1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 取非负整数值，PX=n)=a n(n1)，且 EX=1，则 a 的值为 ( )（A）（B）（C）（D）152 设 X1，X 2，X 3 相互独立，且均服从参数为 的泊松分布，令 Y= (X1+X2+X3)，则 Y2 的数学期望为 ( )（A）（B） 2（C）（D）3 设 X 为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数 C 和 0，必有 ( )（A）PXC)=EXC（B） PX C)E XC（C） PX C)E XC（D）PXC)DX 24 设随机向量(X，Y)
2、的概率密度 f(x，y)满足 f(x， y)一 f(-x，y)，且 XY 存在，则XY=( )（A）1（B） 0（C）一 1（D）一 1 或 15 设随机向量(X，Y) 服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1 ，1)，Y N(2 ，4) ，X 与 Y 的相关系数为 ，且概率 ，则 ( )（A）（B）（C）（D）6 设 X 是随机变量，EX0 且 E(X2)=07，DX=02，则以下各式成立的是 ( )（A）（B）（C）（D）7 已知随机变量 Xn(n=1，2，)相互独立且都在(一 1，1)上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有 (结果用标准正态分布函数 (x)表示)( )（A）(0)（
3、B） (1)（C）（D）(2)8 设 X1，X 2，X n 是总体 N(， 2)的样本， 是样本均值，记则服从自由度为 n 一 1 的 t 分布的随机变量是( )（A）（B）（C）（D）9 设总体 X 服从正态分布 N(，) ，X 1，X 2， Xn 是取自总体的简单随机样本，样本均值为 ，样本方差为 S2，则服从 2(n)的随机变量为 ( )（A）（B）（C）（D）10 设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0， 2)，已知 X1，X 2，X n 与Y1，Y 2，Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的两个相互独立的简单随机样本，统计量服从 t(n)分布，则 = ( )（A）1（B）（C）（
4、D）二、填空题11 设随机变量 X1，X 2，X 100 独立同分布，且EXi=0，DX i=10，i=1 ，2，100，令12 设随机变量 X 和 Y 均服从 ，且 D(X+Y)=1，则 X 与 Y 的相关系数=_13 设(X，Y)的概率密度为 则 Coy(X，Y)=_14 已知随机变量 XN(一 3，1)，YN(2 ，1)，且 X，Y 相互独立，设随机变量Z=X 一 2Y+7，则 Z_15 若 X1，X 2，X 3 两两不相关，且 DXi=1(i=1，2，3)，则 D(X1+X2+X3)=_16 设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为：则随机变量 Z=maxX
5、， Y)的分布律为_17 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，且则 EX1(X1+X2X 3)为_18 设随机变量 X 与 Y 的分布律为 且相关系数 则(X，Y) 的分布律为_19 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(0 ，3)，Y N(0 ，4) ，相关系数 XY= ，则(X，Y)的概率密度 f(x，y)为_20 设二维随机变量(X，Y)的分布律为_.则 X 与 Y 的协方差 Cov(X，Y) 为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设电子管寿命 X 的概率密度为 若一台收音机上装有三个这种电子管，求：21 使用的最初 150 小时内，至少有两个
6、电子管被烧坏的概率；22 在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数 Y 的分布律；23 Y 的分布函数24 设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X(单位：分)服从参数为 的指数分布若等待时间超过 10 分钟，他就离开设他一个月内要来银行 5 次，以 Y 表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求 Y 的分布律及 Py125 假设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，求随机变量 Y=1 一 e-X的概率密度函数 fY(y)26 设随机变量 X 的概率密度为 F(x)是 X 的分布函数，求随机变量 Y=F(X)的分布函数27 设随机变量 X 在0， 上服从均匀分布，求 Y=sinX 的密度函数
7、28 已知随机变量 X1 与 X2 的概率分布， 而且PX1X2=0)=1(1) 求 X1 与 X2 的联合分布；(2)问 X1 与 X2 是否独立?为什么?29 设随机变量 X 与 Y 相互独立，概率密度分别为求随机变量 Z=2X+Y 的概率密度 fz(z)30 设随机变量(X，Y) 的概率密度为 求随机变量 Z=XY 的概率密度 fz(z)31 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 求二维随机变量(X 2，Y 2)的概率密度32 设二次方程 x2 一 Xx+Y=0 的两个根相互独立，且都在(0，2)上服从均匀分布，分别求 X 与 Y 的概率密度考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 3 答案
8、与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 X1，X 2，X 3 相互独立且均服从 P()，所以 X1+X2+X3P(3) ，E(X1+X2+X3)=D(X1+X2+X3)=3，【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 故选 C【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布 服从一维正态分布，又EX=1，EY=2E(aX+bY)=a+2b，于是
