1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 A，B 为随机事件，0P(A)1，0P(B)1，则 的充要条件是( )2 设随机事件 A 与 B 互不相容，且 P(A)0，P(B)0，则下列结论中一定成立的有( )（A）A，B 为对立事件（B） 互不相容（C） A，B 不独立（D）A，B 相互独立3 在最简单的全概率公式 P(B)=P(A)P(B|A)+ 中，要求事件 A 与 B 必须满足的条件是( )（A）0P(A)1，B 为任意随机事件（B） A 与 B 为互不相容事件（C） A 与 B 为对立事件（D）A 与
2、 B 为相互独立事件4 设 A、B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0，P(B|A)=P(B| )，则必有( )（A）P(A|B)=P( |B)（B） P(A|B)P( |B)（C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(AB)P(A)P(B) 5 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，其密度函数为6 设随机变量 XN(， 2)，0，其分布函数 F(x)的曲线的拐点为(a，b)，则(a， b)为( )（A）(，) （B）（C）（D）(0 ，)7 已知随机变量 X1 与 X2 相互独立且有相同的分布：PX i=一 1=PXi=1=，则( )（A）X 1 与 X1X2 独立且有相同的分
3、布（B） X1 与 X1X2 独立且有不同的分布（C） X1 与 X1X2 不独立且有相同的分布（D）X 1 与 X1X2 不独立且有不同的分布8 设二维随机变量(X 1，X 2)的密度函数为 f1(x1，x 2)，则随机变量(Y 1，Y 2)(其中Y1=2X1，Y 2= )的概率密度 f2(y1，y 2)等于( )9 对任意两个随机变量 X 和 y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（A）D(XY)=D(X)D(Y)（B） D(X+Y)=D(X)+D(Y)（C） X 与 Y 独立（D）X 与 Y 不独立10 设随机变量 X 和 Y 的方差存在且不等于 0，则 D(X+Y)=D(X)+
4、D(Y)是 X 和 Y( )（A）不相关的充分条件，但不是必要条件（B）独立的充分条件，但不是必要条件（C）不相关的充分必要条件（D）独立的充分必要条件11 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其均值和方差分别为 X，S 2，则可以作出服从自由度为 n 的 2 分布的随机变量是 ( )12 已知总体 X 服从正态分布 N(， 2)(2 已知)，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，均值为 ，如果记 ，则由 Paub=1 一 ，可以求得 置信度为 1 一 的置信区间，其中 a、b 是( )13 某员工以往的记录是：平均每加工 100 个零件，有
5、 60 个是一等品，今年考核他，在他加工零件中随机抽取 100 件，发现有 70 个是一等品，这个成绩是否说明该员工的技术水平有了显著的提高(取(=005)?对此问题，假设检验问题就设为 ( )（A）H 0：p06HH 0：p06（B） H0：p06HH 0：p06（C） H0：p=0 6HH 0：p06（D）H 0：p06HH 0：p=06二、填空题14 设每次射击命中概率为 03，连续进行 4 次射击，如果 4 次均未击中，则目标不会被摧毁；如果击中 1 次、2 次，则目标被摧毁的概率分别为 04 与 06；如果击中 2 次以上，则目标一定被摧毁那么目标被摧毁的概率 p=_15 统计资料表
6、明，男性患色盲的概率为 5，现有一批男士做体检则事件“发现首例患色盲的男士已检查了 30 名男士“的概率 为_16 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，随机变量函数 y=1e 一 X 的分布函数为 FY(y)，则17 设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次试验当 p=_时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_18 假设随机变量 X 在一 1，1上服从均匀分布， a 是区间一 1，1上的一个定点，Y 为点 X 到 a 的距离，当 a=_时，随机变量 X 与 Y 不相关19 已知(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)=20 已知某自动生产线一旦出现不合格产品就立即进行调整，经过调
7、整后生产出的产品为不合格产品的概率是 01，如果用 X 表示两次调整之间生产出的产品数量，则 E(X)=_21 将 10 双不同的鞋随意分成 10 堆，每堆 2 只，以 X 表示 10 堆中恰好配成一双鞋的堆数，则 E(X)=_22 设随机试验成功的概率 p=020，现在将试验独立地重复进行 100 次，则试验成功的次数介于 16 与 32 之间的概率 =_(3)=09987，(1)=08413)23 设随机变量 X 服从 n 个自由度的 t 分布，定义 t满足 PXt=l 一(001)若已知 P|X|x=b(b0)，则 x=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 设离散型随
