1、考研数学一（无穷级数）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列各项中正确的是（A）若 (un+vn)2 收敛（B）若 都收敛（C）若正项级数（D）若级数 vn 也收敛2 若级数 an(x1) n 在 x=1 处收敛，则此级数在 x=2 处（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）收敛性不能确定3 级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 a 有关4 设有级数 an 收敛的（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件5 已知 an0(n=1，2，)，且 (1) n1 an 条件收敛，记 b
2、n=2a2n1 a 2n，则级数bn（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛或发散取决于 an 的具体形式6 下列命题中正确的是（A）若幂级数 anxn 的收敛半径 R0，则 =R1 （B）若 anxn 不存在收敛半径（C）若 anxn 的收敛域为R，R，则 nanxn1 的收敛域为R，R（D）若 anxn 的收敛域为(R，R)即它的收敛域，则 xn+1 的收敛域可能是R，R7 对于任意 x 的值， =（A）0（B） 1（C） （D）二、填空题8 设级数 (un+un+1+un+2)=_9 级数 的和 S=_10 幂级数 的收敛区间是_11 (n1)x n 的和函数及定义域是_12 幂
3、级数 x+ 的和函数及定义域是_13 设级数 收敛，则 P 的取值范围是_14 设 bnx2n 的收敛半径R=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求级数 的和16 将下列函数在指定点展成幂级数：()f(x)=arcsinx，在 x=0 处； ()f(x)=lnx，在 x=1 及 x=2 处；( )f(x)= ，在 x=1 处17 将函数 f(x)=sin(x+a)展开成 x 的幂级数，并求收敛域18 将函数 f(x)= 在点 x0=1 处展开成幂级数，并求 f(n)(1)19 已知 anxn 半径 R=R00，求证级数 xn 的收敛域为( ，+)20 求 xn 的收敛域及
4、和函数21 求 的和 S22 设有级数 un，() 若 (u2n1 +u2n) =(u1+u2)+(u3+u4)+收敛，求证： un 收敛() 设 u2n1 = (1)n1 un 收敛23 设 (ana n1 )收敛，又 bn 是收敛的正项级数，求证： anbn 绝对收敛24 设 f(x)在 2，2上有连续的导数，且 f(0)=0，F(x)= f(x+t)dt，证明级数绝对收敛25 设有级数 U： vn，求证：()若 U，V 均绝对收敛，则(un+vn)绝对收敛； ()若 U 绝对收敛，V 条件收敛，则 (un+vn)条件收敛26 设 an= an27 设有两条抛物线 y=nx2+ ，记它们交
5、点的横坐标的绝对值为 an()求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 Sn； ()求级数 的和28 设 f(x)是区间， 上的偶函数，且满足 证明：f(x)在，上的傅里叶级数展开式中系数 a2n=0，n=1，2，29 设 f(x)= ()求 f(x)以 2 为周期的傅氏级数，并指出其和函数 S(x)；() 求考研数学一（无穷级数）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 (A) 正确 2unvn+2unvn)收敛【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 B【试题解析】 antn，t=x 一 1，在 t=2 处收敛 R2
6、，x=2 时 t=1(R，R)antn 在 t=1 即 an(x 一 1)n 在 x=2 处绝对收敛选(B)【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 B【试题解析】 发散由莱布尼兹法则知， 原级数收敛因此是条件收敛选(B) 【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 B【试题解析】 由级数收敛性概念知 an 收敛，即部分和数列S n收敛由数列收敛性与有界性的关系知。S n收敛 Sn有界，因此选(B)【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 C【试题解析】 由已知条件 (1)n 1an=a1a 2+a3a 4+a2n1 a 2n+= (a2n1 a 2n) (收敛级数的结合律) (*)由 均发散(若其中
7、之一收敛，由(*) an 收敛，得矛盾 )因为a2n1 +(a2n1 a 2n)，而bn 发散选(C) 【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 D【试题解析】 收敛半径，或 R=+，或 0R+ ，或 R=0，三种情形必有一种成立因而(B)不正确，但anxn=，因而(A)也不正确(C) 也是不正确的如的收敛域为一1，1)因此只有(D) 正确事实上，若取 (一 1)nx2n 的收敛区间即收敛域为(一 1，1)，而 x2n+1 的收敛域为一 1，1【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 A【试题解析】 考虑级数 xn 的敛散性由可知幂级数 xn 的收敛半径R=+，因此级数对任意的 x 值均收敛由级数
