1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X 和 Y 分别表示扔 n 次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为( )（A）一 1（B） 0（C）（D）12 设随机变量 XU一 1，1，则随机变量 U=arcsinX，V=arccosX 的相关系数为( )（A）一 1（B） 0（C）（D）13 对于随机变量 X1，X 2，X n，下列说法不正确的是( )（A）若 X1，X 2，X n 两两不相关，则 D(X1，X 2，X n)= D(Xi)（B）若 X1，X 2，X n 相互独立，则 D(X1，X 2，X
2、n)=D(X1)+D(X2)+D(Xn)（C）若 X1，X 2，X n 相互独立同分布，服从 N(0， 2)，则（D）若 D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn)，则 X1，X 2，X n 两两不相关4 设(X，Y) 服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1 ，1)，Y N(2 ，4) ，X，Y的相关系数为 XY=一 05，且 P(aX+bY1)=05 ，则( ) 二、填空题5 设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 ，且 E(X)=0，E(Y)=1 ，E(X 2)=4，E(Y 2)=10，则 E(X+Y)2=_6 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ，则 PX E(X)
3、2D(X)=_7 设 X 的分布函数为 F(x)= ，且 Y=X2 一 1，则 E(XY)=_8 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ，则 E(X)=_，D(X)_9 设随机变量 XP()，且 E(X 一 1)(X 一 2)=1，则 =_10 设每次试验成功的概率为 02，失败的概率为 08，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则 E(X)=_11 设随机变量 X，Y 不相关，XU(3，3)，Y 的密度为 fY(y)=，根据切比雪夫不等式，有 PX Y3_12 将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为 X，用切比雪夫不等式估计P(14X28)= _13 设 X1，X 2，X
4、100 相互独立且在区间一 1， 1上同服从均匀分布，则由中心极限定理 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设随机变量 X，Y 相互独立，且 X ，又设向量组1， 2， 3 线性无关，求 1+2， 2+X3，Y 1 线性相关的概率15 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XP(1)，Y P(2)，求 Pmax(X，Y)0及Pmin(X，Y)016 设随机变量 X，Y 相互独立，且 X ，YE(4)，令 U=X+2Y，求 U的概率密度17 n 把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差： (1)试开过的钥匙除去
5、； (2)试开过的钥匙重新放回18 设一部机器一天内发生故障的概率为 ，机器发生故障时全天停止工作若一周 5 个工作日无故障，则可获利 10 万元；发生一次故障获利 5 万元；发生两次故障获利 0 元；发生三次及以上的故障亏损 2 万元，求一周内利润的期望值19 设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格产品销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T(单位：元 )与销售零件的内径 X 有如下关系：问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大 ?20 某商店经销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种
6、商品的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10，20上的均匀分布商店每出售一单位商品可获利 1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利500 元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值21 设随机变量 X，Y 相互独立，且 X ，Z= X Y，求 E(Z)，D(Z)22 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，令U= ，求：(1)(U ，V)的分布； (2)U，V 的相关系数23 设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望24 设随机变量 X 的密度函数
7、为 f(x)= e-x (一 x+) (1)求 E(X)，D(X)； (2)求 Cov(X， X)，问 X，X是否不相关? (3)问 X，X是否相互独立?25 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1 ，3 2)，Y N(0 ，4 2)，且X，Y 的相关系数为一 (1)求 E(Z)，D(Z) ； (2)求 XY； (3)X，Z 是否相互独立? 为什么 ?26 设随机变量(X，Y) 在区域 D=(x，y)0x2，0y1上服从均匀分布，令(1)求(U，V)的联合分布； (2)求 XY27 设随机变量 X1，X 2，X m+n(mn)独立同分布，其方差为 2，令 Y=Xm+k求：(1)