9、显然，只有 1 一(a+2b)=0时， 才成立，只有选项 D 满足此条件【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 于是由切比雪夫不等式知因此本题选 C【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知 由中心极限定理，对任意 x 有【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 故选 B【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 由于总体 XN(， 2)，所以 又 X 与 S2 独立，由2 分布的可加性，我们仅需确定服从 2(1)的随机变量因为选择 D【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 应用 t
10、 分布的典型模式由于 而且相互独立，所以 ，U 与 V 相互独立，由 t 分布的典型模式 ，由题意知【知识模块】 概率与数理统计二、填空题11 【正确答案】 990【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 1【试题解析】 由题设【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】 0【试题解析】 由于 D：0yx1 是由 y=一 x，y=x，x=1 三条线围成的，关于z 轴对称，所以 故 Cov(X，Y)=E(XY)一EXEY=0【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 N(0，5)【试题解析】 Z 服从正态分布，EZ=E(X 一 2Y+7)=EX 一 2EY+7=一 34
11、+7=0， DZ=D(X 一 2Y+7)=DX+22DY=1+4=5【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 3【试题解析】 因为 X1，X 2，X 3 两两不相关，所以 Cov(Xi，X j)=0(ij)，于是 D(X1+X2+X3)=D(X1+X2)+X3=D(X1+X2)+DX3+2Cov(X1+X2，X 3) =D(X1)+D(X2)+D(X3)+2Cov(X1，X 2)+2Cov(X1，X 3)+2Cov(X2，X 3) =D(X1)+D(X2)+D(X3)=3【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 【试题解
12、析】 EX 1(X1+X2X3)=E(X12+X1X2 一 X1X3)=E(X12)+E(X1)E(X2)一 E(X1)E(X3)=D(X1)+E(X1)2+E(X1)E(X2)一 E(X1)E(X3)【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 设(X，Y) 的分布律为 (X，Y) 的边缘分布律也表示于表中)，则 E(XY)=p11,从而有【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 关于 X 与关于 Y 的边缘分布律分别为【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
13、。【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 Y 为在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数， YB(3，p)，其中 所求概率为 PY2)=PY=2)+PY=3【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 Y 的分布列为 即【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 Y 的分布函数为【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 由题意 YB(5，p)，其中于是 Y 的分布为 PY=k)=Ck(e-2)k(1一 e-2)5-k(k=0，1，2，3，4，5)，PY1)=1 一 PY=0)=1 一(1 一 e-2)5051 6 7【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 y=1
14、一 e-x是(0，+) 上的单调函数，且其反函数为【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 对 X 的密度函数积分得 X 的分布函数【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 (1)由联合分布与边缘分布的关系可知，X 1 与 X2 的联合分布有如下形式： 其中 p12=p32=0 是由于 P(X1，X 2=0=1，所以， PX1，X 20)=0再根据边缘分布与联合分布的关系可写出联合分布如下： (2)由联合分布表可以看出而 所以，X 1 与 X2 不独立【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 本题可以按以下公式先算出 Z 的分布
15、函数 Fz(z)：然后对 Fz(z)求导算出fz(z)，但较麻烦记 U=2X，则由随机变量的函数的概率密度计算公式得于是，Z=2X+Y=U+Y(其中 U 与 Y 相互独立)的概率密度即 fU(u)fY=(z 一 u)仅在Dz=(u， z)0u2,z 一 u0)(图 38 的阴影部分)上取值 在 uOz 平面的其他部分都取值为 0，所以【知识模块】 概率与数理统计30 【正确答案】 由于 X，Y 不是相互独立的，所以记 V=一 Y 时，(X，V) 的概率密度不易计算应先计算 Z 的分布函数，再计算概率密度 fZ(z)记 Z 的分布函数为 FZ(z)，则 其中DZ=(z，y) xyz(直线 xy=
16、z 的上方部分)，由 Dz 与D=(x，y) 0x1，0yx)(图 39 的带阴影的OSC)相对位置可得：【知识模块】 概率与数理统计31 【正确答案】 由 f(x，y)的表达式知，X 与 Y 相互独立，且它们的概率密度都为记 u=g(x)=x2，它在 f(x)0 的区间(0 ，1)内单调可导，且反函数为 ，所以 U=X2 的概率密度同样地，V=Y 2 的概率密度为 由 X 与 Y 相互独立知 X2 与 Y2 相互独立，从而(X 2，Y 2)的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计32 【正确答案】 设二次方程的两个根为 X1，X 2，则它们的概率密度都为记 X 的概率密度为 fx(x)，则由 X=X1+X2 得即 f(t)f(x一 t)仅在图 310 的带阴影的平行【知识模块】 概率与数理统计
