1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 30 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设事件 A 与 B 满足条件 则( )（A）AB= （B） AB=（C） AB=A（D）AB=B2 设随机事件 A 与 B 为对立事件，0P(A)1，则一定有( )（A）0P(A B)1（B） 0P(B)1（C） 0P(AB) 1（D）3 设 A、B 为任意两个事件，且 A B，P(B)0，则下列选项必然成立的是( )（A）P(A)P(A|B)（B） P(A)P(A|B)（C） P(A)P(A|B)（D）P(A)P(A|B)4 设随机变量 xN(0，1)，其分布函数为 (x
2、)，则随机变量 y=minX，0 的分布函数为 F(y)=( )5 已知 XN(15，4) ，若 X 的值落入区间( 一 ，x 1)，(x 1，x 2)，(x 2，x 3)，(x 3，x 4)，(x4，+) 内的概率之比为 7：24：38：24：7，则 x1，x 2，x 3，x 4 分别为( )（A）12，135，165，18（B） 115，135，165，185（C） 12，14，16，18（D）11，14，16，196 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则( )（A）X+Y 一定服从正态分布（B） X 和 Y 不相关与独立等价（C） (X，Y)一定服从正态分布（D）(X，一 Y)未必
3、服从正态分布7 设 X1 和 X2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则( )（A）f 1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度（B） F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数（C） F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数（D）f 1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度8 已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)=24，D(X)=144，则二项分布的参数 n，P 的值为 ( )（A）n=4，p=0 6（B） n=6，P=04（C） n=8，p=03（D）n=24，p=0
4、19 假设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 ，则 =1 的充要条件是( )（A）Y=aX+b(a0)（B） Cov(X，Y)=1，D(X)=D(Y)=1（C）（D）10 已知总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2)，现从总体 X 与 Y 中抽取容量为 n的两组相互独立的简单随机样本，其方差分别为 SX2 和 SY2，现构造 2 的四个无偏估计量：(1)S X2，(2)S Y2， 则它们中方差最小的是( )（A）(1)（B） (2)（C） (3)（D）(4)11 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，其中 2 已知，则总体均值 的置信区间长度L 与置信度 1 一 的关系是( )（A）当
5、 1 一 减小时，L 变小（B）当 1 减小时，L 增大（C）当 1 减小时，L 不变（D）当 1 一 减小时，L 增减不定12 下列关于总体 X 的统计假设风属于简单假设的是 ( )（A）X 服从正态分布，H 0：E(X)=0（B） X 服从指数分布，H 0：E(X)1（C） X 服从二项分布，H 0：D(X)=5（D）X 服从泊松分布，H 0：D(X)=3二、填空题13 在区间(0 ，1) 中随机地取出两个数，则“ 两数之积小于 ”的概率为_14 假设盒内有 10 件产品，其正品数为 0，1，10 个是等可能的，今向盒内放人一件正品，然后从盒内随机取出一个产品发现它是正品，则原来盒内有 7
6、 个正品的概率 =_15 设随机变量 X 的密度函数 (0a b)，且 EX2=2，则16 设离散型随机变量 X 的分布函数 则随机变量|X|的分布函数为_17 已知随机变量 X1 和 X2 相互独立，且分别服从参数为 1， 2 的泊松分布，已知PX1+X20=1 一 e 一 1，则 E(X1+X2)2=_18 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则PX+Y1=_19 已知(X，Y)在以点(0，0) ，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X ， Y)作 4 次独立重复观察，观察值 X+Y 不超过 1 出现的次数为 Z，则
7、 E(Z2)=_20 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度为 f(x)=则 E(XY)=_21 设随机变量 X1，X 2，X n相互独立且都在(一 1，1)上服从均匀分布，则(结果用标准正态分布函数 (x)表示)22 设总体 X 与 Y 相互独立且均服从正态分布 N(0， 2)，已知 X1，X 2，X m 与Y1，Y 2，Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的简单随机样本，统计量服从 t(n)分布，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，现将每个球随机地放入四个盒子，记 X 为至少有一只球的盒子的最小号码()