8、D(Y)，D(Z) ； (2) XY28 设 X1，X 2，X n(n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i=Xi(i=1，2，n)求：(1)D(Y i)(i=1，2，n)； (2)Cov(Y 1，Y n)； (3)P(Y1+Yn0)29 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2)分布，令 Z=max(X，Y) ，求E(Z)30 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立目在0， a上服从均匀分布，令U=maxX1， X2，X n，求 U 的数学期望与方差31 电信公司将 n 个人的电话资费单寄给 n 个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X 表示收到自己电话资费单的人
9、的个数，求 E(X)及 D(X)32 设 X，Y 为随机变量，且 E(X)=1，E(Y)=2，D(X)=4，D(Y)=9， XY=一 ，用切比雪夫不等式估计 P X+Y 一 31033 一电路使用某种电阻一只，另外 35 只备用，若一只损坏，立即使用另一只更换，直到用完所有备用电阻为止设电阻使用寿命服从参数为 =001 的指数分布，用 X 表示 36 只电阻的使用总寿命，用中心极限定理估计 P(X4200)(1)=08413 ，(2)=09772)考研数学一（概率统计）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 设正
10、面出现的概率为 P，则 XB(n，p) ，Y=n 一 XB(n，1 一 p)，E(X)=np，D(X)=np(1 一 p)，E(Y)=n(1 一 p)，D(y)=np(1 一 p)， Cov(X，Y)=Cov(X，n 一 X)=Cov(X，n)一 Cov(X，X)， 因为 Cov(X，n)=E(nX)一 E(n)E(X)=nE(X)一 nE(X)=0， Cov(X，X)=D(X)=np(1 p)，所以 XY= =一1，选(A)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 A【试题解析】 当 PY=aX+b=1(a0)时， XY=1；当 PY=aX+b=1(a0)时， XY=一 1 因为 arcsin
11、x+arccosx= ，所以 UV=一 1， 选(A) 【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 D【试题解析】 若 X1，X 2，X n 相互独立，则(B)，(C) 是正确的，若X1，X 2，X n 两两不相关，则 (A)是正确的，选 (D)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 D【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 aX+bY 服从正态分布， E(aX+bY)=a+2b， D(aX+bY)=a 2+4b2+2abCov(X， Y)=a2+4b2 一 2ab， 即aX+bYN(a+2b ，a 2+4b2 一 2ab)， 由 P(aX+bY1)=05 得 a+2b=1，所以选(D
12、)【知识模块】 概率统计二、填空题5 【正确答案】 18【试题解析】 D(X)=E(X 2)一E(X) 2=4，D(Y)=E(Y 2)一E(Y) 2=9，Cov(X，Y)=XY =2，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=4+9+4=17 ，则E(X+Y)2=D(X+Y)+E(X+Y)2=17+1=18【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 06【试题解析】 随机变量 X 的分布律为 X E(XY)=EX(X2 一 1)=E(X3 一 X)=E(X3)一 E(X)，因为 E(X3)=一 80 3+105+802= 一03，E
13、(X)=一 203+10 5+202=03，所以 E(XY)=一 06【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 1【试题解析】 因为 XP()，所以 E(X)=，D(X)=，故 E(X2)=D(X)+E(X)2=2+ 由 E(X 一 1)(X 一 2)=E(X2 一 3X+2)=E(X)一 3E(X)+2=2 一 2+2=1 得=1【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 5【试题解析】 X 的分布律为 P(X=k)=0208 k1，k=1 ，2，【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计12 【正确答
14、案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 08413【试题解析】 【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 令 k1(1+2)+k2(2+X3)+k3Y1=0，整理得(k 1+Yk3)1+(k1+k2)2+Xk23=0 因为 1， 2， 3 线性无关，所以有 又1+2， 2+X3，Y 1 线性相关的充分必要条件是上述方程组有非零解，即=0，从而 XY=0，即 1+2， 2+X3， Y1 线性相关的充分必要条件是XY=0注意到 X，Y 相互独立，所以 1+2， 2+X3，Y 1 线性相关的概率为【知识模块】 概率统计15 【正
15、确答案】 Pmax(X，Y)0=1 一 Pmax(X，Y)=0=1 一 P(X=0，Y=0) =1一 P(X=0)P(Y=0)=1 一 e-1e-2=1 一 e-3 Pmin(X，Y)0=1 一 Pmin(X，Y)=0， 令A=X=0，B=Y=0，则min(X，Y)=0=A+B， 于是 Pmin(X，Y)=0=P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB) =e-1+e-2 一 e-1e -2=e-1+e-2e-3， 故 Pmin(X，Y)0=1 一 e-1一 e-2+e-3【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 F U(u)=P(Uu)=P(X+2Yu) =P(X 一 1)P(X+2YuX
