1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若事件 A 和 B 同时出现的概率 P(AB)=0，则( )（A）A 和 B 不相容(互斥)（B） AB 是不可能事件（C） AB 未必是不可能事件（D）P(A)=0 或 P(B)=02 已知事件 A 发生必导致 B 发生，且 0P(B)1，则 P(A| )=( )（A）0（B）（C）（D）13 在全概率公式 中，除了要求条件 B 是任意随机事件及P(Ai)0(i=1，2，n)之外，我们可以将其他条件改为( )（A）A 1，A 2，A n 两两独立，但不相互独立（B） A1
2、，A 2，A n 相互独立（C） A1，A 2，A n 两两互不相容（D）A 1，A 2，A n 两两互不相容，其和包含事件 B，即4 设 A、B、C 是三个相互独立的随机事件，且 0P(C) 1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( )5 连续型随机变量 X 的分布函数 则其中的常数 a 和 b 为( )6 设随机变量 X 的密度函数为 (x)，且 (一 x)=(x)，F(x)为 X 的分布函数，则对任意实数 a，有 ( )（A）F(一 a)=1 一 0a(x)dx（B）（C） F(一 a)=F(a)（D）F(一 a)=2F(a)一 17 已知随机变量(X，Y) 在区域 D=(x，y)|
3、一 1x1，一 1y1 上服从均匀分布，则( )8 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，且它们不相关，则( )（A）X 与 Y 一定独立（B） (X，Y)服从二维正态分布（C） X 与 Y 未必独立（D）X+Y 服从一维正态分布9 已知随机变量 X 与 Y 均服从 0 一 1 分布，且 E(XY)= ，则 PX+Y1=( )10 假设二维随机变量(X 1，X 2)的协方差矩阵为 ，其中ij=Cov(Xi，X j)(i，j=1，2)，如果 X1 与 X2 的相关系数为 p，那么行列式|=0 的充分必要条件是( )（A）=0（B）（C）（D）|=111 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)
4、，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其均值、方差分别为 ，S 2则( )12 设 X1，X 2，X n 是来自 XP()的简单随机样本，则可以构造参数 2 的无偏估计量( )二、填空题13 从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为Y，则 PY=2=_14 口袋中有 n 个球，从中取出一个再放人一个白球，如此交换进行 n 次，已知袋中自球数的期望值为 a，那么第 n+1 次从袋中取出一个白球的概率为_15 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，已知 PX2=0062，PX9=0025 ，则概率 P|X|4=_(154)=0938，
5、(196)=0975)16 设随机变量 X 服从正态分布 N(，1)，已知 PX3=0975，则 PX一092=_17 已知随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2)，如果随机变量 Y=X1X2X3 的方差 则 2=_18 设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，且都服从 的 0 一 1 分布，则随机变量 Z=maxX，Y的分布律为_19 设盒子中装有 m 个颜色各异的球，有放回地抽取 n 次，每次 1 个球设 X 表示n 次中抽到的球的颜色种数，则 E(X)=_20 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，其中 X1 服从区间0，6上的均匀分布，X 2服从
6、正态分布 N(0，2 2)， X3 服从参数为 3 的泊松分布，则 D(X1 一 22+3X3)=_21 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XB(5，08)，Y N(1，1)，则P0X+Y10_22 设 X1，X 2，X 9 是来自总体 XN( ，4)的简单随机样本，而 X 是样本均值，则满足 P|X 一 |=0 95 的常数 =_(196)=0975)23 设总体 XN(， 2)， u 未知，x 1，x 2，x n 是来自该总体的样本，样本方差为S 2，对 H0： 216HH 1： 216，其检验统计量为 _，拒绝域为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 已知随机变量
7、 X 的概率密度 ()求分布函数F(x)() 若令 Y=F(X)，求 Y 的分布函数 FY(y)25 设随机变量 X 与 Y 独立，X 在区间0，2上服从均匀分布，Y 服从指数分布e(2)，求：()二维随机变量 (X，Y)的联合概率密度；()概率 P(XY)26 在时刻 t=0 时开始计时，设事件 A1，A 2 分别在时刻 X，Y 发生，X 和 Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为求 A1 先于 A2 发生的概率27 设随机变量 且 P|X|Y|=1()求 X 与Y 的联合分布律，并讨论 X 与 Y 的独立性；()令 U=X+Y，V=X Y，讨论 U 与V 的独立性28 已知总体 X 的
8、数学期望 E(X)=，方差 D(X)=2，X 1，X 2，X 2n 是来自总体X 容量为 2n 的简单随机样本，样本均值为 ，求E(Y)29 设总体 X 的概率分布为其中 是未知参数，利用总体 X 的如下样本值 3，1，3，0 ，3，1，2，3求 的矩估计和最大似然估计值30 设总体 X 的概率密度为 其中参数 (0)未知，X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本()求参数 的矩估计量；()求参数 的最大似然估计量考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点是不
9、可能事件与概率为 0 的随机事件之间的区别和联系这两者之间的关系为：不可能事件 的概率 ，但概率为零的随机事件 A 未必是不可能事件，也就是说，由 P(A)=0 不能推出 A= ，所以选项 C正确【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 如果 A1，A 2，A n 两两互不相容，则 A1B，A 2B，A nB 亦两两互不相容，且因 应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即 应选 D【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查多个随机事件间的独立性的关系由 A,B、C 相互独立可知，事件
