1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，密度函数为 其中 A 为常数，则 = ( )（A）（B）（C）（D）2 设随机变量 X 的密度函数为 ，则概率PX+a)(a 0) 的值 ( )（A）与 a 无关，随 增大而增大（B）与 a 无关，随 增大而减小（C）与 无关，随 a 增大而增大（D）与 无关，随 a 增大而减小3 设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布，XN(，4 2)，Y N( ，5 2)，记 P1=PX一 4)， p=Py+5)，则 ( )（A）对任意实数 ，都有
2、 p1=p2（B）对任意实数 ，都有 p1p 2（C）只对 的个别值，才有 p1=p2（D）对任意实数 ，都有 p1p 24 设 X 的概率密度为 ，则 Y=2X 的概率密度为 ( )（A）（B）（C）（D）5 已知随机向量(X 1，x 2)的概率密度为 f1(x1，x 2)，设 Y1=2X1， 则随机向量(Y 1， Y2)的概率密度为 f2(y1，y 2)= ( )（A）（B）（C）（D）6 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，则 ( )（A）(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量（B） Z=X+Y 是服从均匀分布的随机变量（C） Z=XY 是服从均匀分布的随机变量
3、（D）Z=X 2 是服从均匀分布的随机变量7 设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x， y)，则随机变量 Z=YX 的概率密度 fz(z)为 ( )（A）（B）（C）（D）8 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 12)，Y N(0 ， 22)，则概率PXY1) ( )（A）随 1 与 2 的减少而减少（B）随 1 与 2 的增加而增加（C）随 1 的增加而减少，随 2 的减少而增加 （D）随 1 的增加而增加，随 2 的减少而减少9 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(0，1)，Y B(n，p)(0P1)，则 X+Y的分布函数 ( )（A）为连续函数（B）恰有
4、 n+1 个间断点（C）恰有 1 个间断点（D）有无穷多个间断点10 现有 10 张奖券，其中 8 张为 2 元的，2 张为 5 元的今从中任取 3 张，则奖金的数学期望为 ( )（A）6（B） 78（C） 9（D）112二、填空题11 设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X2 在(0，4)内的密度函数为 fY(y)=_.12 设二维随机变量(X，Y)在区域 上服从均匀分布，则(X，Y)的关于 X 的边缘概率密度 fX(x)在点 x=e 处的值为_13 设二维随机变量(X，Y)在 上服从均匀分布，则条件概率14 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 则对x0，f X(y
5、x)=_ 15 设二维随机变量的分布律为 则随机变量Z=Y.minX， Y)的分布律为_16 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布，则随机变量的概率密度为_17 一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为010，020，030，设备部件状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，则 X 的方差 DX 为_18 设随机变量 X 的概率密度为 为_19 设随机变量 y 服从参数为 1 的指数分布，记 则E(X1+X2)为_20 已知离散型随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，即则随机变量 Z=3X 一 2 的数学期望EZ=_三、解答题解答应写
6、出文字说明、证明过程或演算步骤。21 甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为04，05，07设飞机中一弹而被击落的概率为 02，中两弹而被击落的概率为 06，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率22 某考生想借张宇编著的张宇高等数学 18 讲，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率23 设昆虫产 k 个卵的概率为 ，又设一个虫卵能孵化成昆虫的概率为 p，若卵的孵化是相互独立的，问此昆虫的下一代有 L 条的概率是多少?24 盒子中有 n 个球，其编号
7、分别为 1，2，n，先从盒子中任取一个球，如果是 1 号球则放回盒子中去，否则就不放回盒子中；然后，再任取一个球，若第二次取到的是 k(1kn)号球，求第一次取到 1 号球的概率25 甲、乙两人比赛射击，每个射击回合中取胜者得 1 分，假设每个射击回合中，甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 (+=1)，比赛进行到一人比另一人多 2 分为止，多 2 分者最终获胜求甲、乙最终获胜的概率，比赛是否有可能无限地一直进行下去?26 向半径为 r 的圆内随机抛一点，求此点到圆心之距离 X 的分布函数 F(x)，并求27 随机地取两个正数 x 和 y，这两个数中的每一个都不超过 1，试求 x 与 y 之和不超过
8、1，积不小于 009 的概率28 一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为 ，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率分布29 一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第 i 个零件是不合格品的概率(i=1，2，3)，以 X 表示三个零件中合格品的个数，求 X 的分布律30 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=A+Barctanx，一x+求：(1)系数 A与 B； (2)P(一 1X1)；(3)X 的概率密度31 设随机变量 X 的概率密度为 求 X 的分布函数考研