8、机变量 X 服从参数 p(0p1)的 0 一 1 分布()求 X 的分布函数 F(x)；()令 Y=F(x)，求 Y 的分布律及分布函数 G(y)25 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 求：()系数 A； ()(X，Y)的联合分布函数；()边缘概率密度；()(X，Y) 落在区域R：x 0，y0，2x+3y 6 内的概率26 设在一高速公路的某一路段，每年发生交通事故的次数 XP(20) 对每次交通事故而言，有人死亡的概率为 p=005设各次交通事故的后果是相互独立的，以Y 记一年中发生的引起死亡的交通事故的次数，求 Y 的分布律27 设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为试求：
9、()X 与 Y 的边缘分布律，并判断 X 与 Y 是否相互独立；()PX=Y28 设总体 XN(， 2)， ， 2 未知，X 1，X 2，X n 是来自 X 的样本，试确定常数 C，使 CY=C(X1 一 X2)2+(X3 一 X4)2+(X5 一 X6)2的期望为 229 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为 f(x；)= 其中 0 为未知参数又设 x1，x 2，x n 是 X 的一组样本观测值，求参数 的最大似然估计值30 设 X1，X 2，X n 是总体为 N(， 2)的简单随机样本记()证明 T 是 2 的无偏估计量；()当 =0，=1 时，求 D(T)考研数学一（概率与数理统计）模
10、拟试卷 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 已知选项 A、B 是A 与 B 相互独立的充要条件，因此不能选由“对称性 ”可知选项 C 正确，故选C【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 AB 互不相容，只说明 AB= ，但不一定满足 AB=，即互不相容的两个事件不一定是对立事件，又因 AB=不一定成立，故亦不一定成立，因此选项 A、B 都不成立。同时因为 P(AB)=P( )=0，但是 P(A)P(B)0，即 P(AB)P(A)P(B)，故 A 与 B 一定不独立，应选C。【知识模块】 概率与数理
11、统计3 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 化简整理上式可得 P(AB)=P(A)P(B)即 A，B 相互独立，故选项 C 正确【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意得 f(x)关于【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 X 一 N(， 2)，其密度函数 F(x)的拐点的 x 坐标 a 应满足 F“(a)=f(a)=0，故 a=为 f(x)的驻点，当 x=时， 故曲线拐点在 ，故选项 C 正确【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 A【试题解析】 根据题设知 X1X2 可取一 1
12、，1，且 PX1X2=一 1=PX1=一 1，X 2=1+PX1=1，X 2=一 1=PX1=一 1PX2=1+PX1=1PX2=一 1 所以X1 与 X1X2 的概率分布为 从而 X1 与 X1X2 有相同的分布且相互独立，故选项 A 正确【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 设(X 1，X 2)的分布为 F1(x1，x 2)，(Y 1，Y 2)的分布为 F2(y1，y 2)【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 B【试题解析】 因为 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(XY)一 E(X)E(Y)，可见 D(X+Y)=D(X)+D(Y) E(XY)=E(X)
13、E(Y)，故选择 B对于随机变量 X 与 Y，下面四个结论是等价的Cov(X ，Y)=0X 与 Y 不相关E(XY)=E(X)E(Y) D(x+Y)=D(X)+D(Y)【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计11 【正确答案】 D【试题解析】 由于总体 XN(， 2)，故各选项的第二项独立，根据 2 分布可加性，仅需确定服从 2(1)分布的随机变量因为 故选择D【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 D【试题解析】 因为 a、b 应使 Pab=1 一 a、b 应满足 Pb+Pa=，故选 D【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】
14、 B【试题解析】 一般地，选取问题的对立事件为原假设在本题中，需考察员工的技术水平是否有了显著性的提高，故选取原假设为 H0：p0 6，相应的，对立假设为 H1：p 06，故选 B【知识模块】 概率与数理统计二、填空题14 【正确答案】 04071【试题解析】 设事件 Ak=“射击 4 次命中 k 次”，k=0，1，2，3，4，B=“ 目标被摧毁”，则根据 4 重伯努利试验概型公式，可知 P(Ai)=C4i03 i，07 4 一i，i=0，1，2 ，3，4，则 P(A0)=074=0 2401，P(A 1)=04116，P(A 2)=0 2646，P(A 3)=00756，P(A 4)=000