8、求 X 的分布律；()若当 X=k 时，随机变量 Y 在0，k上服从均匀分布， k=1，2，3，4，求PY224 设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 (0) 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0p1)，且中途下车与否相互独立，Y 为中途下车的人数，求：()在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率；()二维随机变量 (X，Y)的概率分布25 设随机变量 Yi(i=1，2，3)相互独立，并且都服从参数 p 的 01 分布，令求随机变量(X 1，X 2)的联合分布26 设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为：()求 P(X=2Y)；()求 Cov(XY，Y)27 设
9、总体 XN(0， 2)，参数 0 未知，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本(n 1) ，令估计量28 设 X 的概率密度为 X1，X 2，X n 是取自总体X 的简单随机样本() 求 的矩估计量 ()求 的方差29 设总体 X 的概率密度为 其中参数 (01)未知X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值()求参数 的矩估计量 ；() 判断 是否为 2 的无偏估计量，并说明理由考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 30 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由对称性可知选项 C、D
10、 都不成立(否则，一个成立另一个必成立)，若选项 A 成立相矛盾，所以正确选项是 B【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 因 A、B 为对立事件，即 AB=，=0，且 P(A)+P(B)=P(AB)=1因此选项 A、C、D 均不成立，故选 B【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 由于 A B，可得 A=AB，于是 P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)P(A|B)故选项 B 正确【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 F(y)=PYy=Pmin(X，0)y=1 一 Pmin(X，0)y=1 一PXy，0y 当 Y0 时，
11、PXy，0 y=PXy ，F(y)=1 PXy=PXy=(y)当 Y0 时，PXy，0 y=0，P(y)=1因此选项 B 正确【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 X 落入(一 ，x 1)，(x 1，x 2)，(x 2，x 3)，(x 3，x 4)，(x 4，+)的概率应为 即 007，024，038，024，007PXx 4=1PXx 4=1 一 007=093=(1 5)故x3=16由对称性可知，x 1 与 x4，x 2 与 x3 都关于 15 对称，所以 x1=15 一(x 4 一 15)=12，x 2=15 一 (x315)=14故选项 C 正确【知识模块】 概
12、率与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 不成立，例如，若 Y=一 X，则 X+Y=0 不服从正态分布选项 C 不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布选项 B 也不成立，因为只有当 X 和 Y 的联合分布是二维正态分布时“X和 Y 独立”与“X 和 Y 不相关”二者等价故应选 D虽然随机变量 X 和一 Y 都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，一 Y)未必服从正态分布【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件，有 F 1(x)F2(x)=PX1PX2x =PX1x，X 2X(因 X2与 X2 相
13、互独立) 令 x=maxx1，x 2，并考虑到 PX 1x，X 2x=Pmax(X1，X 2)x，可知， F1(x)F2=(x)必为随机变量 X 的分布函数，即 FX(x)=PXx故选项 B正确【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 XB(n，P)，所以 E(X)=np，D(X)=np(1 一 p)，将已知条件代入，可得 解此方程组，得 n=6，p=04，故选 B【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 显然选项 A、B、C 是 P=1 的充分条件但不是必要条件，因此选D事实上，【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】 由对
