1、考研数学一（无穷级数）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=x2(0x1)，而 S(x)= bnsinx，x (-，+)，其中 bn=( )2 已知级数则 ( )（A）级数(1)收敛，级数 (2)发散（B）级数 (1)发散，级数(2)收敛（C）两级数都收敛（D）两级数都发散3 当级数 ( )（A）一定条件收敛（B）一定绝对收敛（C）一定发散（D）可能收敛，也可能发散4 级数 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与盘有关5 若正项级数 发散，则 ( )6 设数列a n单调减少，的收敛域为 ( )（A）(-1，
2、1（B） -1，1)（C） 0，2)（D）(0 ，27 设 un0(n=1，2，)，且 ( )（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）敛散性由所给条件无法确定二、填空题8 设 则其以 2 为周期的傅里叶级数在 x= 处收敛于_9 级数 ，当_时绝对收敛；当_时条件收敛；当_时发散10 若 在 x=-3 处为条件收敛，则其收敛半径 R=_11 幂级数 在收敛域(-1，1)内的和函数 S(x)为_12 函数则 an_，b n_，和函数 S(x)_13 设 则其以 2 为周期的傅里叶级数在点 x= 处收敛于_14 设 f(x)在区间-，上连续且满足 f(x+)=-f(x)，则 f(x)的傅里叶系
3、数a2n=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 f(x)=15 将 f(x)展开为 x 的幂级数；16 分别判断级数 的敛散性17 设 收敛，并求其和18 证明19 求20 求级数21 求函数项级数 e-x+2e-2x+ne-nx+收敛时 x 的取值范围；当上述级数收敛时，求其和函数 S(x)，并求22 设数列a n满足以 a1=a2=1，且 an+1=an+an-1，n=2，3，证明：在 时幂级数 收敛，并求其和函数与系数 an22 设23 求 y(0)，y(0) ，并证明：(1-x 2)y-xy=4；24 求 的值25 证明：等式26 求级数 的和考研数学一（无穷级
4、数）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)sinnxdx(n=，2，)表达式可知， bn 是将 f(x)进行奇延拓后的函数按周期为 2 展开的傅里叶系数，S(x)是其相应的傅里叶级数的和函数，将f(x)进行周期为 2 的奇延拓得 F(x)，S(x)为 F(x)的傅里叶级数的和函数因 x=处 F(x)连续，故由狄利克雷定理可知【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 D【试题解析】 设 un= ，则u 2n为单调增数列，故 从而级数(1)发散，由级数 发散的定义可知，级数(2)一般项极限不为零，故发散【知
5、识模块】 无穷级数3 【正确答案】 B【试题解析】 级数 都为正项级数，且收敛，又a nbn=由比较审敛法， 绝对收敛【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 D【试题解析】 当 a=0 时， 为交错级数，当 n3 时满足莱布尼茨定理，所以收敛当 a=1 时， 不趋于零，发散，所以，敛散性与 a 有关【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 C【试题解析】 级数an，由比较审敛法， 必收敛【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查交错级数的莱布尼茨判别法和幂级数的收敛区间、收敛域的概念，是一道综合了多个知识点的考题因数列a n单调减少，且，故根据莱布尼茨判别法知，交错级数
6、 收敛，即幂级数(x-1)n 在 x=0 处条件收敛；又 Sn= (n=1，2，)无界，所以幂级数(x-1)n 在 x=2 处发散；综上，幂级数 (x-1)n 的收敛域为0，2)，故答案应选(C)【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 C【试题解析】 由所考查级数为交错级数，但不能保证 的单调性，不满足莱布尼茨定理的条件，于是按定义考查部分和所以原级数收敛再考查取绝对值后的级数发散，所以发散【知识模块】 无穷级数二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 由狄利克雷收敛定理及 f(x)的周期性可知，不管 f(x)在 x= 处是连续还是间断，其傅里叶级数的和 S()都可用 统一表示因 f(-)=-
7、5，f(- +)=x2 x=-=2 故【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 p1；0p1；p0【试题解析】 设 un= 当 p1 时，绝对收敛当 0p1 时，收敛且为条件收敛当 p0 时， ，则级数发散【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 3【试题解析】 因 在 x=-3 收敛，故由阿贝尔定理， x3 时，绝对收敛又因 在 x=-3 条件收敛，故 x3 时， 发散如若不然，必存在 x1，使x 13 且有在 x=x1 处 收敛由阿贝尔定理便可推出xx 1时，特别是 x=-3 时 绝对收敛这与题设在 x=-3处条件收敛相矛盾综上，由收敛半径的定义便有 R=3【知识模块】 无穷级数11 【正确
8、答案】 【试题解析】 设 S(x)=【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 【试题解析】 f(x)在-，上满足狄利克雷收敛定理条件，进行周期延拓得 F(x)，有 F(x)f(x)， x-，由收敛定理可知：其中傅里叶级数的系数为：a n=0，n=0，1，2，( 在- ，上，f(x)除去间断点x=0 外，是奇函数，所以其傅里叶级数必为正弦级数)，【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 【试题解析】 由定理知应收敛于【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 0【试题解析】 第一个积分令x+=t，所以 x=t-，则 所以 a2n=0 (n=0，1，2，)【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文
9、字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 把 f(x)作初等变换，并利用几何级数 ，得 f(x)展开为 x 的幂级数【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 根据幂级数展开式的唯一性得 f(x)在 x0=0 处的高阶导数取 收敛因故由极限形式的比较审敛法得 发散【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 由于 由待定系数法得， ，则【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 本题考查无穷级数的求和，涉及逐项积分和逐项求导的恒等变形，是常规考题。本题要求 给出幂级数 ，其收敛区间为(-，+
10、) ，并记其和函数逐项积分得【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 (1)该函数项级数的通项 u n(x)=ne-nx，u n+1(x)=(n+1)e-(n+1)x故，当收敛；当 x0 时， 发散；当 x=0 时，该级数成为 1+2+n+，显然是发散的；所以该级数当 x0 时收敛于 S(x)【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 (1)显然，a n是正项严格单调增加数列，且有a3=2，a 4=a2+a32a 3=22，假设 an2 2，则有 an+1=an+an-12a n2 n-1，故由归纳法得an2 n-2于是，所考虑的级数的通项有在2x1 时收敛，故由比较审敛法知，级数 在2x1，即
11、x 时绝对收敛(2)原幂级数化为移项后得原幂级数的和函数为 (3)将 展开为x 的幂级数，有【知识模块】 无穷级数【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 由 ，得 y(0)=0；以下证明微分方程成立：【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 下面求解微分方程(1-x 2)y-xy=4 首先，应该可以想到本题用“二阶可降阶的方法，令 y=p，考生可以自练但是本题更好的做法是如下的分析：微分方程两边同时乘以 是怎么推导出来的)，则有上式两边分别积分得：于是有故 y(x)=2arcsin2x+C【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 考虑待证明等式右边的函数 展开为余弦级数，因 y= x是偶函数，故只要将 f(x)=x在区间-1，1上展开为傅里叶级数，其中半周期 l=1，它的傅里叶系数 b n=0，n=1，2，因f(x)=x在-1 ，1上连续，故它的傅里叶级数展开式【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 在上述等式中，令 x=0，即得数项级数 因收敛的数项级数移项即得【知识模块】 无穷级数