15、81由于 A0，A 1，A 2，A 3，A 4 是一完备事件组，且根据题意得 P(B|A0)=0，P(B|A 1)=04， P(B|A2)=06，P(B|A 3)=P(B|A4)=1应用全概率公式，有【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 0785【试题解析】 设 X 表示发现首例色盲患者时已检查过的男士数，则 X 服从参数为005 的几何分布【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 若设进行 100 次试验成功的次数为 X，则 XB(100，p)，X 的标准差为【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答
16、案】 0【试题解析】 已知 E(X)=0，依题意 Y=|Xa|，a应使 E(XY)=E(X)E(Y)=0其中【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 F(1，1)【试题解析】 根据由题设可知(X，Y)服从二维正态分布且密度函数为故 XN(0，2 2)，Y 一 N(1，3 2)，X 与 Y 的相关系数 p=0，所以 X 与 Y 独立， N(0，1)，根据 F 分布典型模式知【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 10【试题解析】 X 是离散型随机变量，其可能的取值为 1，2，令调整后生产出的产品前后一 1 个为合格品，第 k 个为不合格品=PX=k，其中 Ai=“第 i 个生产出的
17、产品为合格品”，A i 相互独立，P(A i)=09，故【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 将第 i堆的第一只鞋固定，第二只鞋要与第一只鞋配对，只有在不同于第一只鞋剩下的19 只中唯一的一只才有可能，故【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 084【试题解析】 令 X=“在 100 次独立重复试验中成功的次数”，则 X 服从参数为(n，p)的二项分布，其中 n=100，p=020且根据棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，可知随机变量 近似服从标准正态分布 N(0，1)因此试验成功的次数介于 16 和 32 之间的概率【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 【
18、试题解析】 根据 t 分布的对称性以及 b0，可知 x0所以根据题干“t 满足 PXt=1 一 (01)”可知，【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 () 根据分布函数的性质解得 A=6()将 A=6代入得(X，Y)的联合概率密度为 所以当x0，y0 时，F(x，y)= 0y0x6e 一(2x+3y) dxdy=60xe 一 2xdx0ye 一 3ydy=(1 一 e 一 2x)(1一 e 一 3y)，而当 x 和 y 取其它值时， F(x，y)=0 综上所述，可得联合概率分布函数为 (
19、)当 x0 时，X 的边缘密度为 fX(x)=0+6e 一(2x+3y) dy=2e 一 2x，当 x0 时 fZ(x)=0因此 X 的边缘概率密度为同理，可得 Y 的边缘概率密度函数为已知R：x 0，y0，2x+3y 6，将其转化为二次积分，可表示为【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 根据题意 XP(20)，即有 在 X取特定值 m 时，Y 的可能取值为 0，1，m因各次交通事故的后果是相互独立的，所以 PY=k|X=m=Cmk005 k095 m 一 k，k=0，1，2，m 于是得到 X和 Y 的联合分布律为 PX=m，Y=k=PY=k|X=mPX=m【知识模块】 概率与数理统
20、计27 【正确答案】 () 因为边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和，所以假如随机变量 X 与 Y 相互独立，就应该对任意的 i，j 都有 pij=pip j，而本题中p14=0，但是 p1 与 p4 均不为零，所以 p14p1p 4 故 X 与 Y 不是相互独立的【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 E(X 1 一 X2)2=D(X1 一 X2)+E(X1 一 X2)2=D(X1)+D(X2)=22(因X1，X 2 独立)同理 E(X3 一 X4)2=E(X5 一 X6)2=22，于是引 C(X1 一 X2)2+(X3一 X4)2+(X5 一 X6)2=CE(X1 一 X2)2+E(X3 一 X4)2+E(X5 一 X6)2=C(22+22+22)=6C2，即有 E(CY)=6C2根据题设，设 E(CY)=6C2=2，即得【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 似然函数为由于0 必须满足 xi(i=1，2，n)，因此当 取 x1，x 2，x n 中最小值时，L()取最大值，所以 的最大似然估计值为【知识模块】 概率与数理统计30 【正确答案】 () 首先 T 是统计量其次【知识模块】 概率与数理统计
