1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为随机事件，0P(A)1，0P(B)1，则 AB 相互独立的充要条件是( )2 设 A，B 是任意两个随机事件，又知 A ，且 P(B)0，则一定有( )（A）P(B|A)P(A)（B） P(B|A)P(A)（C） P(B|A)P(B)（D）P(B|A)P(B)3 同时抛掷三枚匀称的硬币，正面和反面都出现的概率为( )4 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 tn，电炉就断电，以 E 表示
2、事件“电炉断电”，而 T1T2T3T4 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E=( )（A）T 1t0（B） T2t0（C） T3t0（D）T 4t05 设随机变量 X 的概率密度为 则 PX2|X1的值为( )（A）e 2（B）一 e 一 2（C） e 一 1（D）1 一 e 一 16 设随机变量 Xi 的分布函数分别为 Fi(x)，i=1，2假设：如果 Xi 为离散型，则XiB(1，p i)，其中 0p i1，i=1，2如果 Xi 为连续型，则其概率密度函数为fi(x)，i=1 ，2已知成立 Fi(x)F2(x)，则( )（A）p 1p2（B） p1p2（C） f1(x)f2
3、(x)（D）A(x)f 2(x)7 设相互独立的两随机变量 X 与 Y，其中 XB(1， )，而 Y 具有概率密度 f(y)=的值为( )8 设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从0，3上的均匀分布，则 P1max(X，Y)2的值为( )9 设二维随机变量(X，Y)满足 E(XY)=E(X)E(Y)，则 X 与 Y( )（A）相关（B）不相关（C）独立（D）不独立10 设二维正态随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 =XY 不相关的充分必要条件为( )（A）E(X)=E(Y)（B） E(X2)一 E(X)2=E(Y2)一E(Y) 2（C） E(X2)=E(Y2)（D）E
4、(X 2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)211 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，X 1，X 2，X 10 是来自总体 X 的简单随机样本，统计量 (1i10)服从 F 分布，则 i 等于( )（A）5（B） 4（C） 3（D）2二、填空题12 设 A、B 是两个随机事件，且=_13 已知随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则概率14 随机变量 X 在 上服从均匀分布，令 Y=sinX，则随机变量 Y 的概率密度函数 fY(y)=_15 设 F(x)是连续型随机变量 X 的分布函数，常数 a0，则 一 +F(x+a)一 F(x)dx=_16 设随机变量 X 和 Y 均服从 ，且
5、D(X+Y)=1，则 X 与 Y 的相关系数=_17 设随机变量 X 和 Y 的联合分布函数为则随机变量 X 的分布函数 F(x)为_18 设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 05，E(X)=E(Y)=0，E(X 2)=E(Y2)=2，则E(X+Y2)2=_19 设随机变量 X 与 Y 相互独立，方差分别为 4 和 2，则随机变量 3X 一 2Y 的方差是_20 设 X 为随机变量D(X)=2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|XE(X)|2_21 假设总体 X 服从标准正态分布，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，则统计量 都服从_分布，且其分布参数分别为_和_22 设总
6、体 X 的概率分布为 为未知参数，对总体抽取容量为 10 的一组样本，其中 5 个取 1，3 个取 2，2 个取 0则 的矩估计值为_，最大似然估计值为_23 设总体 XN(， 2)未知， x1，x 2，x n 是来自该总体的样本，记，则对假设检验 H0： u=HH 1：uu 0 使用的 t 统计量 t=_(用 ，Q 表示) ；其拒绝域 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 ( )设随机变量 X 服从指数分布 e()，证明：对任意非负实数 s 及 t，有P(Xs+t|xs)=P(Xt)这个性质叫做指数分布的无记忆性()设电视机的使用年数 X 服从指数分布 e(01)，某人
7、买了一台旧电视机，求还能使用 5 年以上的概率25 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 求：()(X，Y) 的边缘概率密度 fX(x)fY(y)；()z=2X 一 Y 的概率密度 fZ(z)26 设二维随机变量(X 1，Y 1)与(X 2，Y 2)的联合概率密度分别为求：()常数k1，k 2 的值；()X i，Y i(i=1，2)的边缘概率密度；( )P|X i2Y i(i=1，2)27 已知随机变量 X，Y 的概率分布分别为并且 PX+Y=1=1，求：()(X ，Y)的联合分布； ()X 与 Y 是否独立? 为什么?28 已知 X1，X n 是来自总体 X 容量为 n 的简单随机样本，其均
8、值和方差分别为与 S2()如果 E(X)=，D(X)= 2，试证明： 的相关系数 =() 如果总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，试证明：协方差 Cov(X1，S 2)=029 设总体 X 的概率密度为 其中 0 是未知参数从总体 X 中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n，记 =min(X1，X 2，X n)()求总体 X 的分布函数 F(x)；()求统计量 的分布函数 ()如果用 作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性30 设总体 X 的概率分布为其中 (0，1)未知，以Ni 来表示来自总体 X 的简单随机样本(样本容量为 n)中等于 i 的个数(i=1，2，3)，试求常数 a1， a
9、2，a 3 使 为 的无偏估计量，并求 T 的方差考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于 0P(A)1，0P(B) 1，所以 A 与 B 相互独立，故选 C【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 设 Bk 表示三枚硬币中出现正面硬币的个数，k=0，1，2，3，P(A)为所求概率，根据题意应选D【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 由于 T1T2T3T4，所以T 1t0 T2
10、t0 T3t0 T4t0因此，当有两个温控器显示温度大于等于 to 时，E 发生，即当T 3to和T 4t0发生时，E 发生又因为T 3t0发生时，T 4t0必发生，故选 C【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 PX2|X1=1 一 PX2|X1=1 一 PX2|X1 =PX1=1 一 e 一1， 故选项 D 正确【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 根据选项，只能在 A 与 B 或 C 与 D 中选一正确答案由微积分知识可知，C、D 未必正确，因此只考虑 A、B根据题设得：【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 A【试题解析】 X 取值只