8、收敛的必要条件得知=0，故选(A)【知识模块】 无穷级数二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 因为 S= 收敛，那么由级数的基本性质有 =S+(S 一 u1)+(Su1u2)=3S 一 2u1u2由于 u1=S1=1，u 2=S2 一 u1= ，则【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 【试题解析】 考察部分和【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 (一 2，2)【试题解析】 先求收敛半径 R： R=2，收敛区间为(一 2， 2)【知识模块】 无穷级数11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 (1，
9、+)【试题解析】 确定 的阶由于而 p1，因此 p 的取值范围是 (1，+) 【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 【试题解析】 考察【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 考虑幂级数 S(x)= x2n1 ，易求它的收敛域为( ，+)现逐项求导得逐项求导后虽未得到 S(x)的和函数，但得到 S(x)满足的一阶方程，又 S(0)=0，解初值问题令 x=1 得原级数的和为【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 ()f(x)= 又这里 f(x)=arcsinx 在 x=1(一 1)处右(左)连续右端级数在 x=1 均收敛，故展式在x=1 也
10、成立【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 f(x)存在任意阶导数，且 f(n)(x)=sin(x+a+，从而有由于R n(x)0(由比值判别法可得收敛，再由级数收敛的必要条件可得 =0)从而有【试题解析】 将函数 f(x)展开成 x 的幂级数，通常有两种基本方法：第一种是由泰勒公式直接展开，如本题，解题时要说明 Rn(x)=0，并据此给出收敛域；第二种是利用常见函数的麦克劳林展开式间接展开。需要说明的是，在求导或积分过程中，幂级数收敛半径不变，但收敛域可能会发生变化【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 将 f(x)视为(x 一 1) bn(x 一 1)n 即可因为 利用公式(1117)
11、，并以 代替其中的 x，则有由于 f(x)的幂级数【试题解析】 “在点 x0=1 处展成幂级数”即展成 x 一 1 的幂级数【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 即证与 的关系并利用比较判别法注意， 由M(n=0，1，2，)，M0 为某常数，于是 由幂级数在收敛区间内绝对收敛 收敛由比较原理 收敛因此，原幂级数的收敛域为(一，+)【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 () 求收敛域：原幂级数记为 anxn，则由收敛域为(一，+)() 求和函数分解法为了用 ex= ，对原级数进行分解，记原级数的和为 S(x)，则因此 S(x)=xe x e x +1+ (1xe x )=e x (x+1
12、)+ (1e x )(x0)，(S(0)=0【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 先分解S= =S12S2由 ln(1+x)的展式知，S 1=ln(1+1)=ln2为求 S2，引进幂级数 S2(x)=因此， S=S 12S2=ln22S2(1)=ln22+【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 () 考察 该级数的部分和 S2n= (S2n 一 u2n)=S 一 0=S，因此 un 收敛和为 S()显然，un=0考察 (一 1)n1 un=u1 一u2+u3 一 u4+，两两添加括号后的级数 ，其中收敛因此原级数收敛【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 级数 (an 一 an1 )收
13、敛，即其部分和 Sm= (an 一 an1 )=(a1a0)+(a2 一 a1)+(amam1 )=ama0 为收敛数列，从而a n也是收敛数列我们知道数列收敛则一定有界，设a nM，n=1，2，则a nbnM b n=Mb n再由于 bn 是收敛的正项级数，这样，利用比较判别法，即知 a nbn收敛，即anbn 绝对收敛【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 由于 f(x)在 一 2，2上有连续的导数，则 f(x)在一 2，2上连续，设 M 为f(x)在一 2，2 上的最大值，则 x一 1，1时，由此可得 F(x) M (2xu)du=2Mx2，x 一 1，1因此收敛，即 绝对收敛【知识模
14、块】 无穷级数25 【正确答案】 () 由u n+vnu n+v n，又(un+vn)绝对收敛 ()由假设条件知，u n+vn发散用反证法若 u n+vn收敛 v n= u n+vnu n u n+vn+u n，且v n收敛，与已知条件矛盾因此(un+vn)条件收敛【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 先求 an【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 () 由 y=nx2+ ，又因为两条抛物线所围图形关于 y 轴对称，所以()利用()的结果，从而【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 由于 f(x)为偶函数，所以对于右端前一个积分，令 x= +t，则根据假设 f=0，所以 a2n=0，n=1，2，【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 ()其中因此该傅氏级数的和函数 其中 S(0)=f(+0)+f( 一 0)()由 S(0)=0【知识模块】 无穷级数