16、=1)+P(X=2)P(X+2Yu X=2)【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 (1)设 X 为第一种情况开门次数， X 的可能取值为 1，2，n 【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 则 E(Y)=10P(X=0)+5P(X=1)一 2P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) =100328+5041020057=5 216(万元)【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 E(T)=一 1P(X10)+20P(10X12) 一 5P(X12) =一 (10)+20(12)一 (10 一 )一 51 一 (12 一 ) =25(12)21(10)5所以当 109 时，销售一个零件的平
17、均利润最大【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 设 R 为商店每周的利润，则有 R=因为 X，Y 相互独立且都服从10，20上的均匀分布，所以(X，Y) 的联合密度函数为【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 (1)因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以 X 的分布函数为(U，V)的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1 ，0)，(1，1)P(U=0，V=0)=P(X1，X2)=P(X1)=F(1)=1 一 e-2；P(U=0，V=1)=P(X1，X 2)=0；P(U=1，V=1)=P(X 1，X2)=P(X2)=1 一 F(2)=e-4；P
18、(U=1，V=0)=P(X1，X2)=e -2 一 e-4(U，V)的联合分布律为E(U)=e2，E(V)=e-4，E(UV)=e -4，E(U 2)=e-2，E(V2)=e -4，则 D(U)=E(U2)一E(U) 2=e-2 一 e-4，D(V)=E(V2)一E(V) 2=e-4 一 e-8，Cov(U，V)=E(UV)一 E(U)E(V)=e-4 一 e-6，于是 UV=【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 利用随机变量分解法【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 (1)E(X)= -+xf(x)dx=0， D(X)=E(X 2)一E(X) 2=l x2f(x)dx=l x2e-X
19、dx= =2(2)因为 Cov(X，X)=EX X 一 EXE X=EXX = -+xxf(x)dx=0 ， 所以 X，X不相关(3)对任意的a0，PXa，Xa=PXa，而 0P(Xa) 1，所以PXa，Xa PXaP(Xa)，故X ，X 不相互独立【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 (3)因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 Z 服从正态分布，同时 X 也服从正态分布，又 X，Z 不相关，所以 X，Z 相互独立【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 (1)P(XY)= ，(U ，V)的可能取值为(0，0) ，(0，1) ，(1，0)，(1，1)P(U=0，V=1)=P(XY，X2Y)
20、=0；【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 (1)因为 X1，X 2，X m+n 相互独立，所以 D(Y)=D(Xm+k)=n2 (2)Cov(Y，Z)=Cov(X 1+Xm)+(Xm+1+Xn)，X m+1+Xm+n =Cov(X1+Xm，X m+1+Xm+n)+Cov(Xm+1+Xn，X m+1+Xm+n) =D(Xm+1+Xn)+Cov(Xm+1+Xn，X n+1+Xm+n)=(nm)2【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 因为 X1，X 2，X n 独立且都服从正态分布，所以 Y1+Yn 服从正态分布，E(Y1+Yn)=0P(Y 1+Yn0)= 【知识模块】 概率统计29 【正
21、确答案】 因为 X，Y 都服从 N(， 2)分布，所以 U=N(0，1)， 且 U，V 相互独立，则X=U+，Y=V+，故 Z=max(X，Y)=max(U，V)+， 由 U，V 相互独立得(U， V)的联合密度函数为 f(u，v)= (一 u，v+) 于是 E(Z)=Emax(U， V)+【知识模块】 概率统计30 【正确答案】 F U(u)=P(Uu)=Pmax(X1，X 2，X n)u =PX1u，X 2u，X nu【知识模块】 概率统计31 【正确答案】 令 Ai=第 i 个人收到自己的电话资费单)，i=1，2，n，X i=，i=1，2， ，n，则 X=X1u，X 2u，X n【知识模块】 概率统计32 【正确答案】 令 U=X+Y，则 E(U)=E(X)+E(Y)=3， D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=4+9+2( 一 )23=7， 于是X+Y 一 310=PU E(U)10 【知识模块】 概率统计33 【正确答案】 设第 i 只电阻使用寿命为 Xi， 则 XiE(001)，E(X i)=100， D(Xi)=1002(i=1，2，36)【知识模块】 概率统计