11、能是 X=0 或 X=1，将 X=0 和 X=1 看成完备事件组，用全概率公式有所以选项 A 正确【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 P1max(X，Y)2=Pmax(X ，Y)2一 Pmax(X，Y)1=PX2，Y2一 PX1，Y1=PX2PY2 一 PXlPY1故选项 C 正确【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 B【试题解析】 因 E(XY)=E(x)E(Y)，故 Cov(X，Y)=E(XY) 一 E(X)E(Y)=0，所以 X 与 Y 不相关，应选 B【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 B【试题解析】 根据随机变量 与 不相关的充分必要条件
12、为 Cov(，)=0，有 Cov(，)=Cov(X+Y ，X Y) =Cov(X，X)一 Coy(Y，Y)， 注意到 D(X)=Coy(X，X)，D(Y)=Cov(Y，Y)， 可得 D(X)=D(Y)， 即 E(X2)_E(X)2=E(Y2)一E(Y)2， 故选 B【知识模块】 概率与数理统计11 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意，统计量 YF(m，n)，所以【知识模块】 概率与数理统计二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 根据乘法公式【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 根据题设知 PX0=1，PX0=0，应用全概率公式得【知识模块】 概率与数理统计14
13、【正确答案】 【试题解析】 首先求出 Y 的分布函数 FY(y)由于 X 在 上服从均匀分布，因此 X 的概率密度函数 FX(x)与分布函数 FX(x)分别为当Y1 时，F Y(y)=1因此 y 的概率密度函数 FY(y)为【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 一 +F(x+a)一 F(x)dx=一 +xx+af(y)dydx 一 +f(y)y 一aydxdy=一 +af(y)dy=a【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 1【试题解析】 根据题意可知【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 根据题意，分布函数 F(x)是 F(x，y) 的边
14、缘分布函数，所以 F(x)=F(x，+)=F(x，1) ，因此【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 6【试题解析】 由已知条件得，D(X)=E(X 2)一 E2(X)=2，同理，D(Y)=2则有E(X+y)=E(X)+E(Y)=0， E(Y+Y)2=D(X+Y)+E2(x+Y)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2C0v(X，Y)=2+2+2=6。【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 44【试题解析】 因 X 与 Y 独立，故 3X 与一 2Y 也独立，所以 D(3X 一 2Y)=D(3X)+D(一 2Y)=9D(X)+4D(Y)=36+8=44【知识模块】 概率与数理统计
15、20 【正确答案】 【试题解析】 根据切比雪夫不等式，有【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 t；2；n 一 1【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X n 是相互独立且同服从分布 N(0，1) ，所以 X1 一 X2 与 X32+X42 相互独立，X 1 与 也相互独立，且有 X1一 X2N(0 ，2) ， ，X 32+X42 2(2)，即 Y1 与 Y2 都服从 t 分布，分布参数分别为 2 和 n 一 1【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 【试题解析】 根据矩估计，最(极)大似然估计及经验分布函数定义，即可求得结果事实上，设 E(X)=【知识模块】
16、概率与数理统计23 【正确答案】 【试题解析】 2 未知，对 u 的检验使用 t 检验，检验统计量为对双边检验H0：u=u 0H 1：uu 0，所以其拒绝域为【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 () 已知随机变量 X 服从指数分布，对于任意的非负实数，根据指数分布的分布函数 F(x)因为 X 是连续的随机变量，根据分布函数的定义，对任意实数 x，有 P(Xx)=P(Xx)=F(x)P(Xt)=1P(Xt)=1 一 P(Xt)=1 一 F(t)=1 一(1 一 e 一 t)=e 一 t，因此可得 P(Xs+t|Xs)=P(Xt)成立(
17、) 已知电子仪器的使用年数服从指数分布Xe(01)，则其概率分布函数为 根据()的结论，P(Xs+t|Xs)=P(Xt)=e 一 t，假设某人买回来的电视机已经用了 x 年，则它还可以使用五年以上的概率为 P(Xx+5|X5)=P(X5)=e 一 015 =e 一 05 06065【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 () 已知(X，Y) 的概率密度，所以关于 X 的边缘概率密度 fX(x)=0+f(x，y)dy 所以，关于 Y 的边缘概率密度()设 FZ(z)=PZz=P2XYz，(1)当 z0 时，FZ(z)=P2XYz=0；(2)当 0z2 时，F Z(z)=P2XYz (3)
18、当 z2 时，FZ(z)=P2XYz=1所以 FZ(Z)的分布函数为：故所求的概率密度为：【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 解得 k2=2所以 (X1，Y 1)与(X 2，Y 2)的概率密度分别为【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 () 根据题设 PX+Y=1=1，即 PX=一 1，Y=2+PX=0，Y=1+PX=1，Y=0=1 ，故其余分布值均为零，即 PX=一 1，Y=0=PX= 一 1，Y=1=PX=0，Y=0=PX=0，Y=2=PX=1，Y=1=PX=1 ，Y=2=0，由此可求得联合分布为【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 () 因为总体分布未知，因此只能应用定义与性质证明，因为X1，X n 相互独立且与总体 X 同分布，所以【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计30 【正确答案】 根据题知 N1，N 2，N 3 分别服从二项分布 B(n，1 一 )，B(n，一 2)，B(n， 2)，则有 E(N1)=n(10)，E(N 2)=n(2)，E(N 3)=n2，=a1n(1)+a2n( 一 2)+a3n2=，【知识模块】 概率与数理统计