14、称性可知 D(SX2)=D(SY2)所以(3)的方差最小，故选 C【知识模块】 概率与数理统计11 【正确答案】 A【试题解析】 要求出 L，进而推断 L 与 1 的关系当总体 XN(， 2)， 2 已知时， 的置信区间为确定，其中 (x)是 x 单调增函数，因此置信区间的长度 当样本容量 n同定时，随 的减小而变小，即随 1 的减小而变小故选 A【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A、B、C 的假设都不能完全确定总体的分布，所以是复合假设，而选项 D 的假设可以完全确定总体分布，因而是简单假设，故选 D【知识模块】 概率与数理统计二、填空题13 【正确答案】
15、 【试题解析】 记(0，i) 中任取的两个数为 X，Y，则 (X，Y) =(x，y)|0x 1，0 y1 ， 为基本事件全体，并且取 中任何一点的可能性都一样，故该试验是几何概型，事件 A=“两数之积小【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 设事件 Ai=“盒内原有 i 件正品”，i=0，1，10；事件 B=“取出的产品是正品”，所以 A0，A 0，A 10 构成一个完备事件组，依题意有所求概率 P(A7|B)可直接应用贝叶斯公式：【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 由于分布函数 F(
16、x)只在 x=一 1，0，l 处有 3 个间断点，因此离散型随机变量 X 与|X| 的概率分布分别为【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 2【试题解析】 已知 Xi 一 P(i)且 X1 与 X2 相互独立所以 E(Xi)=0(Xi)=i(i=1，2)， E(X1+X2)2=E(X12+2X1X2+X22)=E(X12)+2E(X1)E(X1)+E(X22) =1+12+212+2+22=1+2+(1+2)2 因为 P(X1+X20)=1 一 e(X1+X20)=1 一P(X1+X2=0) =1 一 e(X1=0，X 2=0)=1 一 P(X1=0)P(X2=0) =1 一 e 一
17、1e 一 2=1 一 e 一(1+2)=1 一 e 一 1 所以 1+2=1故 E(X1+X2)2=1+2+(1+2)2=2【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 根据正态分布的性质，即服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布，所以(X+Y)N(1，2)，利用正态分布在其数学期望左右两侧取值的概率均为【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 5【试题解析】 根据题干可知(X，Y)的联合概率密度函数为令事件 A=“X+Y1”，则 Z 是 4 次独立重复试验事件 A 发生的次数，故 ZB(4，p)，其中如图 4 一 1 所示【知识模块】 概率与数理统计20 【正确
18、答案】 4【试题解析】 本题是考查数字特征计算的基础题，所以又由于 X 和 Y 相互独立，故 E(XY)=E(X)E(Y)=4【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 由于 Xn 相互独立且都在 (一 1，1)上服从均匀分布，所以 E(Xn)=0， D(Xn)= ，根据独立同分布中心极限定理，对任意 xR 有【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 【试题解析】 根据题意可知 XiN(0 ， 2)，Y iN(0， 2)且相互独立，所以【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 () 随机变量 X 可能取值为 1，2
19、 ，3，4，设事件 Ai 表示第 i 个盒子是空的(k=1，2，3，4)，则【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 ()PY=m|X=n=C nmpm(1 一 p)n 一m，0mn， n=0，1，2， .()PX=n ，Y=m=PX=nPY=m|X=n C nmpm(1 一 P)n 一 m，0mn，n=0，1，2，【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 根据题意，随机变量(X 1，X 2)是离散型的，它的全部可能取值N(0，0)，(0，1)，(1，0)题目中是要计算出取各相应值的概率注意事件Y1，Y 2，Y 3 相互独立且服从同参数 p 的 01 分布，所以它们的和 Y1+Y2
20、+Y3 Y服从二项分布 B(3，p)于是 PX1=0，X 2=0=PY1+Y2+Y31，Y 1+Y2+Y32=PY=0+PY=3=q3+p3， PX1=0，X 2=1=PY1+Y2+Y31，Y 1+Y2+Y3=2=PY=2=3p2q，PX 1=1，X 2=0=PY1+Y2+Y3=1，Y 1+Y2+Y32=PY=1=3pq2，PX 1=1，X 2=1=PY1+Y2+y3=1，Y 1+Y2+Y3=2=P =0计算可得(X 1，X 2)的联合概率分布为【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 () 因为 X1，X 2，X n 相互独立且与总体 X 同分布，所以()根据抽样分布有关结论可知 再由 2 分布随机变量的方差公式有：Y 2(n)，则 D(Y)=2n所以【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计
