1、考研数学一（常微分方程）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=3x12+cx22+x32-2x1x2+2x1x3-2x2x3 的秩为 2，则 c 的值为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）32 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+3x32-4x1x2+2x1x3+8x2x3 的秩等于( )。（A）0（B） 1（C） 2（D）33 A，B 是两个事件，则下列关系正确的是( ) （A）(A-B)+B=A（B） AB+(A-B)=A（C） (A+B)-B=A （D）(AB+A)-B=A
2、 4 设 n 元二次型 f(x1，x 2，,x n)=XTAX，其中 AT=A如果该二次型通过可逆线性变换 X=CY 可化为 f(y1， y2，y n)=YTBY，则以下结论不正确的是 ( )（A）A 与 B 合同（B） A 与 B 等价（C） A 与 B 相似（D）r(A)=r(B) 5 设线性无关的函数 y1，y 2，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+P(x)y+q(x)y=f(x)的解，C1，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（A）C 1y1+C2y2+y3（B） C1y1+C2y2-(C1+C2)y3.（C） C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3（D）C 1y1+C2
3、y2+(1-C1-C2)y35 微分方程 y“+y=x 2+1+sinx 的特解形式可设为（A）y *=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)（B） y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)（C） y*=ax2+bx+c+Asinx（D）y *=ax2+bx+c+Acosx6 以下四个命题中，正确的是（A）若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界.（B）若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界（C）若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1)内有界（D）若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1) 内有界7
4、 设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f“(x)0，令 un=f(n)(n=1，2，) ，则下列结论正确的是（A）若 u1u 2，则u n必收敛（B）若 u1u 2，则u n必发散（C）若 u1u 2，则u n必收敛（D）若 u1u 2，则u n必发散8 设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，“MN”表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有（A）F(x)是偶函数f(x)是奇函数（B） F(x)是奇函数甘f(x)是偶函数（C） F(x)是周期函数f(x)是周期函数（D）F(x)是单调函数f(x)是单调函数9 考虑二元函数的下面 4 条性质： f(x ，y)在点(x 0，y 0
5、)处连续； f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微； f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数存在 若用“PQ” 表示可由性质 P 推出性质 Q，则有（A）（B） （C） （D）二、填空题10 已知 =(3，5，7，9) ，=(-1，5，2，0)，x 满足 2+3x=，则 x=_.11 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+5x22+x32+2x1x2+2ax2x3 为正定二次型，则 a 的取值范围_.12 设 n 阶实对称矩阵 A 满足条件 A2+6A+8E=O，且 A+tE 是正定矩阵，则 t 的取值范围为_13 已知
6、 1=(1，1，2，2，1)， 2=(0，2，1，5，-1)， 3=(2，0，3，-1，3)，4=(1， 1，0， 4，-1)， 则 r(1， 2， 3， 4)=_14 微分方程 y“-4y=e2x 的通解为_ 15 二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-4y+3y=2e2x 的通解为 y=_16 若二阶常系数线性齐次微分方程 y“+ay+by=0 的通解为 y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程 y“+ay+by=x 满足条件 y(0)=2，y(0)=0 的解为 y=_17 y=2x 的麦克劳林公式中 xn 项的系数是_.18 求曲线 y=4/x 和直线 y=x 及 y=4x 第一象限中围成平
7、面图形盼面积为_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设向量组 1， 2， s 线性无关，作线性组合1=1+1s， 2=2+2s， s-1=s-1+s-1s，则向量组 1， 2， s-1 线性无关，其中 s2， i 为任意实数20 求微分方程 y“-3y+2y=2xex 的通解20 设函数 f(x)在区间0， 1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1试证：21 存在 (1/2，1)，使 f()=；22 对任意实数 ，必存在 (0，)，使得 f()-f()-=123 求函数 f(x)=(1-x)/(1+x)在 x=0 点处带拉格朗口余项的 n