9、数学一（概率与数理统计）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由密度函数的性质， 与 无关，随 a 增大而增大【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 用 代表标准正态分布 N(0，1)的分布函数，有由于 （-1）=1-（1），所以 p1=p2【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 设(X 1，X 2)的分布函数 为 F1(x1,x2 )，(Y 1,
10、Y2 )的分布函数为 F2(y1,y2 )，则【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 当 X 与 y 相互独立，且都在0，1上服从均匀分布时， (X，Y)的概率密度为 所以，(X，Y) 是服从均匀分布的二维随机变量因此本题选 A【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 记 Z 的分布函数为 Fz(z)，则1【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 由 XN(0， 12)，YN(0， 22)且独立知 XYN(0 ， 12+22)，从而 由于(x)是 x 的单调增加函数，因此当 1 增加时， 减少；当 2 减少时增加因此本题选 C【知识
11、模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 记 Z=X+Y，则 Z 的分布函数是 n+1 个连续函数之和，所以为连续函数因此本题选 A【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 B【试题解析】 记奖金为 X，则 X 全部可能取的值为 6，9，12，并且【知识模块】 概率与数理统计二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 D 如图 32 阴影部分所示，它的面积 所以(X， Y)的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】 1【试题解析】 G 如图 33 中OAB，它的面积 所以(X，Y) 的概率密度为由
12、于关于 Y 的边缘概率密度所以其中，D 如图 33 带阴影的三角形 所以【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x，y)的表达式知 X 与 Y 相互独立，且关于 X 与关于 Y 的边缘概率密度分别为 由此可知，当 x0 时，由 fX(x)0 知【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 X 的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 0.46【试题解析】 X 的全部可能取值为 0，1，2，3，且 PX=0)=(1010)(1 020)(1030)=0504，PX=1)=
13、(1010)(1 020)030+(1010)(1030)020+(1020)(1030)010=0398，PX=2)=(1010)0 20030+(1 020)0100 30+(1030)0 100 20 =0 092，PX=3=0100 200 30=0006， 所以 EX=00504+10398+20092+30006=0 6 E(X 2)=020 504+120398+2 20092+3 20006=0 82 DX=E(X 2)=(EX)2=082=(0 6) 2=046【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 【试题
14、解析】 【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 4【试题解析】 EZ=3 点： X 一 2=4【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 设 A=飞机被击落 ，B i=飞机中 i 弹，i=1 ，2，3则 P(A)=P(B1)P(A B1)+P(B2)P(AB 2)+P(B3)P(AB 3)=02P(B 1)+06P(B 2)+P(B3)设Ci=第 i 个人命中)，i=1，2，3，则【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 设 A=该生能借到此书 ，B i=从第 i 馆借到)，i=1 ，2，3则【知识模块】 概率与数理统计23
15、【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 设 A=第一次取到 1 号球 ，B=第二次取到志号球 ，C=第一次取到 k 号球，则有 (1)当 k=1 时，因为(2)当 k1 时，因为【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 设 A=甲最终获胜 ，B= 乙最终获胜 在前两次比赛中，若“ 甲连胜两个回合” ，记为 C1，则 P(AC 1)=1；若“乙连胜两个回合”，记为 C2，则P(AC 2)=0；若 “甲、乙各胜一个回合”，记为 C3，则前两个回合打平，从第三回合起，比赛相当于从头开始一样，所以 P(AC 3)=P(A)显然 P(C1)=2，P(C 2)=2，P(C 3)
16、=2，由全概率公式 P(A)=P(AC 1)P(C1)+P(AC 2)P(C2)+P(AC 3)P(C3)=2+0+2P(A)所以以概率为 1 地相信：比赛不会无限地一直进行下去，或甲最终获胜，或乙最终获胜【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 如图 35，【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 如图 36 所示，有【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 PX=0)=P第一个路口即为红灯)= PX=1)=P第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)= 以此类推，得 X 的分布律为【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 设 Ai=第 i 个零件是合格品，i=1，2，3，则【知识模块】 概率与数理统计30 【正确答案】 (1)由分布函数的性质【知识模块】 概率与数理统计31 【正确答案】 f(x)的图形如图 37 所示，则 X 的分布函数为【知识模块】 概率与数理统计
