 09【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 a= ，b= ，n=2；【试题解析】 由 XN(1，2)，YN( 1，2)，ZN(0，9)，得 XY N(0，4)且N(0，1)，故 ，n=2 【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 p3，5【试题解析】 原假设为 H0：p3，犯第一类错误的概率为 5【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字
11、说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 P(A 3)= ；【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 (试验还没有开始，计算前两次都取不到次品，且第三次取到次品的概率)【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 (已知前两次已发生的结果，唯一不确定的就是第三次)【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 P(A 1+A2A 3)=1 ，【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 令 A1=第一次抽取正品， A2=第一次抽取次品，B=第二次抽取次品，由全概率公式得 P(B)=P(A1)P(BA 1)+P(A2)P(BA 2)= 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计19
12、 【正确答案】 设 A=(发车时有 n 个乘客)，B=(中途有 m 个人下车) ，则 P(BA)=P(Y=mX=n)=C nmpm(1 一 p)nm (0mn) 【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 P(X=n ，Y=m)=P(AB)=P(BA)P(A)=C nmpm(1 一 p)nm e (0mn，n=01，2) 【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 因为 P(Y=1)=06，所以 P(X=0Y=1)=，P(X=1Y=1)= 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 f X(x)= f(x，y)dy=【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率统
13、计24 【正确答案】 令 Ai=第 i 个部件需要调整(i=1，2，3)，X 的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)= =090807=0504，P(X=1)=0398，P(X=3)=P(A 1A2A3)=0006 ，P(X=2)=1 一 0 50403980006=0 092，所以 X 的分布律为 X，E(X)=10398+20092+30006=06，D(X)=E(X 2)一E(X)2=120398+2 20092+3 20006036=046【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 令 Xi= (i=1，2，10)，显然X=X1+X2+X10。因为任一旅客在第 i 个站不下车的概率为
14、09，所以 20 位旅客都不在第 i 个站下车的概率为 09 20，从而第 i 个站有人下车的概率为 109 20，即 Xi 的分布律为 Xi (i=1，2，10)，于是 E(Xi)=109 20(i=1，2，10)，从而有 E(X)= E(Xi)=10(109 20)=8784【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 P X 一 31 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 XB(100，02)，即 X 的分布律为 P(X=k)=C100k02 k 08 100k (k=01，2，100)【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 E(X)=20，D(X)=16 P(14X30)=(25)一 (一 15)=0927【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 由 X1，X 2，X 7 与总体服从相同的分布且相互独立，得Xi2 2(7)，于是 ，查表得 0025 2(7)=16014 ，故 P( Xi264)=10025=0975【知识模块】 概率统计30 【正确答案】 E(X)=，L(p)=P(X=x1)P(X=xn)= ，lnL(p)=( 一 n)ln(1 一 p)+nlnp，令=0，得参 p 的极大似然估计量 【知识模块】 概率统计