8、 阶泰勒展开式考研数学一（常微分方程）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 D【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 B【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 C【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 D【试题解析】 非齐次线性方程的通解应该是相应齐次线性方程的通解加上一个非齐次线性方程的特解C 1y1+C2y2 不是相应齐次方程的通解，湿然 (A)不对；(B)写成 C1(y1-y3)+C2(y2-y3)，y 1-y3 与 y2-y3 是相应齐次方程的解，因而(B)是相应齐次方程
9、的通鹪，而不是非齐次方程的通解；(C)写成 C1(y1+y3)+C2(y2+y3)-y3，y 1+y3 与y2+y3 并非相应齐次方程的解，显然也不对；应选(D)实际(D)可以写成 C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3，y 1-y3 与 y2-y3 显然是线性无关的相应齐次方程的解， y3 是非齐次方程的特解【知识模块】 常微分方程5 【试题解析】 相应的二阶线性齐次方程的特征方程是 2+1=0，特征根为 =i 由线性方程解的迭加原理，分别考察方程 y“+y=x 2+1， 与 y“+y=sinx 方程有特解 y*=ax2+bx+c，方程 的非齐次项 f(x)=eaxsinx=sinx(
10、=0，=1 ，i 是特征根)，它有特解 y*=x(Asinx+Bcosx) 因此原方程有特解y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)应选(A)【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 C【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 D【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 A【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 A【知识模块】 常微分方程二、填空题10 【正确答案】 (-7/3 ， -5/3，-4,-6)【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 -24【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 3【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 y=C 1e2x+C2e-2x+x/4
11、e2x【试题解析】 特征方程 r2-4=0 的两个根为 r1=2,r2=-2由于非齐次项 ex 中 =2=r1为单特征根，可设非齐次方程的特解为 y=x.e2x，代人方程得 a=1/4故所求通解为y=C1e2x+C2e-2x+x/4e2x【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 y=C 1ex+C2e3x-2e2x【试题解析】 特征方程 2-4+3=(-1)(-3)=0 的根为 =1，=3 由于非齐次项 ex中 =2 不是特征根，故可设非齐次方程的特解为 y*=Ae2x 代入方程得 (4A-8A+3A)e2x=2e2x A=-2 因此，通解为 y=C1ex+C2e3x-2e2x【知识模块】
12、常微分方程16 【正确答案】 y=-xe x+x+2【试题解析】 由通解表达式 该二阶线性常系数齐次方程的特征根为 1=2=1，于是特征方程为 (-1) 2 =2-2+1=0 该齐次方程为 y“-2y+y=0 (即 a=-2，b=1) 又非齐次方程 y“-2y+y=x (*) 有特解 y* =ax+，代人(*) 式得 -2a+ax+=x a=1，=2 因此(*)有通解 y=(C1+C2x)ex+x+2 再由初条件 y(0)=C1+2=2，y(0)=C 1+C2+1=0， C1=0， C2=-1因此所求的解为 y=-xex+x+2【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 ln n2/n!【知识
13、模块】 常微分方程18 【正确答案】 4ln2【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 证明 设存在 k 1， k 2， k s-1，使得 k11+k22+ks-1s-1=，即k1(1+1s)+k2(2+2s【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解 1: 由相应的特征方程2-3+2=0，得特征根 1=1， 2=2 相应齐次方程的通解为 y=C 1ex+C2e2x 2: 非齐次项 f(x)=2xeax 中 a=1 是单特征根，故设原方程的特解为 y *=x(ax+6)ex 代人原方程得【知识模块】 常微分
14、方程【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 令 (x)=f(x)-x，则 (x)在0，1上连续又 (1)=-10由介值定理可知，存在 （1/2，1)，使得 ()=f()-=0，即 f()=【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 要证 f()-f()-=1，即要证f()-1-f()-=0，记 (x)=f(x)-x，也就是要证 (f)-()=0 构造辅助函数 F(x)=e-x(x)=e-xf(x)-x，不难发现 F(x)在0， 上满足尔尔定理的全部条件，故存在 (0，)，使 F()=0，即 e-x()-()=0，而 e-x0，从而有 ()-()=0，即 f()-【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 由 f(x)=2/(1+x)=2(1+x)-1-1，f(z)=2(-1)(1+x) -2， f“(x)=2(-1)(-2)(1+x)-3， 不难看出 f (n)(x)=2(-1)nn!(1+x)-(n+1)， f (n)(0)=2(-1)nn!(n=1，2，)， (1-x)/(1+x)=1-2x+2x2【知识模块】 常微分方程