10、 A、B 的和、差、积(或其逆)与事件 C 或 必相互独立，因此选项A、C、D 均被排除，选项 B 正确【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 为连续型 X 的分布，故 F(x)必连续，那么 F(x)在 x=0 连续【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 根据题设知(X，Y)的概率密度函数为所以选项 A、B、C 都不正确，故选 D【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 因为只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X 与 Y 不相关 X 与 Y 相互独立本题已知 X 和 Y
11、 服从正态分布，不能推得(X，Y) 服从二维正态分布，因此由不相关推不出 X 与 Y 一定独立，故排除选项 A若 X 和 Y 都服从正态分布且相互独立，则(X，Y) 服从二维正态分布，但由题设并不知道 X 和 Y 是否相互独立，故排除选项 B同样，当 X 和 Y 都服从正态分布且相互独立时，才能推出 X+Y 服从一维正态分布，又排除选项 D综上可知，选择 C【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 因为 X 与 Y 均服从 0 一 1 分布，所以可以列出(X，Y) 的联合分布如下：故选 C【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 故选择 D【知识模块】
12、 概率与数理统计11 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 由于事件X=1，X=2，X=3，X=4是一个完备事件组，且PX=i= ，i=1 ，2，3， 4所以条件概率 PY=2|X=1=0，PY=2|X=i= ，i=2 ，3 ，4根据全概率公式【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 本题主要考查事件的设定、全概概率，题中有一个完备事件组：n次交换后袋中存有白球数 X(X=1，2，n)，因此是全概概型设 B 为第 n+1 次从袋中取白球，A k(k
13、=1，2，n)表示 n 次交换后袋中的白球数，则 n 次交换后袋中的白球数的期望值为【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 02946【试题解析】 要计算正态分布随机变量在某范围内取值的概率，首先必须求出分布参数 与 根据题意有【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 0025【试题解析】 由 =(3 一 )=0975，可知 3 一=196，=104，于是 PX一 092=(一 092 一 )=(一 196)=0 025【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 已知随机变量 X1、X 2、X 3 相互独立，则 X12、X 22、X 32 相互独立又因 E(Xi
14、)=0，E(X 12)=D(Xi)=2故 D(y)=D(X1X2X3)=E(X1X2X3)2 一E2(X1X2X3)=E(X12X22X32)一E(X 1)E(X2)E(X3)2=E(X12)E(X22)E(X32)=(2)3=【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 根据题意显然 Z 也是离散型随机变量，只取 0，1 两个值，且【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 则X=X1+X2+Xm事件“X i=0”表示 n 次中没有抽到第 i 种颜色的球，由于是有放回抽取，n 次中各次抽取结果互不影响，所以有【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 4
15、6【试题解析】 根据题设可知，D(X 1)= =3，D(X 2)=22=4，D(X 3)=3，于是D(X1 一 2X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+44+93=46【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 0928【试题解析】 因为 E(X)=4，D(X)=08，E(Y)=1，D(Y)=1 ，所以 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=5，D(X+Y)=D(X)+D(Y)=18根据切比雪夫不等式，可得 P0x+Y10=P|X+Y 一 5|5 即 P0X+Y100928【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 13067【试题解析】 根据题意可知【知识模块】 概
16、率与数理统计23 【正确答案】 2 统计量； 2 1 一 2(n1)【试题解析】 u 未知，对 2 的检验使用 2 检验，又根据题设知，假设为单边检验，所以统计量为 2=【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 直接根据 F(x)=PXx，F Y(y)=P|F(X)y求解【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 () 已知 X 在区间0，2 上服从均匀分布，y 服从指数分布 e(2)，因此可得()当x0 或者 x2 时，f(x，y)=0 ，因此区域 xy 为 y 轴和 x=2 之间，且在直线 y=x 上方的无界区域，所以其对概率密度
17、在积分区域上进行二重积分，所以可表示为【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 根据 X 和 Y 的独立性，可知 X 和 Y 的联合概率密度为按题意需求概率 PXY，如图 33 所示【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 () 由 P|X|Y|=1 知，P|X|=|Y|=0由此可得 X 与 Y 的联合分布律为即可验证 U 与 V 独立【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 因为总体分布未知，所以需将 Y 化简，并且根据数字特征性质计算 E(Y)因为【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 E(X)=0 2+12(1)+22+3(12)=34，【知识模块】 概率与数理统计30 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计
